Номер 34.9, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.9. Докажите тождество:

1) $(5x - 6)(25x^2 + 30x + 36) - 0.25(500x^3 - 864) = 0;$

2) $91x^3 - (3x - 4)(9x^2 + 12x + 16) - (3 + 4x)(9 - 12x + 16x^2) = 37.$

1) Чтобы доказать тождество, мы преобразуем левую часть уравнения.

Первое слагаемое $(5x-6)(25x^2 + 30x + 36)$ является формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.

В нашем случае $a=5x$ и $b=6$.

Таким образом, $(5x-6)(25x^2+30x+36) = (5x)^3 - 6^3 = 125x^3 - 216$.

Теперь раскроем скобки во втором слагаемом $-0,25(500x^3 - 864)$:

$-0,25 \cdot 500x^3 - 0,25 \cdot (-864) = -125x^3 + 216$.

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного тождества:

$(125x^3 - 216) + (-125x^3 + 216) = 125x^3 - 216 - 125x^3 + 216 = 0$.

Левая часть равна правой части ($0 = 0$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть уравнения, чтобы доказать тождество.

Рассмотрим выражение $(3x-4)(9x^2+12x+16)$. Это формула разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$, где $a=3x$ и $b=4$.

$(3x-4)(9x^2+12x+16) = (3x)^3 - 4^3 = 27x^3 - 64$.

Рассмотрим выражение $(3+4x)(9-12x+16x^2)$. Это формула суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=3$ и $b=4x$.

$(3+4x)(9-12x+16x^2) = 3^3 + (4x)^3 = 27 + 64x^3$.

Теперь подставим упрощенные выражения в левую часть исходного тождества:

$91x^3 - (27x^3 - 64) - (27 + 64x^3)$

Раскроем скобки:

$91x^3 - 27x^3 + 64 - 27 - 64x^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(91x^3 - 27x^3 - 64x^3) + (64 - 27) = (91-27-64)x^3 + (64-27) = 0 \cdot x^3 + 37 = 37$.

Левая часть равна правой части ($37 = 37$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.