Номер 34.10, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.10. Разложите на множители многочлен:

1) $a^3 - 27b^3$;

2) $m^3n^3 + k^3$;

3) $x^6 - y^6$;

4) $k^6 + (pq)^6$;

5) $(a - b)^3 + b^3$;

6) $(x - 2)^3 - 27$;

7) $8a^3 + (a - b)^3$;

8) $27x^3 - y^3(x - y)^3$.

1) Для разложения многочлена $a^3 - 27b^3$ на множители, представим его в виде разности кубов.
Выражение $27b^3$ можно записать как $(3b)^3$. Таким образом, мы имеем $a^3 - (3b)^3$.
Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
В нашем случае $x = a$ и $y = 3b$.
Подставляем в формулу:
$a^3 - (3b)^3 = (a - 3b)(a^2 + a \cdot (3b) + (3b)^2) = (a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2)$.
Ответ: $(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2)$.

2) Для разложения многочлена $m^3n^3 + k^3$ на множители, представим его в виде суммы кубов.
Выражение $m^3n^3$ можно записать как $(mn)^3$. Таким образом, мы имеем $(mn)^3 + k^3$.
Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
В нашем случае $x = mn$ и $y = k$.
Подставляем в формулу:
$(mn)^3 + k^3 = (mn + k)((mn)^2 - (mn) \cdot k + k^2) = (mn + k)(m^2n^2 - mnk + k^2)$.
Ответ: $(mn + k)(m^2n^2 - mnk + k^2)$.

3) Многочлен $x^6 - y^6$ можно разложить, представив его как разность квадратов: $(x^3)^2 - (y^3)^2$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^3$ и $b = y^3$:
$(x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$.
Теперь каждый из полученных множителей разложим по формулам разности и суммы кубов:
$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$
$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$
Собирая все множители вместе, получаем окончательный результат:
$(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$.
Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$.

4) Для разложения многочлена $k^6 + (pq)^6$ представим его как сумму кубов: $(k^2)^3 + ((pq)^2)^3$.
Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = k^2$ и $b = (pq)^2 = p^2q^2$.
Подставляем в формулу:
$(k^2)^3 + (p^2q^2)^3 = (k^2 + p^2q^2)((k^2)^2 - k^2 \cdot p^2q^2 + (p^2q^2)^2) = (k^2 + p^2q^2)(k^4 - k^2p^2q^2 + p^4q^4)$.
Ответ: $(k^2 + p^2q^2)(k^4 - k^2p^2q^2 + p^4q^4)$.

5) Данный многочлен $(a - b)^3 + b^3$ является суммой кубов.
Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = a - b$ и $y = b$.
Первый множитель: $(a - b) + b = a$.
Второй множитель: $(a - b)^2 - (a - b)b + b^2$. Раскроем скобки и упростим:
$(a^2 - 2ab + b^2) - (ab - b^2) + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 - ab + b^2 + b^2 = a^2 - 3ab + 3b^2$.
Итоговый результат: $a(a^2 - 3ab + 3b^2)$.
Ответ: $a(a^2 - 3ab + 3b^2)$.

6) Для разложения многочлена $(x - 2)^3 - 27$ представим его как разность кубов: $(x - 2)^3 - 3^3$.
Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = x - 2$ и $b = 3$.
Первый множитель: $(x - 2) - 3 = x - 5$.
Второй множитель: $(x - 2)^2 + (x - 2) \cdot 3 + 3^2$. Раскроем скобки и упростим:
$(x^2 - 4x + 4) + (3x - 6) + 9 = x^2 - 4x + 3x + 4 - 6 + 9 = x^2 - x + 7$.
Итоговый результат: $(x - 5)(x^2 - x + 7)$.
Ответ: $(x - 5)(x^2 - x + 7)$.

7) Многочлен $8a^3 + (a - b)^3$ представим в виде суммы кубов: $(2a)^3 + (a - b)^3$.
Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = 2a$ и $y = a - b$.
Первый множитель: $2a + (a - b) = 3a - b$.
Второй множитель: $(2a)^2 - 2a(a - b) + (a - b)^2$. Раскроем скобки и упростим:
$4a^2 - (2a^2 - 2ab) + (a^2 - 2ab + b^2) = 4a^2 - 2a^2 + 2ab + a^2 - 2ab + b^2 = 3a^2 + b^2$.
Итоговый результат: $(3a - b)(3a^2 + b^2)$.
Ответ: $(3a - b)(3a^2 + b^2)$.

8) Многочлен $27x^3 - y^3(x - y)^3$ представим в виде разности кубов.
Сначала преобразуем второе слагаемое: $y^3(x - y)^3 = (y(x - y))^3 = (xy - y^2)^3$.
Теперь выражение имеет вид: $(3x)^3 - (xy - y^2)^3$.
Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 3x$ и $b = xy - y^2$.
Первый множитель: $3x - (xy - y^2) = 3x - xy + y^2$.
Второй множитель: $(3x)^2 + 3x(xy - y^2) + (xy - y^2)^2$. Вычислим каждую часть:
$(3x)^2 = 9x^2$
$3x(xy - y^2) = 3x^2y - 3xy^2$
$(xy - y^2)^2 = x^2y^2 - 2xy^3 + y^4$
Сложив все части, получаем второй множитель: $9x^2 + 3x^2y - 3xy^2 + x^2y^2 - 2xy^3 + y^4$.
Ответ: $(3x - xy + y^2)(9x^2 + 3x^2y - 3xy^2 + x^2y^2 - 2xy^3 + y^4)$.