Страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.16. 1) $(6 - x)^3 - x^2(16 - x) = 2x^2 + 116;$

2) $(y + 7)^3 + y(13 - y^2) = 21y^2 + 23;$

3) $(4 - 3z)^3 + z(14 + 27z^2) = 108z^2 + 77;$

4) $(5x + 2)^3 - 25x(5x^2 - 4) = 150x^2 + 21.$

1) $(6 - x)^3 - x^2(16 - x) = 2x^2 + 116$
Раскроем скобки в левой части уравнения. Для первого слагаемого применим формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. Для второго слагаемого используем распределительный закон умножения.
$(6^3 - 3 \cdot 6^2 \cdot x + 3 \cdot 6 \cdot x^2 - x^3) - (x^2 \cdot 16 - x^2 \cdot x) = 2x^2 + 116$
$(216 - 3 \cdot 36 \cdot x + 18x^2 - x^3) - 16x^2 + x^3 = 2x^2 + 116$
$216 - 108x + 18x^2 - x^3 - 16x^2 + x^3 = 2x^2 + 116$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$216 - 108x + (18x^2 - 16x^2) + (-x^3 + x^3) = 2x^2 + 116$
$216 - 108x + 2x^2 = 2x^2 + 116$
Теперь вычтем $2x^2$ из обеих частей уравнения:
$216 - 108x = 116$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а постоянные члены — в другую:
$216 - 116 = 108x$
$100 = 108x$
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 108:
$x = \frac{100}{108}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4:
$x = \frac{100 \div 4}{108 \div 4} = \frac{25}{27}$
Ответ: $\frac{25}{27}$.

2) $(y + 7)^3 + y(13 - y^2) = 21y^2 + 23$
Раскроем скобки в левой части. Для первого слагаемого применим формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
$(y^3 + 3 \cdot y^2 \cdot 7 + 3 \cdot y \cdot 7^2 + 7^3) + (y \cdot 13 - y \cdot y^2) = 21y^2 + 23$
$(y^3 + 21y^2 + 3y \cdot 49 + 343) + 13y - y^3 = 21y^2 + 23$
$y^3 + 21y^2 + 147y + 343 + 13y - y^3 = 21y^2 + 23$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(y^3 - y^3) + 21y^2 + (147y + 13y) + 343 = 21y^2 + 23$
$21y^2 + 160y + 343 = 21y^2 + 23$
Вычтем $21y^2$ из обеих частей уравнения:
$160y + 343 = 23$
Перенесем постоянный член из левой части в правую:
$160y = 23 - 343$
$160y = -320$
Найдем $y$, разделив обе части на 160:
$y = \frac{-320}{160} = -2$
Ответ: -2.

3) $(4 - 3z)^3 + z(14 + 27z^2) = 108z^2 + 77$
Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу куба разности и распределительный закон.
$(4^3 - 3 \cdot 4^2 \cdot (3z) + 3 \cdot 4 \cdot (3z)^2 - (3z)^3) + (z \cdot 14 + z \cdot 27z^2) = 108z^2 + 77$
$(64 - 3 \cdot 16 \cdot 3z + 12 \cdot 9z^2 - 27z^3) + 14z + 27z^3 = 108z^2 + 77$
$64 - 144z + 108z^2 - 27z^3 + 14z + 27z^3 = 108z^2 + 77$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$64 + (-144z + 14z) + 108z^2 + (-27z^3 + 27z^3) = 108z^2 + 77$
$64 - 130z + 108z^2 = 108z^2 + 77$
Вычтем $108z^2$ из обеих частей:
$64 - 130z = 77$
Перенесем постоянные члены:
$-130z = 77 - 64$
$-130z = 13$
Найдем $z$, разделив обе части на -130:
$z = \frac{13}{-130} = -\frac{1}{10}$
Ответ: $-\frac{1}{10}$.

