Страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (35.1–35.4):

35.1. 1) $(m^3 + 6n^2)^2 - (6n^2 - m^3)^2;$

2) $(x^2 - 7y^3)^2 + (x^2 + 7y^3)^2;$

3) $(9z + 2x^4)^2 - (2x^4 - 9z)^2;$

4) $(5a^3 - 4b)^2 + (4b + 5a^3)^2.$

1) $(m^3 + 6n^2)^2 - (6n^2 - m^3)^2$

Данное выражение представляет собой разность квадратов вида $a^2 - b^2$, которая раскладывается на множители по формуле $(a-b)(a+b)$.

Пусть $a = m^3 + 6n^2$ и $b = 6n^2 - m^3$.

Найдем разность и сумму этих выражений:

$a - b = (m^3 + 6n^2) - (6n^2 - m^3) = m^3 + 6n^2 - 6n^2 + m^3 = 2m^3$

$a + b = (m^3 + 6n^2) + (6n^2 - m^3) = m^3 + 6n^2 + 6n^2 - m^3 = 12n^2$

Теперь перемножим полученные результаты:

$(a - b)(a + b) = (2m^3)(12n^2) = 24m^3n^2$

Ответ: $24m^3n^2$.

2) $(x^2 - 7y^3)^2 + (x^2 + 7y^3)^2$

Используем формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Пусть $a = x^2$ и $b = 7y^3$.

Раскроем скобки:

$(x^2 - 7y^3)^2 = (x^2)^2 - 2(x^2)(7y^3) + (7y^3)^2 = x^4 - 14x^2y^3 + 49y^6$

$(x^2 + 7y^3)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(7y^3) + (7y^3)^2 = x^4 + 14x^2y^3 + 49y^6$

Сложим полученные выражения:

$(x^4 - 14x^2y^3 + 49y^6) + (x^4 + 14x^2y^3 + 49y^6) = x^4 + x^4 - 14x^2y^3 + 14x^2y^3 + 49y^6 + 49y^6 = 2x^4 + 98y^6$

Можно также использовать тождество $(a-b)^2 + (a+b)^2 = 2(a^2 + b^2)$, что дает $2((x^2)^2 + (7y^3)^2) = 2(x^4 + 49y^6) = 2x^4 + 98y^6$.

Ответ: $2x^4 + 98y^6$.

3) $(9z + 2x^4)^2 - (2x^4 - 9z)^2$

Это выражение также является разностью квадратов. Воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Пусть $a = 9z + 2x^4$ и $b = 2x^4 - 9z$.

Найдем разность и сумму этих выражений:

$a - b = (9z + 2x^4) - (2x^4 - 9z) = 9z + 2x^4 - 2x^4 + 9z = 18z$

$a + b = (9z + 2x^4) + (2x^4 - 9z) = 9z + 2x^4 + 2x^4 - 9z = 4x^4$

Перемножим полученные результаты:

$(a - b)(a + b) = (18z)(4x^4) = 72x^4z$

Ответ: $72x^4z$.

4) $(5a^3 - 4b)^2 + (4b + 5a^3)^2$

Заметим, что $(4b + 5a^3)^2 = (5a^3 + 4b)^2$. Выражение принимает вид $(5a^3 - 4b)^2 + (5a^3 + 4b)^2$.

Используем тождество $(a - b)^2 + (a + b)^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Пусть $a = 5a^3$ и $b = 4b$.

Подставим значения в формулу:

$2((5a^3)^2 + (4b)^2) = 2(25a^6 + 16b^2) = 50a^6 + 32b^2$

Ответ: $50a^6 + 32b^2$.

35.2.

1) $(1,1x^2 - 6y)^2 - (1,1x^2 - 6y)(1,1x^2 + 6y);$

2) $(2,3a - 7b^3)(2,3a + 7b^3) - (2,3a + 7b^3)^2;$

3) $(3,1n^3 - 5m)^2 + (5m - 3,1n^3)(5m + 3,1n^3).$

1) $(1,1x^2 - 6y)^2 - (1,1x^2 - 6y)(1,1x^2 + 6y)$

Для упрощения данного выражения вынесем общий множитель $(1,1x^2 - 6y)$ за скобки. Получим:

$(1,1x^2 - 6y) \cdot ((1,1x^2 - 6y) - (1,1x^2 + 6y))$

Теперь упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки:

