Номер 35.10, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.10. 1) $5(2 + x)^3 - 5x^3 = 28x + 30x^2$;

2) $54x^2 - 6(x - 3)^3 = 162 + 6x^3$;

3) $(x + 9)(x^2 - 9x + 81) = -7 - 4x + x^3$;

4) $x^3 - 2x - 331 = (x^2 - 11x + 121)(x + 11)$.

1) $5(2 + x)³ - 5x³ = 28x + 30x²$
Для решения этого уравнения сначала раскроем скобку $(2+x)^3$, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$(2+x)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^2 + x^3 = 8 + 12x + 6x^2 + x^3$.
Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:
$5(8 + 12x + 6x^2 + x^3) - 5x^3 = 28x + 30x^2$.
Раскроем скобки, умножив каждый член на 5:
$40 + 60x + 30x^2 + 5x^3 - 5x^3 = 28x + 30x^2$.
Приведем подобные слагаемые. Члены $5x^3$ и $-5x^3$ взаимно уничтожаются:
$40 + 60x + 30x^2 = 28x + 30x^2$.
Перенесем все члены с переменной в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую. Члены $30x^2$ в обеих частях уравнения также взаимно уничтожаются:
$60x - 28x = -40$.
$32x = -40$.
Найдем $x$:
$x = -\frac{40}{32} = -\frac{5 \cdot 8}{4 \cdot 8} = -\frac{5}{4} = -1,25$.
Ответ: $x = -1,25$.

2) $54x² - 6(x - 3)³ = 162 + 6x³$
Раскроем скобку $(x-3)^3$, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:
$(x-3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$.
Подставим полученное выражение в уравнение:
$54x^2 - 6(x^3 - 9x^2 + 27x - 27) = 162 + 6x^3$.
Раскроем скобки:
$54x^2 - 6x^3 + 54x^2 - 162x + 162 = 162 + 6x^3$.
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$108x^2 - 6x^3 - 162x + 162 = 162 + 6x^3$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю:
$0 = (162 + 6x^3) - (108x^2 - 6x^3 - 162x + 162)$.
$0 = 162 + 6x^3 - 108x^2 + 6x^3 + 162x - 162$.
Приведем подобные слагаемые:
$12x^3 - 108x^2 + 162x = 0$.
Вынесем за скобки общий множитель $6x$:
$6x(2x^2 - 18x + 27) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:
1) $6x = 0 \implies x_1 = 0$.
2) $2x^2 - 18x + 27 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-18)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 27 = 324 - 216 = 108$.
$\sqrt{D} = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$.
Найдем корни уравнения:
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 \pm 6\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{18 \pm 6\sqrt{3}}{4} = \frac{9 \pm 3\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $x_1=0; x_2 = \frac{9 + 3\sqrt{3}}{2}; x_3 = \frac{9 - 3\sqrt{3}}{2}$.

3) $(x + 9)(x² - 9x + 81) = -7 - 4x + x³$
Левая часть этого уравнения является разложением суммы кубов по формуле $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
В данном случае $a=x$ и $b=9$. Проверим второй множитель: $x^2 - x \cdot 9 + 9^2 = x^2 - 9x + 81$. Выражение совпадает с формулой.
Следовательно, левую часть уравнения можно свернуть:
$x^3 + 9^3 = -7 - 4x + x^3$.
Вычислим $9^3$: $9^3 = 729$.
$x^3 + 729 = -7 - 4x + x^3$.
Вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения:
$729 = -7 - 4x$.
Перенесем $-4x$ в левую часть, а $729$ в правую, изменив их знаки:
$4x = -7 - 729$.
$4x = -736$.
$x = \frac{-736}{4} = -184$.
Ответ: $x = -184$.

4) $x³ - 2x - 331 = (x² - 11x + 121)(x + 11)$
Правая часть уравнения соответствует формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Здесь $a=x$ и $b=11$. Проверим соответствие множителей: $(x+11)(x^2 - x \cdot 11 + 11^2) = (x+11)(x^2 - 11x + 121)$. Выражение совпадает.
Применим формулу суммы кубов к правой части уравнения:
$x^3 + 11^3 = x^3 + 1331$.
Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:
$x^3 - 2x - 331 = x^3 + 1331$.
Вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения:
$-2x - 331 = 1331$.
Перенесем $-331$ в правую часть с противоположным знаком:
$-2x = 1331 + 331$.
$-2x = 1662$.
Найдем $x$:
$x = \frac{1662}{-2} = -831$.
Ответ: $x = -831$.