4) $(5x + 2)^3 - 25x(5x^2 - 4) = 150x^2 + 21$
Раскроем скобки в левой части, используя формулу куба суммы и распределительный закон.
$((5x)^3 + 3 \cdot (5x)^2 \cdot 2 + 3 \cdot 5x \cdot 2^2 + 2^3) - (25x \cdot 5x^2 - 25x \cdot 4) = 150x^2 + 21$
$(125x^3 + 3 \cdot 25x^2 \cdot 2 + 15x \cdot 4 + 8) - (125x^3 - 100x) = 150x^2 + 21$
$125x^3 + 150x^2 + 60x + 8 - 125x^3 + 100x = 150x^2 + 21$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(125x^3 - 125x^3) + 150x^2 + (60x + 100x) + 8 = 150x^2 + 21$
$150x^2 + 160x + 8 = 150x^2 + 21$
Вычтем $150x^2$ из обеих частей уравнения:
$160x + 8 = 21$
Перенесем постоянные члены:
$160x = 21 - 8$
$160x = 13$
Найдем $x$, разделив обе части на 160:
$x = \frac{13}{160}$
Ответ: $\frac{13}{160}$.

33.17. Найдите наибольшее целое число, являющееся решением неравенства:

1) $ (2-3x)^3 - 54x^2 \leq -27x^3 - 41x; $

2) $ (3+2x)^3 - 36x^2 \geq 60x + 8x^3. $

1) Решим неравенство $(2-3x)^3 - 54x^2 \le -27x^3 - 41x$.

Для начала раскроем скобки в левой части неравенства, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В нашем случае $a=2$ и $b=3x$.

$(2-3x)^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot (3x) + 3 \cdot 2 \cdot (3x)^2 - (3x)^3 = 8 - 3 \cdot 4 \cdot 3x + 6 \cdot 9x^2 - 27x^3 = 8 - 36x + 54x^2 - 27x^3$.

Подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$8 - 36x + 54x^2 - 27x^3 - 54x^2 \le -27x^3 - 41x$.

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$8 - 36x - 27x^3 \le -27x^3 - 41x$.

Теперь перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую. Члены $-27x^3$ в обеих частях взаимно уничтожаются.

$-36x + 41x \le -8$.

$5x \le -8$.

Разделим обе части на 5:

$x \le -\frac{8}{5}$.

$x \le -1.6$.

Решением неравенства является промежуток $(-\infty; -1.6]$. Нам нужно найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию. Это число -2.

Ответ: -2

2) Решим неравенство $(3+2x)^3 - 36x^2 \ge 60x + 8x^3$.

Раскроем скобки в левой части, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

В нашем случае $a=3$ и $b=2x$.

$(3+2x)^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot (2x) + 3 \cdot 3 \cdot (2x)^2 + (2x)^3 = 27 + 3 \cdot 9 \cdot 2x + 9 \cdot 4x^2 + 8x^3 = 27 + 54x + 36x^2 + 8x^3$.

Подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$27 + 54x + 36x^2 + 8x^3 - 36x^2 \ge 60x + 8x^3$.

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$27 + 54x + 8x^3 \ge 60x + 8x^3$.

Перенесем члены с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены оставим в левой. Члены $8x^3$ в обеих частях взаимно уничтожаются.

$27 \ge 60x - 54x$.

$27 \ge 6x$.

Для удобства поменяем части неравенства местами, изменив знак на противоположный:

$6x \le 27$.

Разделим обе части на 6:

$x \le \frac{27}{6}$.

$x \le 4.5$.

Решением неравенства является промежуток $(-\infty; 4.5]$. Наибольшее целое число, принадлежащее этому промежутку, — это 4.

Ответ: 4

33.18. Найдите наименьшее целое число, являющееся решением неравенства::

1) $(x-7)^3 + 42x^2 \ge (x+7)^3 + 14 - 7x;$

2) $(6+x)^3 - 220 \le 2x^3 - (x-6)^3 + 19.$

1) $(x - 7)^3 + 42x^2 \ge (x + 7)^3 + 14 - 7x$

Для решения данного неравенства раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения для куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ и куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Левая часть: $(x - 7)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 7 + 3 \cdot x \cdot 7^2 - 7^3 = x^3 - 21x^2 + 147x - 343$.