$1,1x^2 - 6y - 1,1x^2 - 6y = -12y$

Подставим полученный результат обратно в выражение и выполним умножение:

$(1,1x^2 - 6y) \cdot (-12y) = 1,1x^2 \cdot (-12y) - 6y \cdot (-12y) = -13,2x^2y + 72y^2$

Ответ: $-13,2x^2y + 72y^2$

2) $(2,3a - 7b^3)(2,3a + 7b^3) - (2,3a + 7b^3)^2$

Вынесем общий множитель $(2,3a + 7b^3)$ за скобки:

$(2,3a + 7b^3) \cdot ((2,3a - 7b^3) - (2,3a + 7b^3))$

Раскроем скобки и упростим выражение во второй скобке:

$2,3a - 7b^3 - 2,3a - 7b^3 = -14b^3$

Теперь умножим полученные выражения:

$(2,3a + 7b^3) \cdot (-14b^3) = 2,3a \cdot (-14b^3) + 7b^3 \cdot (-14b^3) = -32,2ab^3 - 98b^6$

Ответ: $-32,2ab^3 - 98b^6$

3) $(3,1n^3 - 5m)^2 + (5m - 3,1n^3)(5m + 3,1n^3)$

Заметим, что $(a-b)^2 = (b-a)^2$. Поэтому мы можем переписать первый член выражения: $(3,1n^3 - 5m)^2 = (5m - 3,1n^3)^2$.

Выражение принимает вид:

$(5m - 3,1n^3)^2 + (5m - 3,1n^3)(5m + 3,1n^3)$

Вынесем общий множитель $(5m - 3,1n^3)$ за скобки:

$(5m - 3,1n^3) \cdot ((5m - 3,1n^3) + (5m + 3,1n^3))$

Упростим выражение во второй скобке:

$5m - 3,1n^3 + 5m + 3,1n^3 = 10m$

Выполним умножение:

$(5m - 3,1n^3) \cdot (10m) = 5m \cdot 10m - 3,1n^3 \cdot 10m = 50m^2 - 31mn^3$

Ответ: $50m^2 - 31mn^3$

35.3. 1) $1000 + a^6 - (a^2 + 10)(a^4 - 10a^2 + 100);$

2) $(a^3 - 9)(a^6 + 9a^3 + 81) - a^9 - 729;$

3) $0.512t^3 - 100 + (0.8t + 5)(0.64t^2 - 4t + 25);$

4) $(1.1d - c^3)(1.21d^2 + 1.1c^3d + c^6) - 1.331d^3 + 2c^9.$

1) Для упрощения выражения $1000 + a^6 - (a^2 + 10)(a^4 - 10a^2 + 100)$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$.

В части выражения $(a^2 + 10)(a^4 - 10a^2 + 100)$ мы можем заметить, что если принять $x = a^2$ и $y = 10$, то оно примет вид $(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

Проверим: $x^2 = (a^2)^2 = a^4$, $xy = a^2 \cdot 10 = 10a^2$, $y^2 = 10^2 = 100$.

Таким образом, $(a^2 + 10)(a^4 - 10a^2 + 100) = (a^2)^3 + 10^3 = a^6 + 1000$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$1000 + a^6 - (a^6 + 1000) = 1000 + a^6 - a^6 - 1000 = (1000 - 1000) + (a^6 - a^6) = 0$.

Ответ: $0$

2) Для упрощения выражения $(a^3 - 9)(a^6 + 9a^3 + 81) - a^9 - 729$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3$.

В части выражения $(a^3 - 9)(a^6 + 9a^3 + 81)$ примем $x = a^3$ и $y = 9$.

Проверим: $x^2 = (a^3)^2 = a^6$, $xy = a^3 \cdot 9 = 9a^3$, $y^2 = 9^2 = 81$.

Таким образом, $(a^3 - 9)(a^6 + 9a^3 + 81) = (a^3)^3 - 9^3 = a^9 - 729$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(a^9 - 729) - a^9 - 729 = a^9 - 729 - a^9 - 729 = (a^9 - a^9) + (-729 - 729) = -1458$.

Ответ: $-1458$

3) Для упрощения выражения $0,512t^3 - 100 + (0,8t + 5)(0,64t^2 - 4t + 25)$ воспользуемся формулой суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$.

