Страница 218 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.26. Некоторые формулы сокращенного умножения были известны еще 4 тыс. лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Расскажите о том, как изображали эти формулы в “Началах” Евклида.

В "Началах" Евклида, фундаментальном труде по геометрии, алгебраические тождества, которые мы сегодня знаем как формулы сокращенного умножения, были представлены и доказаны не с помощью символьной алгебры, а геометрически. Этот подход известен как "геометрическая алгебра". В нем числа представлялись длинами отрезков, произведение двух чисел — площадью прямоугольника с соответствующими сторонами, а квадрат числа — площадью квадрата.

Рассмотрим, как Евклид изображал основные формулы во второй книге "Начал".

Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Это тождество соответствует Предложению 4 из Книги II "Начал", которое гласит: "Если прямая линия как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками".

Для доказательства строится квадрат со стороной, равной сумме длин двух отрезков $a$ и $b$.

Как видно из рисунка, большой квадрат со стороной $(a+b)$ и площадью $(a+b)^2$ можно разделить на четыре части:

• Один квадрат со стороной $a$ и площадью $a^2$.
• Один квадрат со стороной $b$ и площадью $b^2$.
• Два прямоугольника со сторонами $a$ и $b$, каждый из которых имеет площадь $ab$.

Суммируя площади этих частей, мы получаем общую площадь большого квадрата: $a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$. Таким образом, геометрически доказывается равенство $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Ответ: Формула квадрата суммы изображалась как квадрат, построенный на отрезке длины $a+b$, который разбивался на квадрат со стороной $a$, квадрат со стороной $b$ и два прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Равенство доказывалось через равенство площади целого квадрата сумме площадей его частей.

Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Это тождество тесно связано с Предложением 7 из Книги II "Начал", которое в современной записи можно выразить как $a^2 + b^2 = 2ab + (a-b)^2$, что эквивалентно искомой формуле.

Геометрическое доказательство можно представить следующим образом. Возьмем большой квадрат со стороной $a$ и площадью $a^2$. Мы хотим найти площадь квадрата со стороной $(a-b)$, который находится внутри него.

Площадь искомого квадрата $(a-b)^2$ можно найти, вычтя из площади большого квадрата $a^2$ площадь L-образной фигуры, называемой гномоном (на рисунке выделена зеленым цветом).

Площадь гномона можно рассчитать как сумму площадей двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$ за вычетом площади их пересечения — квадрата со стороной $b$ (поскольку при сложении двух таких прямоугольников мы дважды учитываем этот квадрат). Таким образом, площадь гномона равна $ab + ab - b^2 = 2ab - b^2$.

Тогда площадь внутреннего квадрата равна:$$(a-b)^2 = (\text{Площадь большого квадрата}) - (\text{Площадь гномона}) = a^2 - (2ab - b^2) = a^2 - 2ab + b^2$$
Ответ: Формула квадрата разности изображалась через квадрат со стороной $a$, из которого "вырезался" гномон, чтобы остался квадрат со стороной $a-b$. Равенство доказывалось путем вычитания площади гномона ($2ab-b^2$) из площади большого квадрата ($a^2$).

Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

Это тождество соответствует Предложению 5 из Книги II "Начал". Геометрически оно доказывается через преобразование гномона.

Рассмотрим квадрат со стороной $a$, из которого в углу удален квадрат со стороной $b$. Оставшаяся L-образная фигура (гномон) имеет площадь $a^2 - b^2$. Мы должны показать, что эту фигуру можно преобразовать в прямоугольник со сторонами $(a+b)$ и $(a-b)$.

Гномон (площадь $a^2 - b^2$) можно разрезать на два прямоугольника. Например, если разрезать его горизонтально, мы получим:

• Прямоугольник A со сторонами $a$ и $(a-b)$.
• Прямоугольник B со сторонами $b$ и $(a-b)$.

Сумма их площадей равна $a(a-b) + b(a-b)$. Вынося общий множитель $(a-b)$, получаем $(a+b)(a-b)$.

Другой, более наглядный способ, — это "разрезать и склеить". Гномон можно разрезать на две части (например, A и B, как на рисунке) и переставить их так, чтобы они образовали один большой прямоугольник. Как показано на рисунке, если прямоугольник B переместить и приставить к прямоугольнику A, то получится новый прямоугольник. Его высота будет равна $(a-b)$, а ширина — $a+b$. Площадь этого нового прямоугольника равна $(a+b)(a-b)$, что и доказывает тождество.
Ответ: Формула разности квадратов изображалась как L-образная фигура (гномон), полученная удалением квадрата $b^2$ из квадрата $a^2$. Доказывалось, что площадь этого гномона ($a^2-b^2$) равна площади прямоугольника со сторонами $(a+b)$ и $(a-b)$ путем мысленного разрезания гномона и складывания из его частей такого прямоугольника.

