Номер 33.16, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.16. 1) $(6 - x)^3 - x^2(16 - x) = 2x^2 + 116;$

2) $(y + 7)^3 + y(13 - y^2) = 21y^2 + 23;$

3) $(4 - 3z)^3 + z(14 + 27z^2) = 108z^2 + 77;$

4) $(5x + 2)^3 - 25x(5x^2 - 4) = 150x^2 + 21.$

1) $(6 - x)^3 - x^2(16 - x) = 2x^2 + 116$
Раскроем скобки в левой части уравнения. Для первого слагаемого применим формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. Для второго слагаемого используем распределительный закон умножения.
$(6^3 - 3 \cdot 6^2 \cdot x + 3 \cdot 6 \cdot x^2 - x^3) - (x^2 \cdot 16 - x^2 \cdot x) = 2x^2 + 116$
$(216 - 3 \cdot 36 \cdot x + 18x^2 - x^3) - 16x^2 + x^3 = 2x^2 + 116$
$216 - 108x + 18x^2 - x^3 - 16x^2 + x^3 = 2x^2 + 116$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$216 - 108x + (18x^2 - 16x^2) + (-x^3 + x^3) = 2x^2 + 116$
$216 - 108x + 2x^2 = 2x^2 + 116$
Теперь вычтем $2x^2$ из обеих частей уравнения:
$216 - 108x = 116$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а постоянные члены — в другую:
$216 - 116 = 108x$
$100 = 108x$
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 108:
$x = \frac{100}{108}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4:
$x = \frac{100 \div 4}{108 \div 4} = \frac{25}{27}$
Ответ: $\frac{25}{27}$.

2) $(y + 7)^3 + y(13 - y^2) = 21y^2 + 23$
Раскроем скобки в левой части. Для первого слагаемого применим формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
$(y^3 + 3 \cdot y^2 \cdot 7 + 3 \cdot y \cdot 7^2 + 7^3) + (y \cdot 13 - y \cdot y^2) = 21y^2 + 23$
$(y^3 + 21y^2 + 3y \cdot 49 + 343) + 13y - y^3 = 21y^2 + 23$
$y^3 + 21y^2 + 147y + 343 + 13y - y^3 = 21y^2 + 23$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(y^3 - y^3) + 21y^2 + (147y + 13y) + 343 = 21y^2 + 23$
$21y^2 + 160y + 343 = 21y^2 + 23$
Вычтем $21y^2$ из обеих частей уравнения:
$160y + 343 = 23$
Перенесем постоянный член из левой части в правую:
$160y = 23 - 343$
$160y = -320$
Найдем $y$, разделив обе части на 160:
$y = \frac{-320}{160} = -2$
Ответ: -2.

3) $(4 - 3z)^3 + z(14 + 27z^2) = 108z^2 + 77$
Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу куба разности и распределительный закон.
$(4^3 - 3 \cdot 4^2 \cdot (3z) + 3 \cdot 4 \cdot (3z)^2 - (3z)^3) + (z \cdot 14 + z \cdot 27z^2) = 108z^2 + 77$
$(64 - 3 \cdot 16 \cdot 3z + 12 \cdot 9z^2 - 27z^3) + 14z + 27z^3 = 108z^2 + 77$
$64 - 144z + 108z^2 - 27z^3 + 14z + 27z^3 = 108z^2 + 77$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$64 + (-144z + 14z) + 108z^2 + (-27z^3 + 27z^3) = 108z^2 + 77$
$64 - 130z + 108z^2 = 108z^2 + 77$
Вычтем $108z^2$ из обеих частей:
$64 - 130z = 77$
Перенесем постоянные члены:
$-130z = 77 - 64$
$-130z = 13$
Найдем $z$, разделив обе части на -130:
$z = \frac{13}{-130} = -\frac{1}{10}$
Ответ: $-\frac{1}{10}$.

4) $(5x + 2)^3 - 25x(5x^2 - 4) = 150x^2 + 21$
Раскроем скобки в левой части, используя формулу куба суммы и распределительный закон.
$((5x)^3 + 3 \cdot (5x)^2 \cdot 2 + 3 \cdot 5x \cdot 2^2 + 2^3) - (25x \cdot 5x^2 - 25x \cdot 4) = 150x^2 + 21$
$(125x^3 + 3 \cdot 25x^2 \cdot 2 + 15x \cdot 4 + 8) - (125x^3 - 100x) = 150x^2 + 21$
$125x^3 + 150x^2 + 60x + 8 - 125x^3 + 100x = 150x^2 + 21$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(125x^3 - 125x^3) + 150x^2 + (60x + 100x) + 8 = 150x^2 + 21$
$150x^2 + 160x + 8 = 150x^2 + 21$
Вычтем $150x^2$ из обеих частей уравнения:
$160x + 8 = 21$
Перенесем постоянные члены:
$160x = 21 - 8$
$160x = 13$
Найдем $x$, разделив обе части на 160:
$x = \frac{13}{160}$
Ответ: $\frac{13}{160}$.