В части выражения $(0,8t + 5)(0,64t^2 - 4t + 25)$ примем $x = 0,8t$ и $y = 5$.

Проверим: $x^2 = (0,8t)^2 = 0,64t^2$, $xy = 0,8t \cdot 5 = 4t$, $y^2 = 5^2 = 25$.

Таким образом, $(0,8t + 5)(0,64t^2 - 4t + 25) = (0,8t)^3 + 5^3 = 0,512t^3 + 125$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$0,512t^3 - 100 + (0,512t^3 + 125) = 0,512t^3 - 100 + 0,512t^3 + 125 = (0,512t^3 + 0,512t^3) + (-100 + 125) = 1,024t^3 + 25$.

Ответ: $1,024t^3 + 25$

4) Для упрощения выражения $(1,1d - c^3)(1,21d^2 + 1,1c^3d + c^6) - 1,331d^3 + 2c^9$ воспользуемся формулой разности кубов: $(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3$.

В части выражения $(1,1d - c^3)(1,21d^2 + 1,1c^3d + c^6)$ примем $x = 1,1d$ и $y = c^3$.

Проверим: $x^2 = (1,1d)^2 = 1,21d^2$, $xy = 1,1d \cdot c^3 = 1,1c^3d$, $y^2 = (c^3)^2 = c^6$.

Таким образом, $(1,1d - c^3)(1,21d^2 + 1,1c^3d + c^6) = (1,1d)^3 - (c^3)^3 = 1,331d^3 - c^9$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(1,331d^3 - c^9) - 1,331d^3 + 2c^9 = 1,331d^3 - c^9 - 1,331d^3 + 2c^9 = (1,331d^3 - 1,331d^3) + (-c^9 + 2c^9) = c^9$.

Ответ: $c^9$

35.4. 1) $(2 + a^4)(a^8 - 2a^4 + 4) + a^{10} (1 - a^2);$

2) $k^5(k + 1) - (3 + k^2)(k^4 - 3k^2 + 9);$

3) $(25 - 5y^4 + y^8)(5 + y^4) - y^6(y^6 - 1);$

4) $(z^6 + 7z^3 + 49)(z^3 - 7) + z(1 - z^8).$

1) Упростим выражение $(2 + a^4)(a^8 - 2a^4 + 4) + a^{10}(1 - a^2)$.
Первая часть выражения, $(2 + a^4)(a^8 - 2a^4 + 4)$, является произведением, которое соответствует формуле суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$.
В данном случае, если взять $x=a^4$ и $y=2$, то выражение принимает вид $(a^4+2)((a^4)^2 - a^4 \cdot 2 + 2^2)$.
Применяя формулу, получаем: $(a^4)^3 + 2^3 = a^{12} + 8$.
Вторая часть выражения, $a^{10}(1 - a^2)$, после раскрытия скобок становится $a^{10} - a^{10} \cdot a^2 = a^{10} - a^{12}$.
Теперь сложим полученные результаты: $(a^{12} + 8) + (a^{10} - a^{12}) = a^{12} + 8 + a^{10} - a^{12} = a^{10} + 8$.
Ответ: $a^{10} + 8$.

2) Упростим выражение $k^5(k + 1) - (3 + k^2)(k^4 - 3k^2 + 9)$.
Сначала раскроем скобки в первом слагаемом: $k^5(k + 1) = k^6 + k^5$.
Вторая часть выражения, $(3 + k^2)(k^4 - 3k^2 + 9)$, является формулой суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$.
Здесь $x=3$ и $y=k^2$, и выражение выглядит как $(3+k^2)(3^2 - 3 \cdot k^2 + (k^2)^2)$.
Применяя формулу, получаем: $3^3 + (k^2)^3 = 27 + k^6$.
Теперь объединим обе части: $(k^6 + k^5) - (27 + k^6) = k^6 + k^5 - 27 - k^6 = k^5 - 27$.
Ответ: $k^5 - 27$.