35.27. Докажите, что разность между разностью кубов двух нечетных чисел и кубом их разности кратна 6.

Пусть $a$ и $b$ — два произвольных нечетных числа. Нам нужно доказать, что выражение $(a^3 - b^3) - (a - b)^3$ кратно 6.

Сначала упростим данное выражение. Раскроем куб разности по формуле $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$:

$(a^3 - b^3) - (a - b)^3 = (a^3 - b^3) - (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^3 - b^3 - a^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3 = 3a^2b - 3ab^2$

Вынесем общий множитель $3ab$ за скобки:

$3a^2b - 3ab^2 = 3ab(a - b)$

Теперь нам нужно доказать, что выражение $3ab(a - b)$ делится на 6. Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться одновременно на 2 и на 3, так как 2 и 3 — взаимно простые числа.

1. Делимость на 3: Выражение $3ab(a - b)$ содержит множитель 3, поэтому оно всегда делится на 3 при любых целых $a$ и $b$.

2. Делимость на 2: Нам нужно доказать, что выражение $3ab(a - b)$ является четным. Для этого достаточно показать, что один из его сомножителей является четным. По условию, числа $a$ и $b$ — нечетные. Любое нечетное число можно представить в виде $2n + 1$, где $n$ — целое число.

Пусть $a = 2k + 1$ и $b = 2m + 1$ для некоторых целых чисел $k$ и $m$.

Найдем их разность:

$a - b = (2k + 1) - (2m + 1) = 2k + 1 - 2m - 1 = 2k - 2m = 2(k - m)$.

Так как $k-m$ — целое число, то разность $a - b$ является четным числом (делится на 2).

Поскольку выражение $3ab(a - b)$ содержит четный множитель $(a - b)$, все произведение является четным и, следовательно, делится на 2.

Так как выражение $3ab(a - b)$ делится и на 3, и на 2, оно делится на их произведение, то есть на 6.

Ответ: Утверждение доказано.

35.28. Докажите, что для того, чтобы возвести целое число с половиной в квадрат, можно целую часть этого числа умножить на число, которое больше его на единицу и к результату прибавить $0.25$.

Пусть данное число имеет вид $n + 0.5$, где $n$ — его целая часть. Нам необходимо доказать, что для возведения этого числа в квадрат можно воспользоваться правилом, которое математически записывается так:

$(n + 0.5)^2 = n(n + 1) + 0.25$

Для доказательства этого утверждения преобразуем левую часть равенства, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a = n$ и $b = 0.5$.

$(n + 0.5)^2 = n^2 + 2 \cdot n \cdot 0.5 + (0.5)^2$

Упростим полученное выражение:

$n^2 + (2 \cdot 0.5) \cdot n + 0.25 = n^2 + 1 \cdot n + 0.25 = n^2 + n + 0.25$

Теперь преобразуем правую часть исходного равенства, раскрыв скобки:

$n(n + 1) + 0.25 = n \cdot n + n \cdot 1 + 0.25 = n^2 + n + 0.25$

Мы видим, что левая и правая части равенства тождественно равны одному и тому же выражению $n^2 + n + 0.25$. Следовательно, исходное утверждение верно.

Например, для числа $7.5$, его целая часть $n=7$. По доказанному правилу:

$7.5^2 = 7 \cdot (7 + 1) + 0.25 = 7 \cdot 8 + 0.25 = 56 + 0.25 = 56.25$.

Ответ: Утверждение доказано, так как $(n + 0.5)^2 = n^2 + n + 0.25$ и $n(n + 1) + 0.25 = n^2 + n + 0.25$.

35.29. Длины двух противоположных сторон квадрата увеличили на 5 см каждую, а длины двух других уменьшили на столько же сантиметров. Как изменилась площадь полученной фигуры по отношению к первоначальной?

Пусть первоначальная длина стороны квадрата равна $a$ см.

Тогда площадь исходного квадрата ($S_1$) составляет:
$S_1 = a \cdot a = a^2$ см²

После изменений две противоположные стороны стали равны $(a + 5)$ см, а две другие стороны — $(a - 5)$ см. В результате получился прямоугольник.

Площадь нового прямоугольника ($S_2$) равна произведению его смежных сторон:
$S_2 = (a + 5) \cdot (a - 5)$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.
$S_2 = a^2 - 5^2 = a^2 - 25$ см²

Чтобы определить, как изменилась площадь, найдем разность между новой площадью и первоначальной:
$\Delta S = S_2 - S_1 = (a^2 - 25) - a^2 = -25$ см²

Результат показывает, что площадь фигуры уменьшилась на 25 см².

Ответ: Площадь полученной фигуры уменьшилась на 25 см² по сравнению с первоначальной.