Номер 34.5, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (34.5–34.6):

34.5. 1) $(x-10)(x^2+10x+100)-x^3;$

2) $216-(a+6)(a^2-6a+36);$

3) $y^3+(7-y)(49-7y+y^2);$

4) $600-(8-z)(z^2+8z+64).$

1) $(x-10)(x^2 + 10x + 100) - x^3$

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

В выражении $(x-10)(x^2 + 10x + 100)$, пусть $a=x$ и $b=10$. Тогда второй множитель соответствует части формулы $a^2+ab+b^2 = x^2+x \cdot 10+10^2 = x^2+10x+100$.

Таким образом, произведение $(x-10)(x^2 + 10x + 100)$ равно $x^3 - 10^3 = x^3 - 1000$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(x^3 - 1000) - x^3 = x^3 - 1000 - x^3 = -1000$.

Ответ: $-1000$.

2) $216 - (a+6)(a^2 - 6a + 36)$

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

В выражении $(a+6)(a^2 - 6a + 36)$, переменная $a$ в формуле соответствует $a$ в задаче, а $b$ в формуле соответствует $6$. Тогда вторая скобка $a^2-ab+b^2 = a^2-a \cdot 6+6^2 = a^2-6a+36$.

Следовательно, $(a+6)(a^2 - 6a + 36) = a^3 + 6^3 = a^3 + 216$.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$216 - (a^3 + 216) = 216 - a^3 - 216 = -a^3$.

Ответ: $-a^3$.

3) $y^3 + (7-y)(49 - 7y + y^2)$

Данное выражение, скорее всего, содержит опечатку. Структура этого и других заданий предполагает использование формул суммы или разности кубов. Выражение $(7-y)(49 - 7y + y^2)$ не подходит ни под одну из этих формул. Если предположить, что в выражении $(49 - 7y + y^2)$ знак перед $7y$ должен быть плюсом, то задача решается с помощью формулы разности кубов.

Предположим, что правильное выражение выглядит так: $y^3 + (7-y)(49 + 7y + y^2)$.

Применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

Для выражения $(7-y)(49 + 7y + y^2)$, пусть $a=7$ и $b=y$. Тогда $a^2+ab+b^2 = 7^2+7y+y^2 = 49+7y+y^2$.

Таким образом, $(7-y)(49 + 7y + y^2) = 7^3 - y^3 = 343 - y^3$.

Подставим результат в исправленное выражение:

$y^3 + (343 - y^3) = y^3 + 343 - y^3 = 343$.

Ответ: $343$.

4) $600 - (8-z)(z^2 + 8z + 64)$

Для удобства перепишем выражение в скобках: $600 - (8-z)(64 + 8z + z^2)$.

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

В выражении $(8-z)(64 + 8z + z^2)$, пусть $a=8$ и $b=z$. Тогда $a^2+ab+b^2 = 8^2+8z+z^2 = 64+8z+z^2$.

Следовательно, $(8-z)(64 + 8z + z^2) = 8^3 - z^3 = 512 - z^3$.

Подставим это в исходное выражение:

$600 - (512 - z^3) = 600 - 512 + z^3 = 88 + z^3$.

Ответ: $z^3 + 88$.