Номер 35.1, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (35.1–35.4):

35.1. 1) $(m^3 + 6n^2)^2 - (6n^2 - m^3)^2;$

2) $(x^2 - 7y^3)^2 + (x^2 + 7y^3)^2;$

3) $(9z + 2x^4)^2 - (2x^4 - 9z)^2;$

4) $(5a^3 - 4b)^2 + (4b + 5a^3)^2.$

1) $(m^3 + 6n^2)^2 - (6n^2 - m^3)^2$

Данное выражение представляет собой разность квадратов вида $a^2 - b^2$, которая раскладывается на множители по формуле $(a-b)(a+b)$.

Пусть $a = m^3 + 6n^2$ и $b = 6n^2 - m^3$.

Найдем разность и сумму этих выражений:

$a - b = (m^3 + 6n^2) - (6n^2 - m^3) = m^3 + 6n^2 - 6n^2 + m^3 = 2m^3$

$a + b = (m^3 + 6n^2) + (6n^2 - m^3) = m^3 + 6n^2 + 6n^2 - m^3 = 12n^2$

Теперь перемножим полученные результаты:

$(a - b)(a + b) = (2m^3)(12n^2) = 24m^3n^2$

Ответ: $24m^3n^2$.

2) $(x^2 - 7y^3)^2 + (x^2 + 7y^3)^2$

Используем формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Пусть $a = x^2$ и $b = 7y^3$.

Раскроем скобки:

$(x^2 - 7y^3)^2 = (x^2)^2 - 2(x^2)(7y^3) + (7y^3)^2 = x^4 - 14x^2y^3 + 49y^6$

$(x^2 + 7y^3)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(7y^3) + (7y^3)^2 = x^4 + 14x^2y^3 + 49y^6$

Сложим полученные выражения:

$(x^4 - 14x^2y^3 + 49y^6) + (x^4 + 14x^2y^3 + 49y^6) = x^4 + x^4 - 14x^2y^3 + 14x^2y^3 + 49y^6 + 49y^6 = 2x^4 + 98y^6$

Можно также использовать тождество $(a-b)^2 + (a+b)^2 = 2(a^2 + b^2)$, что дает $2((x^2)^2 + (7y^3)^2) = 2(x^4 + 49y^6) = 2x^4 + 98y^6$.

Ответ: $2x^4 + 98y^6$.

3) $(9z + 2x^4)^2 - (2x^4 - 9z)^2$

Это выражение также является разностью квадратов. Воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Пусть $a = 9z + 2x^4$ и $b = 2x^4 - 9z$.

Найдем разность и сумму этих выражений:

$a - b = (9z + 2x^4) - (2x^4 - 9z) = 9z + 2x^4 - 2x^4 + 9z = 18z$

$a + b = (9z + 2x^4) + (2x^4 - 9z) = 9z + 2x^4 + 2x^4 - 9z = 4x^4$

Перемножим полученные результаты:

$(a - b)(a + b) = (18z)(4x^4) = 72x^4z$

Ответ: $72x^4z$.

4) $(5a^3 - 4b)^2 + (4b + 5a^3)^2$

Заметим, что $(4b + 5a^3)^2 = (5a^3 + 4b)^2$. Выражение принимает вид $(5a^3 - 4b)^2 + (5a^3 + 4b)^2$.

Используем тождество $(a - b)^2 + (a + b)^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Пусть $a = 5a^3$ и $b = 4b$.

Подставим значения в формулу:

$2((5a^3)^2 + (4b)^2) = 2(25a^6 + 16b^2) = 50a^6 + 32b^2$

Ответ: $50a^6 + 32b^2$.