3) Упростим выражение $(25 - 5y^4 + y^8)(5 + y^4) - y^6(y^6 - 1)$.
Первая часть выражения, $(25 - 5y^4 + y^8)(5 + y^4)$, после перестановки множителей и слагаемых $(y^4 + 5)(y^8 - 5y^4 + 25)$, соответствует формуле суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$.
Здесь $x=y^4$ и $y=5$.
Применение формулы дает: $(y^4)^3 + 5^3 = y^{12} + 125$.
Вторая часть, $-y^6(y^6 - 1)$, после раскрытия скобок равна $-y^{12} + y^6$.
Сложим результаты: $(y^{12} + 125) + (-y^{12} + y^6) = y^{12} + 125 - y^{12} + y^6 = y^6 + 125$.
Ответ: $y^6 + 125$.

4) Упростим выражение $(z^6 + 7z^3 + 49)(z^3 - 7) + z(1 - z^8)$.
Первая часть выражения, $(z^6 + 7z^3 + 49)(z^3 - 7)$, после перестановки множителей $(z^3 - 7)(z^6 + 7z^3 + 49)$, соответствует формуле разности кубов: $(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3$.
Здесь $x=z^3$ и $y=7$.
Применение формулы дает: $(z^3)^3 - 7^3 = z^9 - 343$.
Вторая часть, $z(1 - z^8)$, после раскрытия скобок равна $z - z^9$.
Сложим результаты: $(z^9 - 343) + (z - z^9) = z^9 - 343 + z - z^9 = z - 343$.
Ответ: $z - 343$.

Решите уравнения (35.5–35.6):

35.5. 1) $35 + (5x - 1)(5x + 1) = (5x + 2)^2;$

2) $3 + (2x + 3)^2 = 4(x - 6)(6 + x);$

3) $6 - x + (2x - 1)^2 = 4(x + 3)^2;$

4) $39x + (4x + 3)^2 = 2 + 4(2x + 1)^2.$

1) $35 + (5x - 1)(5x + 1) = (5x + 2)^2$
Для решения этого уравнения воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ и квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения:
$35 + ((5x)^2 - 1^2) = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2$
$35 + 25x^2 - 1 = 25x^2 + 20x + 4$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$34 + 25x^2 = 25x^2 + 20x + 4$
Вычтем $25x^2$ из обеих частей уравнения. Этот член взаимно уничтожается.
$34 = 20x + 4$
Перенесем свободные члены в одну сторону, а члены с переменной в другую:
$34 - 4 = 20x$
$30 = 20x$
Найдем $x$:
$x = \frac{30}{20} = \frac{3}{2} = 1,5$
Ответ: $1,5$.

2) $3 + (2x + 3)^2 = 4(x - 6)(6 + x)$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Заметим, что $(x - 6)(6 + x)$ можно записать как $(x - 6)(x + 6)$.
$3 + ((2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2) = 4(x^2 - 6^2)$
$3 + 4x^2 + 12x + 9 = 4(x^2 - 36)$
Приведем подобные слагаемые в левой части и раскроем скобки в правой:
$4x^2 + 12x + 12 = 4x^2 - 144$
Вычтем $4x^2$ из обеих частей уравнения:
$12x + 12 = -144$
Перенесем свободные члены вправо:
$12x = -144 - 12$
$12x = -156$
Найдем $x$:
$x = \frac{-156}{12} = -13$
Ответ: $-13$.

3) $6 - x + (2x - 1)^2 = 4(x + 3)^2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$6 - x + ((2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2) = 4(x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2)$
$6 - x + 4x^2 - 4x + 1 = 4(x^2 + 6x + 9)$
Приведем подобные слагаемые в левой части и раскроем скобки в правой:
$4x^2 - 5x + 7 = 4x^2 + 24x + 36$
Вычтем $4x^2$ из обеих частей:
$-5x + 7 = 24x + 36$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены в другую:
$7 - 36 = 24x + 5x$
$-29 = 29x$
Найдем $x$:
$x = \frac{-29}{29} = -1$
Ответ: $-1$.

4) $39x + (4x + 3)^2 = 2 + 4(2x + 1)^2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$39x + ((4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2) = 2 + 4((2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2)$
$39x + 16x^2 + 24x + 9 = 2 + 4(4x^2 + 4x + 1)$
Приведем подобные слагаемые в левой части и раскроем скобки в правой:
$16x^2 + 63x + 9 = 2 + 16x^2 + 16x + 4$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$16x^2 + 63x + 9 = 16x^2 + 16x + 6$
Вычтем $16x^2$ из обеих частей:
$63x + 9 = 16x + 6$
Перенесем слагаемые с $x$ влево, а свободные члены вправо:
$63x - 16x = 6 - 9$
$47x = -3$
Найдем $x$:
$x = -\frac{3}{47}$
Ответ: $-\frac{3}{47}$.