Правая часть: $(x + 7)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 7 + 3 \cdot x \cdot 7^2 + 7^3 = x^3 + 21x^2 + 147x + 343$.

Подставим раскрытые скобки в исходное неравенство:

$(x^3 - 21x^2 + 147x - 343) + 42x^2 \ge (x^3 + 21x^2 + 147x + 343) + 14 - 7x$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$x^3 + (-21x^2 + 42x^2) + 147x - 343 \ge x^3 + 21x^2 + (147x - 7x) + (343 + 14)$

$x^3 + 21x^2 + 147x - 343 \ge x^3 + 21x^2 + 140x + 357$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. Члены $x^3$ и $21x^2$ присутствуют в обеих частях с одинаковыми знаками, поэтому они взаимно уничтожаются при переносе.

$147x - 140x \ge 357 + 343$

$7x \ge 700$

Разделим обе части неравенства на 7:

$x \ge 100$

Решением неравенства является числовой промежуток $[100; +\infty)$. Наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому условию, это 100.

Ответ: 100.

2) $(6 + x)^3 - 220x \le 2x^3 - (x - 6)^3 + 19$

Перепишем неравенство в более удобном виде $(x+6)^3$ и перенесем слагаемое $-(x-6)^3$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$(x + 6)^3 + (x - 6)^3 - 220x \le 2x^3 + 19$

Раскроем скобки, используя формулы куба суммы и куба разности:

$(x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 6 + 3 \cdot x \cdot 6^2 + 6^3) + (x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 6 + 3 \cdot x \cdot 6^2 - 6^3) - 220x \le 2x^3 + 19$

Выполним вычисления:

$(x^3 + 18x^2 + 108x + 216) + (x^3 - 18x^2 + 108x - 216) - 220x \le 2x^3 + 19$

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства. Обратим внимание, что некоторые слагаемые взаимно уничтожаются:

$(x^3 + x^3) + (18x^2 - 18x^2) + (108x + 108x - 220x) + (216 - 216) \le 2x^3 + 19$

$2x^3 + 0x^2 + (216x - 220x) + 0 \le 2x^3 + 19$

$2x^3 - 4x \le 2x^3 + 19$

Вычтем $2x^3$ из обеих частей неравенства:

$-4x \le 19$

Разделим обе части на -4. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$x \ge \frac{19}{-4}$

$x \ge -4,75$

Решением неравенства является числовой промежуток $[-4,75; +\infty)$. Нам нужно найти наименьшее целое число из этого промежутка. Первое целое число, которое больше или равно -4,75, это -4.

Ответ: -4.

33.19. Докажите тождество:

1) $(b+5)^3 - b(b-5)^2 - 25(1+b)^2 = 100;$

2) $5(1-b)^3 + 5b(1+b)^2 - (1-5b)^2 = 4;$

3) $(2b-3)^3 - 4b^2(2b-6) + 6b(2b-9) = -27;$

4) $(b+2)^3 + (2b+1)^3 - 9b(b^2+2b+2) - 10 = -1.$

1) Докажем тождество $(b + 5)^3 - b(b - 5)^2 - 25(1 + b)^2 = 100$.

Для этого преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: куб суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ и квадрат суммы/разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

1. Раскроем первый член: $(b + 5)^3 = b^3 + 3 \cdot b^2 \cdot 5 + 3 \cdot b \cdot 5^2 + 5^3 = b^3 + 15b^2 + 75b + 125$.

2. Раскроем второй член: $-b(b - 5)^2 = -b(b^2 - 10b + 25) = -b^3 + 10b^2 - 25b$.

3. Раскроем третий член: $-25(1 + b)^2 = -25(1 + 2b + b^2) = -25 - 50b - 25b^2$.

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства и упростим:

$(b^3 + 15b^2 + 75b + 125) + (-b^3 + 10b^2 - 25b) + (-25 - 50b - 25b^2) = $

$= b^3 + 15b^2 + 75b + 125 - b^3 + 10b^2 - 25b - 25 - 50b - 25b^2$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(b^3 - b^3) + (15b^2 + 10b^2 - 25b^2) + (75b - 25b - 50b) + (125 - 25) = 0 + 0 + 0 + 100 = 100$.

