Номер 34.4, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.4. Представьте произведение в виде многочлена:

1) $(a + 2)(a^2 - 2a + 4)$;

2) $(1 - x^2)(1 + x^2 + x^4)$;

3) $(k - 5)(k^2 + 5k + 25)$;

4) $(3 + m)(9 - 3m + m^2)$;

5) $(1 + a^3)(1 - a^3 + a^6)$;

6) $(4 - n^2)(16 + 4n^2 + n^4)$;

7) $(25 - 5y^2 + y^4)(5 + y^2)$;

8) $(64 + 8z^3 + z^6)(8 - z^3)$.

1) Данное выражение является произведением суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Для его упрощения воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.В данном примере $a$ соответствует переменной $a$, а $b$ соответствует числу $2$. Проверим, соответствует ли второй множитель $(a^2 - 2a + 4)$ части формулы $(a^2 - ab + b^2)$:$a^2 \rightarrow a^2$$ab \rightarrow a \cdot 2 = 2a$$b^2 \rightarrow 2^2 = 4$Второй множитель полностью соответствует формуле.Следовательно, произведение равно сумме кубов $a$ и $2$:$(a+2)(a^2 - 2a + 4) = a^3 + 2^3 = a^3 + 8$.Ответ: $a^3 + 8$.

2) Это выражение является произведением разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Для его упрощения используем формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$.В этом случае $A=1$ и $B=x^2$. Проверим второй множитель $(1 + x^2 + x^4)$ на соответствие части формулы $(A^2 + AB + B^2)$:$A^2 \rightarrow 1^2 = 1$$AB \rightarrow 1 \cdot x^2 = x^2$$B^2 \rightarrow (x^2)^2 = x^4$Второй множитель полностью соответствует формуле.Таким образом, произведение равно разности кубов $1$ и $x^2$:$(1 - x^2)(1 + x^2 + x^4) = 1^3 - (x^2)^3 = 1 - x^6$.Ответ: $1 - x^6$.

3) Данное выражение является произведением разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Применяем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.Здесь $a=k$ и $b=5$. Проверим второй множитель $(k^2 + 5k + 25)$ на соответствие части формулы $(a^2 + ab + b^2)$:$a^2 \rightarrow k^2$$ab \rightarrow k \cdot 5 = 5k$$b^2 \rightarrow 5^2 = 25$Второй множитель соответствует формуле.Значит, произведение равно разности кубов $k$ и $5$:$(k - 5)(k^2 + 5k + 25) = k^3 - 5^3 = k^3 - 125$.Ответ: $k^3 - 125$.

4) Это выражение соответствует формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.Для удобства представим второй множитель в стандартном виде: $(3+m)(m^2-3m+9)$.В данном случае $a=3$ и $b=m$. Проверим второй множитель $(9 - 3m + m^2)$ на соответствие части формулы $(a^2 - ab + b^2)$:$a^2 \rightarrow 3^2 = 9$$ab \rightarrow 3 \cdot m = 3m$$b^2 \rightarrow m^2$Второй множитель соответствует формуле.Следовательно, произведение равно сумме кубов $3$ и $m$:$(3 + m)(9 - 3m + m^2) = 3^3 + m^3 = 27 + m^3$.Ответ: $27 + m^3$.

5) Данное выражение является произведением суммы двух выражений на неполный квадрат их разности, что соответствует формуле суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$.Здесь $A=1$ и $B=a^3$. Проверим второй множитель $(1 - a^3 + a^6)$ на соответствие части формулы $(A^2 - AB + B^2)$:$A^2 \rightarrow 1^2 = 1$$AB \rightarrow 1 \cdot a^3 = a^3$$B^2 \rightarrow (a^3)^2 = a^6$Второй множитель соответствует формуле.Таким образом, произведение равно сумме кубов $1$ и $a^3$:$(1 + a^3)(1 - a^3 + a^6) = 1^3 + (a^3)^3 = 1 + a^9$.Ответ: $1 + a^9$.

6) Это выражение является произведением разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Применяем формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$.В этом случае $A=4$ и $B=n^2$. Проверим второй множитель $(16 + 4n^2 + n^4)$ на соответствие части формулы $(A^2 + AB + B^2)$:$A^2 \rightarrow 4^2 = 16$$AB \rightarrow 4 \cdot n^2 = 4n^2$$B^2 \rightarrow (n^2)^2 = n^4$Второй множитель соответствует формуле.Значит, произведение равно разности кубов $4$ и $n^2$:$(4 - n^2)(16 + 4n^2 + n^4) = 4^3 - (n^2)^3 = 64 - n^6$.Ответ: $64 - n^6$.

7) Переставим множители для удобства: $(5 + y^2)(25 - 5y^2 + y^4)$. Это выражение соответствует формуле суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$.Здесь $A=5$ и $B=y^2$. Проверим второй множитель $(25 - 5y^2 + y^4)$ на соответствие части формулы $(A^2 - AB + B^2)$:$A^2 \rightarrow 5^2 = 25$$AB \rightarrow 5 \cdot y^2 = 5y^2$$B^2 \rightarrow (y^2)^2 = y^4$Второй множитель соответствует формуле.Следовательно, произведение равно сумме кубов $5$ и $y^2$:$(5 + y^2)(25 - 5y^2 + y^4) = 5^3 + (y^2)^3 = 125 + y^6$.Ответ: $125 + y^6$.

8) Переставим множители местами: $(8 - z^3)(64 + 8z^3 + z^6)$. Это выражение является произведением разности двух выражений на неполный квадрат их суммы и соответствует формуле разности кубов: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$.В данном случае $A=8$ и $B=z^3$. Проверим второй множитель $(64 + 8z^3 + z^6)$ на соответствие части формулы $(A^2 + AB + B^2)$:$A^2 \rightarrow 8^2 = 64$$AB \rightarrow 8 \cdot z^3 = 8z^3$$B^2 \rightarrow (z^3)^2 = z^6$Второй множитель соответствует формуле.Таким образом, произведение равно разности кубов $8$ и $z^3$:$(8 - z^3)(64 + 8z^3 + z^6) = 8^3 - (z^3)^3 = 512 - z^9$.Ответ: $512 - z^9$.