35.6. 1) $7x - (x - 2)^3 = 13 - x^2(x - 6);$

2) $10 + (3 - x)^3 = x^2(9 - x) - 17;$

3) $-16 + (4 + x)^3 = x^2(x + 12);$

4) $11 - x^2(x + 9) = 8x - (x + 3)^3.$

1) $7x - (x - 2)^3 = 13 - x^2(x - 6)$
Раскроем скобки. Для левой части используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
$(x - 2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.
Подставим это в уравнение и раскроем скобки в правой части:
$7x - (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) = 13 - x^3 + 6x^2$
$7x - x^3 + 6x^2 - 12x + 8 = 13 - x^3 + 6x^2$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-5x - x^3 + 6x^2 + 8 = 13 - x^3 + 6x^2$
Сократим одинаковые члены $(-x^3 + 6x^2)$ в обеих частях:
$-5x + 8 = 13$
$-5x = 13 - 8$
$-5x = 5$
$x = \frac{5}{-5} = -1$.

Ответ: $-1$

2) $10 + (3 - x)^3 = x^2(9 - x) - 17$
Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ и распределительный закон:
$(3-x)^3 = 3^3 - 3 \cdot 3^2 \cdot x + 3 \cdot 3 \cdot x^2 - x^3 = 27 - 27x + 9x^2 - x^3$.
$x^2(9-x) = 9x^2 - x^3$.
Подставим в уравнение:
$10 + 27 - 27x + 9x^2 - x^3 = 9x^2 - x^3 - 17$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$37 - 27x + 9x^2 - x^3 = 9x^2 - x^3 - 17$
Сократим одинаковые члены $(9x^2 - x^3)$ в обеих частях:
$37 - 27x = -17$
$-27x = -17 - 37$
$-27x = -54$
$x = \frac{-54}{-27} = 2$.

Ответ: $2$

3) $-16 + (4 + x)^3 = x^2(x + 12)$
Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ и распределительный закон:
$(4+x)^3 = 4^3 + 3 \cdot 4^2 \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot x^2 + x^3 = 64 + 48x + 12x^2 + x^3$.
$x^2(x+12) = x^3 + 12x^2$.
Подставим в уравнение:
$-16 + 64 + 48x + 12x^2 + x^3 = x^3 + 12x^2$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$48 + 48x + 12x^2 + x^3 = x^3 + 12x^2$
Сократим одинаковые члены $(12x^2 + x^3)$ в обеих частях:
$48 + 48x = 0$
$48x = -48$
$x = \frac{-48}{48} = -1$.

Ответ: $-1$

4) $11 - x^2(x + 9) = 8x - (x + 3)^3$
Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ и распределительный закон:
$(x+3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$.
Подставим в уравнение:
$11 - (x^3 + 9x^2) = 8x - (x^3 + 9x^2 + 27x + 27)$
$11 - x^3 - 9x^2 = 8x - x^3 - 9x^2 - 27x - 27$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$11 - x^3 - 9x^2 = -19x - 27 - x^3 - 9x^2$
Сократим одинаковые члены $(-x^3 - 9x^2)$ в обеих частях:
$11 = -19x - 27$
$19x = -27 - 11$
$19x = -38$
$x = \frac{-38}{19} = -2$.

Ответ: $-2$

35.7. Найдите корни уравнения:

1) $(x - 7)^2 - 49 = 0;$

2) $(6 + y)^2 - 81 = 0;$

3) $100 - (z - 19)^2 = 0;$

4) $25 - (13 + t)^2 = 0.$

1) $(x - 7)^2 - 49 = 0$

Для решения данного уравнения можно использовать метод извлечения квадратного корня или формулу разности квадратов. Воспользуемся первым методом. Перенесем 49 в правую часть уравнения:

$(x - 7)^2 = 49$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что квадратный корень из 49 может быть как 7, так и -7.

$x - 7 = \pm\sqrt{49}$

$x - 7 = \pm 7$

Это уравнение распадается на два более простых линейных уравнения:

1) $x - 7 = 7$

$x_1 = 7 + 7$

$x_1 = 14$

2) $x - 7 = -7$

$x_2 = -7 + 7$

$x_2 = 0$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: 0; 14.