Левая часть равна $100$, что соответствует правой части. Таким образом, равенство $100 = 100$ является верным, и тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $5(1 - b)^3 + 5b(1 + b)^2 - (1 - 5b)^2 = 4$.

Преобразуем левую часть равенства, раскрыв скобки:

$5(1 - b)^3 = 5(1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot b + 3 \cdot 1 \cdot b^2 - b^3) = 5(1 - 3b + 3b^2 - b^3) = 5 - 15b + 15b^2 - 5b^3$.

$5b(1 + b)^2 = 5b(1 + 2b + b^2) = 5b + 10b^2 + 5b^3$.

$-(1 - 5b)^2 = -(1 - 10b + 25b^2) = -1 + 10b - 25b^2$.

Подставим полученные выражения в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(5 - 15b + 15b^2 - 5b^3) + (5b + 10b^2 + 5b^3) + (-1 + 10b - 25b^2) = $

$= 5 - 15b + 15b^2 - 5b^3 + 5b + 10b^2 + 5b^3 - 1 + 10b - 25b^2$.

Сгруппируем подобные члены:

$(-5b^3 + 5b^3) + (15b^2 + 10b^2 - 25b^2) + (-15b + 5b + 10b) + (5 - 1) = 0 + 0 + 0 + 4 = 4$.

Левая часть равна $4$, следовательно, равенство $4 = 4$ верно. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество $(2b - 3)^3 - 4b^2(2b - 6) + 6b(2b - 9) = -27$.

Преобразуем левую часть тождества. Раскроем скобки:

$(2b - 3)^3 = (2b)^3 - 3 \cdot (2b)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2b \cdot 3^2 - 3^3 = 8b^3 - 36b^2 + 54b - 27$.

$-4b^2(2b - 6) = -8b^3 + 24b^2$.

$6b(2b - 9) = 12b^2 - 54b$.

Сложим полученные выражения:

$(8b^3 - 36b^2 + 54b - 27) - 8b^3 + 24b^2 + 12b^2 - 54b$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(8b^3 - 8b^3) + (-36b^2 + 24b^2 + 12b^2) + (54b - 54b) - 27 = 0 + 0 + 0 - 27 = -27$.

Получили, что левая часть равна $-27$, следовательно, равенство $-27 = -27$ верно. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

4) Докажем тождество $(b + 2)^3 + (2b + 1)^3 - 9b(b^2 + 2b + 2) - 10 = -1$.

Преобразуем левую часть равенства, раскрыв все скобки:

$(b + 2)^3 = b^3 + 3 \cdot b^2 \cdot 2 + 3 \cdot b \cdot 2^2 + 2^3 = b^3 + 6b^2 + 12b + 8$.

$(2b + 1)^3 = (2b)^3 + 3 \cdot (2b)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2b \cdot 1^2 + 1^3 = 8b^3 + 12b^2 + 6b + 1$.

$-9b(b^2 + 2b + 2) = -9b^3 - 18b^2 - 18b$.

Подставим все в левую часть и добавим оставшийся член $-10$:

$(b^3 + 6b^2 + 12b + 8) + (8b^3 + 12b^2 + 6b + 1) - 9b^3 - 18b^2 - 18b - 10$.

Приведем подобные слагаемые:

$(b^3 + 8b^3 - 9b^3) + (6b^2 + 12b^2 - 18b^2) + (12b + 6b - 18b) + (8 + 1 - 10) = 0 + 0 + 0 - 1 = -1$.

