Вопросы, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Чем отличается формула суммы (разности) кубов двух выражений от формулы куба их суммы (разности)?

2. Почему при чтении формулы суммы кубов употребляется словосочетание “неполный квадрат разности двух выражений”?

1. Основное отличие между формулой суммы (разности) кубов и формулой куба суммы (разности) заключается в порядке математических операций, что приводит к совершенно разным выражениям и результатам.

Сумма кубов ($a^3 + b^3$) и разность кубов ($a^3 - b^3$)
Здесь сначала каждое из двух выражений ($a$ и $b$) возводится в третью степень (в куб), и только после этого результаты складываются или вычитаются. Эти формулы используются для разложения выражения на множители:
Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Куб суммы ($(a+b)^3$) и куб разности ($(a-b)^3$)
Здесь сначала находится сумма или разность двух выражений ($a$ и $b$), и уже затем полученный результат возводится в третью степень. Эти формулы используются для раскрытия скобок и представления выражения в виде многочлена:
Формула куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Формула куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Таким образом, ключевые отличия:
1. Порядок действий: В "сумме кубов" сначала возведение в степень, потом сложение. В "кубе суммы" — сначала сложение, потом возведение в степень.
2. Структура и назначение: Формулы суммы/разности кубов — это формулы разложения на множители. Формулы куба суммы/разности — это формулы раскрытия скобок.
3. Конечный результат: Результаты этих операций не равны. Например, $(a+b)^3$ и $a^3+b^3$ отличаются на $3a^2b + 3ab^2$.

Ответ: Формула суммы (разности) кубов — это формула для разложения выражения вида $a^3 \pm b^3$ на множители, в то время как формула куба суммы (разности) — это формула для возведения в степень выражения $(a \pm b)^3$ и его представления в виде многочлена. Это разные математические операции с разными результатами.

2. Словосочетание "неполный квадрат разности" используется для описания одного из множителей в формуле разложения суммы кубов на множители.

Давайте рассмотрим формулу суммы кубов:
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

Обратим внимание на второй множитель в правой части: $a^2 - ab + b^2$.

Теперь вспомним, как выглядит формула (полного) квадрата разности двух выражений:
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Сравнивая выражение $a^2 - ab + b^2$ с полным квадратом разности $a^2 - 2ab + b^2$, можно заметить их сильное сходство. Единственное отличие — это коэффициент у среднего члена. В полном квадрате разности стоит удвоенное произведение выражений ($-2ab$), а в выражении из формулы суммы кубов — просто их произведение ($-ab$).

Именно из-за этого отсутствия двойки в среднем члене выражение $a^2 - ab + b^2$ и получило название "неполный квадрат разности".

К слову, по аналогии, в формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ множитель $a^2 + ab + b^2$ называется "неполным квадратом суммы", так как он похож на полный квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, но также без двойки в среднем члене.

Ответ: Выражение $a^2 - ab + b^2$ из формулы суммы кубов называют "неполным квадратом разности", потому что оно отличается от формулы полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ отсутствием множителя 2 в среднем члене (вместо удвоенного произведения используется простое произведение).