Номер 35.15, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.15.

1) $(5z^2 - 6k)^2 - (5z^2 + 3k)^2 + 90z^2k = 27k^2;$

2) $(m^2 - n^2)(m^2 + n^2) - m^2(m^2 - n^2) - m^2n^2 = -n^4;$

3) $(1,2x^4 - 7y^2)(1,2x^4 + 7y^2) + 0,56x^8 + 49y^4 = 2x^8;$

4) $(1,4a^3 - 5b^2)(1,4a^3 + 5b^2) - 2,96a^6 + 25b^4 = -a^6.$

1) Чтобы доказать тождество $(5z^2 - 6k)^2 - (5z^2 + 3k)^2 + 90z^2k = 27k^2$, преобразуем его левую часть. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Раскроем первую скобку:
$(5z^2 - 6k)^2 = (5z^2)^2 - 2 \cdot 5z^2 \cdot 6k + (6k)^2 = 25z^4 - 60z^2k + 36k^2$.
Раскроем вторую скобку:
$(5z^2 + 3k)^2 = (5z^2)^2 + 2 \cdot 5z^2 \cdot 3k + (3k)^2 = 25z^4 + 30z^2k + 9k^2$.
Теперь подставим раскрытые скобки в левую часть исходного выражения:
$(25z^4 - 60z^2k + 36k^2) - (25z^4 + 30z^2k + 9k^2) + 90z^2k = $
$= 25z^4 - 60z^2k + 36k^2 - 25z^4 - 30z^2k - 9k^2 + 90z^2k$.
Приведем подобные слагаемые:
$(25z^4 - 25z^4) + (-60z^2k - 30z^2k + 90z^2k) + (36k^2 - 9k^2) = 0 + 0 \cdot z^2k + 27k^2 = 27k^2$.
В результате упрощения левая часть стала равна правой части ($27k^2 = 27k^2$), следовательно, тождество доказано.
Ответ: $27k^2$.

2) Чтобы доказать тождество $(m^2 - n^2)(m^2 + n^2) - m^2(m^2 - n^2) - m^2n^2 = -n^4$, преобразуем его левую часть. Для первой части выражения применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Для второй части используем распределительный закон умножения.
Применим формулу разности квадратов:
$(m^2 - n^2)(m^2 + n^2) = (m^2)^2 - (n^2)^2 = m^4 - n^4$.
Раскроем скобки во втором слагаемом:
$-m^2(m^2 - n^2) = -m^2 \cdot m^2 - m^2 \cdot (-n^2) = -m^4 + m^2n^2$.
Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:
$(m^4 - n^4) + (-m^4 + m^2n^2) - m^2n^2 = m^4 - n^4 - m^4 + m^2n^2 - m^2n^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(m^4 - m^4) + (m^2n^2 - m^2n^2) - n^4 = 0 + 0 - n^4 = -n^4$.
Левая часть равна правой ($-n^4 = -n^4$), тождество доказано.
Ответ: $-n^4$.

3) Чтобы доказать тождество $(1,2x^4 - 7y^2)(1,2x^4 + 7y^2) + 0,56x^8 + 49y^4 = 2x^8$, преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Применим формулу к произведению скобок:
$(1,2x^4 - 7y^2)(1,2x^4 + 7y^2) = (1,2x^4)^2 - (7y^2)^2 = 1,44x^8 - 49y^4$.
Подставим результат в левую часть исходного выражения:
$(1,44x^8 - 49y^4) + 0,56x^8 + 49y^4$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(1,44x^8 + 0,56x^8) + (-49y^4 + 49y^4) = 2x^8 + 0 = 2x^8$.
Левая часть равна правой ($2x^8 = 2x^8$), тождество доказано.
Ответ: $2x^8$.

4) Чтобы доказать тождество $(1,4a^3 - 5b^2)(1,4a^3 + 5b^2) - 2,96a^6 + 25b^4 = -a^6$, преобразуем его левую часть. Снова применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Применим формулу к произведению скобок:
$(1,4a^3 - 5b^2)(1,4a^3 + 5b^2) = (1,4a^3)^2 - (5b^2)^2 = 1,96a^6 - 25b^4$.
Подставим полученное выражение в левую часть исходного равенства:
$(1,96a^6 - 25b^4) - 2,96a^6 + 25b^4$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(1,96a^6 - 2,96a^6) + (-25b^4 + 25b^4) = -a^6 + 0 = -a^6$.
Левая часть равна правой ($-a^6 = -a^6$), тождество доказано.
Ответ: $-a^6$.