Номер 35.5, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (35.5–35.6):

35.5. 1) $35 + (5x - 1)(5x + 1) = (5x + 2)^2;$

2) $3 + (2x + 3)^2 = 4(x - 6)(6 + x);$

3) $6 - x + (2x - 1)^2 = 4(x + 3)^2;$

4) $39x + (4x + 3)^2 = 2 + 4(2x + 1)^2.$

1) $35 + (5x - 1)(5x + 1) = (5x + 2)^2$
Для решения этого уравнения воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ и квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения:
$35 + ((5x)^2 - 1^2) = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2$
$35 + 25x^2 - 1 = 25x^2 + 20x + 4$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$34 + 25x^2 = 25x^2 + 20x + 4$
Вычтем $25x^2$ из обеих частей уравнения. Этот член взаимно уничтожается.
$34 = 20x + 4$
Перенесем свободные члены в одну сторону, а члены с переменной в другую:
$34 - 4 = 20x$
$30 = 20x$
Найдем $x$:
$x = \frac{30}{20} = \frac{3}{2} = 1,5$
Ответ: $1,5$.

2) $3 + (2x + 3)^2 = 4(x - 6)(6 + x)$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Заметим, что $(x - 6)(6 + x)$ можно записать как $(x - 6)(x + 6)$.
$3 + ((2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2) = 4(x^2 - 6^2)$
$3 + 4x^2 + 12x + 9 = 4(x^2 - 36)$
Приведем подобные слагаемые в левой части и раскроем скобки в правой:
$4x^2 + 12x + 12 = 4x^2 - 144$
Вычтем $4x^2$ из обеих частей уравнения:
$12x + 12 = -144$
Перенесем свободные члены вправо:
$12x = -144 - 12$
$12x = -156$
Найдем $x$:
$x = \frac{-156}{12} = -13$
Ответ: $-13$.

3) $6 - x + (2x - 1)^2 = 4(x + 3)^2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$6 - x + ((2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2) = 4(x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2)$
$6 - x + 4x^2 - 4x + 1 = 4(x^2 + 6x + 9)$
Приведем подобные слагаемые в левой части и раскроем скобки в правой:
$4x^2 - 5x + 7 = 4x^2 + 24x + 36$
Вычтем $4x^2$ из обеих частей:
$-5x + 7 = 24x + 36$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены в другую:
$7 - 36 = 24x + 5x$
$-29 = 29x$
Найдем $x$:
$x = \frac{-29}{29} = -1$
Ответ: $-1$.

4) $39x + (4x + 3)^2 = 2 + 4(2x + 1)^2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$39x + ((4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2) = 2 + 4((2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2)$
$39x + 16x^2 + 24x + 9 = 2 + 4(4x^2 + 4x + 1)$
Приведем подобные слагаемые в левой части и раскроем скобки в правой:
$16x^2 + 63x + 9 = 2 + 16x^2 + 16x + 4$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$16x^2 + 63x + 9 = 16x^2 + 16x + 6$
Вычтем $16x^2$ из обеих частей:
$63x + 9 = 16x + 6$
Перенесем слагаемые с $x$ влево, а свободные члены вправо:
$63x - 16x = 6 - 9$
$47x = -3$
Найдем $x$:
$x = -\frac{3}{47}$
Ответ: $-\frac{3}{47}$.