2) $(6 + y)^2 - 81 = 0$

Перенесем 81 в правую часть уравнения:

$(6 + y)^2 = 81$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$6 + y = \pm\sqrt{81}$

$6 + y = \pm 9$

Получаем два линейных уравнения:

1) $6 + y = 9$

$y_1 = 9 - 6$

$y_1 = 3$

2) $6 + y = -9$

$y_2 = -9 - 6$

$y_2 = -15$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: -15; 3.

3) $100 - (z - 19)^2 = 0$

Перенесем слагаемое с квадратом в правую часть уравнения:

$100 = (z - 19)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\pm\sqrt{100} = z - 19$

$\pm 10 = z - 19$

Получаем два линейных уравнения:

1) $10 = z - 19$

$z_1 = 10 + 19$

$z_1 = 29$

2) $-10 = z - 19$

$z_2 = -10 + 19$

$z_2 = 9$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: 9; 29.

4) $25 - (13 + t)^2 = 0$

Перенесем слагаемое с квадратом в правую часть уравнения:

$25 = (13 + t)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\pm\sqrt{25} = 13 + t$

$\pm 5 = 13 + t$

Получаем два линейных уравнения:

1) $5 = 13 + t$

$t_1 = 5 - 13$

$t_1 = -8$

2) $-5 = 13 + t$

$t_2 = -5 - 13$

$t_2 = -18$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: -18; -8.

Решите уравнения (35.8–35.10):

35.8. 1) $x(0,25x - 3) - (0,5x + 1)(0,5x - 1) = 0$;

2) $(1,2 - x)(x + 1,2) + 1,8x + x^2 = 0$;

3) $0,49x^2 - 3x - (0,7x + 2)(0,7x - 2) = 0$;

4) $(1,6x + 1)(1 - 1,6x) - 64x(1 - 0,04x) = 0$.

1) Решим уравнение $x(0,25x - 3) - (0,5x + 1)(0,5x - 1) = 0$.
Раскроем скобки. Произведение $x(0,25x - 3)$ равно $0,25x^2 - 3x$.
Выражение $(0,5x + 1)(0,5x - 1)$ является разностью квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, где $a=0,5x$ и $b=1$. Таким образом, $(0,5x + 1)(0,5x - 1) = (0,5x)^2 - 1^2 = 0,25x^2 - 1$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$0,25x^2 - 3x - (0,25x^2 - 1) = 0$
Раскроем вторые скобки:
$0,25x^2 - 3x - 0,25x^2 + 1 = 0$
Приведем подобные члены. Члены $0,25x^2$ и $-0,25x^2$ взаимно уничтожаются.
$-3x + 1 = 0$
Перенесем 1 в правую часть:
$-3x = -1$
Разделим обе части на -3:
$x = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

2) Решим уравнение $(1,2 - x)(x + 1,2) + 1,8x + x^2 = 0$.
Выражение $(1,2 - x)(x + 1,2)$ можно переписать как $(1,2 - x)(1,2 + x)$, что является разностью квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=1,2$ и $b=x$. Таким образом, $(1,2 - x)(1,2 + x) = 1,2^2 - x^2 = 1,44 - x^2$.
Подставим это в уравнение:
$1,44 - x^2 + 1,8x + x^2 = 0$
Приведем подобные члены. Члены $-x^2$ и $+x^2$ взаимно уничтожаются.
$1,44 + 1,8x = 0$
Перенесем 1,44 в правую часть:
$1,8x = -1,44$
Разделим обе части на 1,8:
$x = \frac{-1,44}{1,8} = -\frac{14,4}{18} = -0,8$.
Ответ: $x = -0,8$.

3) Решим уравнение $0,49x^2 - 3x - (0,7x + 2)(0,7x - 2) = 0$.
Выражение $(0,7x + 2)(0,7x - 2)$ является разностью квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, где $a=0,7x$ и $b=2$. Таким образом, $(0,7x + 2)(0,7x - 2) = (0,7x)^2 - 2^2 = 0,49x^2 - 4$.
Подставим это в уравнение:
$0,49x^2 - 3x - (0,49x^2 - 4) = 0$
Раскроем скобки:
$0,49x^2 - 3x - 0,49x^2 + 4 = 0$
Приведем подобные члены. Члены $0,49x^2$ и $-0,49x^2$ взаимно уничтожаются.
$-3x + 4 = 0$
Перенесем 4 в правую часть:
$-3x = -4$
Разделим обе части на -3:
$x = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
Ответ: $x = 1\frac{1}{3}$.