Левая часть тождественно равна $-1$, следовательно, равенство $-1 = -1$ верно. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

33.20. Докажите, что при любых значениях переменных значение выражения равно нулю:

1) $(a + x)^3 - a(a + x)^2 - x^2(2a + x) - a^2x;$

2) $(a - 1)^3 + 3(a - 1)^2 + 3(a - 1) + 1 - a^3;$

3) $(x^3 + y^3)^2 - (x^2 + y^2)^3 + 3x^2y^2(x + y)^2 - 8x^3y^3;$

4) $(m - 3n)^3 - (2m - 3n)(3mn + (m - 3n)^2) + m^3.$

1) $(a + x)^3 - a(a + x)^2 - x^2(2a + x) - a^2x$

Для доказательства тождества преобразуем левую часть выражения. Сначала вынесем общий множитель $(a+x)^2$ за скобки в первых двух слагаемых:

$(a+x)^2((a+x)-a) - x^2(2a+x) - a^2x = (a+x)^2 \cdot x - x^2(2a+x) - a^2x$

Теперь раскроем оставшиеся скобки. Используем формулу квадрата суммы $(a+x)^2 = a^2+2ax+x^2$:

$x(a^2+2ax+x^2) - (2ax^2+x^3) - a^2x = a^2x + 2ax^2 + x^3 - 2ax^2 - x^3 - a^2x$

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(a^2x - a^2x) + (2ax^2 - 2ax^2) + (x^3 - x^3) = 0 + 0 + 0 = 0$

Таким образом, значение выражения равно нулю при любых значениях переменных $a$ и $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: 0

2) $(a-1)^3 + 3(a-1)^2 + 3(a-1) + 1 - a^3$

Заметим, что первые четыре слагаемых в выражении соответствуют формуле куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Пусть $x = a-1$ и $y = 1$. Тогда часть выражения $(a-1)^3 + 3(a-1)^2 \cdot 1 + 3(a-1) \cdot 1^2 + 1^3$ можно свернуть по этой формуле:

$((a-1)+1)^3 = a^3$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$a^3 - a^3 = 0$

Таким образом, значение выражения равно нулю при любом значении переменной $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: 0

3) $(x^3+y^3)^2 - (x^2+y^2)^3 + 3x^2y^2(x+y)^2 - 8x^3y^3$

Для доказательства тождества раскроем все скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и куб суммы $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

1. $(x^3+y^3)^2 = (x^3)^2 + 2x^3y^3 + (y^3)^2 = x^6 + 2x^3y^3 + y^6$.

2. $(x^2+y^2)^3 = (x^2)^3 + 3(x^2)^2y^2 + 3x^2(y^2)^2 + (y^2)^3 = x^6 + 3x^4y^2 + 3x^2y^4 + y^6$.

3. $3x^2y^2(x+y)^2 = 3x^2y^2(x^2+2xy+y^2) = 3x^4y^2 + 6x^3y^3 + 3x^2y^4$.

Теперь подставим раскрытые выражения в исходное равенство:

$(x^6 + 2x^3y^3 + y^6) - (x^6 + 3x^4y^2 + 3x^2y^4 + y^6) + (3x^4y^2 + 6x^3y^3 + 3x^2y^4) - 8x^3y^3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^6 + 2x^3y^3 + y^6 - x^6 - 3x^4y^2 - 3x^2y^4 - y^6 + 3x^4y^2 + 6x^3y^3 + 3x^2y^4 - 8x^3y^3$

Сгруппируем подобные члены:

$(x^6 - x^6) + (y^6 - y^6) + (2x^3y^3 + 6x^3y^3 - 8x^3y^3) + (-3x^4y^2 + 3x^4y^2) + (-3x^2y^4 + 3x^2y^4) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Таким образом, значение выражения равно нулю при любых значениях переменных, что и требовалось доказать.

Ответ: 0

4) $(m-3n)^3 - (2m-3n)(3mn+(m-3n)^2) + m^3$

Сначала упростим выражение в скобках во втором слагаемом, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$3mn + (m-3n)^2 = 3mn + (m^2 - 6mn + 9n^2) = m^2 - 3mn + 9n^2$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$(m-3n)^3 - (2m-3n)(m^2 - 3mn + 9n^2) + m^3$

Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. Второе слагаемое является произведением многочленов.

