Номер 34.15, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.15. Упростите выражение:

1) $6(x + 1)^2 + 2(x - 1)(x^2 + x + 1) - 2(x + 1)^3$;

2) $5x(x - 3)^2 - 5(x - 1)^3 + 15(x + 2)(x - 2)$;

3) $(x + 2)^3 - x(3x + 1)^2 + (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$.

1) Для упрощения выражения $6(x + 1)^2 + 2(x - 1)(x^2 + x + 1) - 2(x + 1)^3$ воспользуемся формулами сокращенного умножения:
- Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
- Разность кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$
- Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
Применяя эти формулы, получаем:
$6(x^2 + 2x + 1) + 2(x^3 - 1^3) - 2(x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3) =$
$= 6(x^2 + 2x + 1) + 2(x^3 - 1) - 2(x^3 + 3x^2 + 3x + 1)$
Раскроем скобки:
$= 6x^2 + 12x + 6 + 2x^3 - 2 - 2x^3 - 6x^2 - 6x - 2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= (2x^3 - 2x^3) + (6x^2 - 6x^2) + (12x - 6x) + (6 - 2 - 2) =$
$= 0 + 0 + 6x + 2 = 6x + 2$
Ответ: $6x + 2$

2) Для упрощения выражения $5x(x - 3)^2 - 5(x - 1)^3 + 15(x + 2)(x - 2)$ воспользуемся формулами сокращенного умножения:
- Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
- Куб разности: $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
- Разность квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$
Применяя эти формулы, получаем:
$5x(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 5(x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3) + 15(x^2 - 2^2) =$
$= 5x(x^2 - 6x + 9) - 5(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + 15(x^2 - 4)$
Раскроем скобки:
$= (5x^3 - 30x^2 + 45x) - (5x^3 - 15x^2 + 15x - 5) + (15x^2 - 60) =$
$= 5x^3 - 30x^2 + 45x - 5x^3 + 15x^2 - 15x + 5 + 15x^2 - 60$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= (5x^3 - 5x^3) + (-30x^2 + 15x^2 + 15x^2) + (45x - 15x) + (5 - 60) =$
$= 0 + 0 + 30x - 55 = 30x - 55$
Ответ: $30x - 55$

3) Для упрощения выражения $(x + 2)^3 - x(3x + 1)^2 + (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$ воспользуемся формулами сокращенного умножения:
- Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
- Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
- Сумма кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$
Применяя эти формулы, получаем:
$(x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3) - x((3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2) + ((2x)^3 + 1^3) =$
$= (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) - x(9x^2 + 6x + 1) + (8x^3 + 1)$
Раскроем скобки:
$= x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - 9x^3 - 6x^2 - x + 8x^3 + 1$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= (x^3 - 9x^3 + 8x^3) + (6x^2 - 6x^2) + (12x - x) + (8 + 1) =$
$= 0 + 0 + 11x + 9 = 11x + 9$
Ответ: $11x + 9$