4) Решим уравнение $(1,6x + 1)(1 - 1,6x) - 64x(1 - 0,04x) = 0$.
Выражение $(1,6x + 1)(1 - 1,6x)$ можно переписать как $(1 + 1,6x)(1 - 1,6x)$, что является разностью квадратов. Получаем $1^2 - (1,6x)^2 = 1 - 2,56x^2$.
Раскроем вторую часть выражения: $-64x(1 - 0,04x) = -64x \cdot 1 - 64x \cdot (-0,04x) = -64x + (64 \cdot 0,04)x^2 = -64x + 2,56x^2$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$1 - 2,56x^2 - 64x + 2,56x^2 = 0$
Приведем подобные члены. Члены $-2,56x^2$ и $+2,56x^2$ взаимно уничтожаются.
$1 - 64x = 0$
Перенесем -64x в правую часть:
$1 = 64x$
Разделим обе части на 64:
$x = \frac{1}{64}$.
Ответ: $x = \frac{1}{64}$.

35.9.

1) $(7x - 5)^2 + 67x - 49x^2 = -2;$

2) $196x^2 - (14x + 3)^2 + 80x = -5;$

3) $-2.89x^2 + (1.7x + 2)^2 + 0.2x = 11;$

4) $(2.4x - 1)^2 - 0.2x - 5.76x^2 = 3.$

1) $(7x-5)^2+67x-49x^2=-2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(7x)^2 - 2 \cdot 7x \cdot 5 + 5^2 + 67x - 49x^2 = -2$

$49x^2 - 70x + 25 + 67x - 49x^2 = -2$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$(49x^2 - 49x^2) + (-70x + 67x) + 25 = -2$

$-3x + 25 = -2$

Перенесем 25 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-3x = -2 - 25$

$-3x = -27$

Найдем $x$:

$x = \frac{-27}{-3}$

$x = 9$

Ответ: $9$

2) $196x^2 - (14x+3)^2 + 80x = -5$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$196x^2 - ((14x)^2 + 2 \cdot 14x \cdot 3 + 3^2) + 80x = -5$

$196x^2 - (196x^2 + 84x + 9) + 80x = -5$

Раскроем скобки, поменяв знаки на противоположные:

$196x^2 - 196x^2 - 84x - 9 + 80x = -5$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$(196x^2 - 196x^2) + (-84x + 80x) - 9 = -5$

$-4x - 9 = -5$

Перенесем -9 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-4x = -5 + 9$

$-4x = 4$

Найдем $x$:

$x = \frac{4}{-4}$

$x = -1$

Ответ: $-1$

3) $-2,89x^2 + (1,7x+2)^2 + 0,2x = 11$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Заметим, что $1,7^2 = 2,89$.

$-2,89x^2 + ((1,7x)^2 + 2 \cdot 1,7x \cdot 2 + 2^2) + 0,2x = 11$

$-2,89x^2 + (2,89x^2 + 6,8x + 4) + 0,2x = 11$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$(-2,89x^2 + 2,89x^2) + (6,8x + 0,2x) + 4 = 11$

$7x + 4 = 11$

Перенесем 4 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$7x = 11 - 4$

$7x = 7$

Найдем $x$:

$x = \frac{7}{7}$

$x = 1$

Ответ: $1$

4) $(2,4x-1)^2 - 0,2x - 5,76x^2 = 3$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Заметим, что $2,4^2 = 5,76$.

$(2,4x)^2 - 2 \cdot 2,4x \cdot 1 + 1^2 - 0,2x - 5,76x^2 = 3$

$5,76x^2 - 4,8x + 1 - 0,2x - 5,76x^2 = 3$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$(5,76x^2 - 5,76x^2) + (-4,8x - 0,2x) + 1 = 3$

$-5x + 1 = 3$

Перенесем 1 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-5x = 3 - 1$

$-5x = 2$

Найдем $x$:

$x = \frac{2}{-5}$

$x = -0,4$

Ответ: $-0,4$