1. $(m-3n)^3 = m^3 - 3m^2(3n) + 3m(3n)^2 - (3n)^3 = m^3 - 9m^2n + 27mn^2 - 27n^3$.

2. $(2m-3n)(m^2 - 3mn + 9n^2) = 2m(m^2 - 3mn + 9n^2) - 3n(m^2 - 3mn + 9n^2) = (2m^3 - 6m^2n + 18mn^2) - (3m^2n - 9mn^2 + 27n^3) = 2m^3 - 9m^2n + 27mn^2 - 27n^3$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$(m^3 - 9m^2n + 27mn^2 - 27n^3) - (2m^3 - 9m^2n + 27mn^2 - 27n^3) + m^3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$m^3 - 9m^2n + 27mn^2 - 27n^3 - 2m^3 + 9m^2n - 27mn^2 + 27n^3 + m^3$

Сгруппируем подобные члены:

$(m^3 - 2m^3 + m^3) + (-9m^2n + 9m^2n) + (27mn^2 - 27mn^2) + (-27n^3 + 27n^3) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Таким образом, значение выражения равно нулю при любых значениях переменных, что и требовалось доказать.

Ответ: 0

33.21. Выполните действия:

1) $(a + 2b)(a^2 + ab + b^2);$

2) $(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2).$

1) Чтобы выполнить умножение многочленов, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и затем сложить полученные результаты.
$(a + 2b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot (a^2 + ab + b^2) + 2b \cdot (a^2 + ab + b^2)$
Раскрываем скобки, умножая каждый член:
$a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 + 2b \cdot a^2 + 2b \cdot ab + 2b \cdot b^2 = a^3 + a^2b + ab^2 + 2a^2b + 2ab^2 + 2b^3$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (a^2b + 2a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + 2b^3$
Складываем подобные члены:
$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 2b^3$
Ответ: $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 2b^3$

2) Данное выражение является примером формулы сокращенного умножения, а именно разности кубов: $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$.
Давайте определим $x$ и $y$ для нашего случая:
Пусть $x = a$ и $y = 3b$.
Теперь проверим, соответствует ли второй множитель $(a^2 + 3ab + 9b^2)$ части формулы $(x^2 + xy + y^2)$:
$x^2 = a^2$
$xy = a \cdot (3b) = 3ab$
$y^2 = (3b)^2 = 9b^2$
Второй множитель полностью совпадает с формулой.
Следовательно, мы можем применить формулу разности кубов:
$(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2) = a^3 - (3b)^3 = a^3 - 27b^3$
В качестве проверки можно выполнить умножение "в лоб":
$(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2) = a(a^2 + 3ab + 9b^2) - 3b(a^2 + 3ab + 9b^2)$
$= a^3 + 3a^2b + 9ab^2 - 3a^2b - 9ab^2 - 27b^3$
Сокращаем подобные члены:
$a^3 + (3a^2b - 3a^2b) + (9ab^2 - 9ab^2) - 27b^3 = a^3 - 27b^3$
Ответ: $a^3 - 27b^3$

33.22. Длина стороны одного куба равна $a$ см, другого — $b$ см. Выразите формулой сумму объемов этих кубов.

Для того чтобы выразить формулой сумму объемов двух кубов, необходимо найти объем каждого куба по отдельности, а затем сложить полученные значения.

Объем куба вычисляется по формуле $V = s^3$, где $s$ — это длина его стороны.

1. Найдем объем первого куба. Длина его стороны по условию равна $a$ см. Обозначим его объем как $V_1$. Тогда:
$V_1 = a^3$ (см³)

2. Найдем объем второго куба. Длина его стороны по условию равна $b$ см. Обозначим его объем как $V_2$. Тогда:
$V_2 = b^3$ (см³)

3. Сумма объемов этих кубов, обозначим ее $V_{общ}$, равна сумме объемов первого и второго кубов:
$V_{общ} = V_1 + V_2$

Подставив найденные объемы в эту формулу, получим итоговое выражение для суммы объемов:
$V_{общ} = a^3 + b^3$

Ответ: Формула для суммы объемов этих кубов: $a^3 + b^3$ см³.