Номер 35.21, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.21. 1) $13 + x^2(x - 9) \le (x - 3)^3 + 11;$

2) $26 + (2 + x)^3 < x^2 (6 + x);$

3) $3x - x^2(15 + x) > -(x + 5)^3 - 4x;$

4) $(4 + x)^3 - 6x \le x^2(x + 12) + 1.$

1) Исходное неравенство: $13 + x^2(x - 9) \le (x - 3)^3 + 11$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства.
Левая часть: $13 + x^3 - 9x^2$.
Для правой части используем формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:
$(x - 3)^3 + 11 = (x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3) + 11 = (x^3 - 9x^2 + 27x - 27) + 11 = x^3 - 9x^2 + 27x - 16$.
Подставим раскрытые выражения в неравенство:
$13 + x^3 - 9x^2 \le x^3 - 9x^2 + 27x - 16$.
Сократим подобные члены ($x^3$ и $-9x^2$) в обеих частях:
$13 \le 27x - 16$.
Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а константы — в другую:
$13 + 16 \le 27x$.
$29 \le 27x$.
Разделим обе части на 27 (так как $27 > 0$, знак неравенства не меняется):
$\frac{29}{27} \le x$, что эквивалентно $x \ge \frac{29}{27}$.
Ответ: $x \in [\frac{29}{27}, +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $26 + (2 + x)^3 < x^2(6 + x)$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства.
Для левой части используем формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$26 + (2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^2 + x^3) = 26 + 8 + 12x + 6x^2 + x^3 = 34 + 12x + 6x^2 + x^3$.
Правая часть: $x^2(6 + x) = 6x^2 + x^3$.
Подставим раскрытые выражения в неравенство:
$34 + 12x + 6x^2 + x^3 < 6x^2 + x^3$.
Сократим подобные члены ($6x^2$ и $x^3$) в обеих частях:
$34 + 12x < 0$.
Перенесем константу в правую часть:
$12x < -34$.
Разделим обе части на 12:
$x < -\frac{34}{12}$.
Сократим дробь: $x < -\frac{17}{6}$.
Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{17}{6})$.

3) Исходное неравенство: $3x - x^2(15 + x) > -(x + 5)^3 - 4x$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства.
Левая часть: $3x - 15x^2 - x^3$.
Правая часть: $-(x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 5 + 3 \cdot x \cdot 5^2 + 5^3) - 4x = -(x^3 + 15x^2 + 75x + 125) - 4x = -x^3 - 15x^2 - 75x - 125 - 4x = -x^3 - 15x^2 - 79x - 125$.
Подставим раскрытые выражения в неравенство:
$3x - 15x^2 - x^3 > -x^3 - 15x^2 - 79x - 125$.
Сократим подобные члены ($-15x^2$ и $-x^3$) в обеих частях:
$3x > -79x - 125$.
Перенесем члены с $x$ в левую часть:
$3x + 79x > -125$.
$82x > -125$.
Разделим обе части на 82:
$x > -\frac{125}{82}$.
Ответ: $x \in (-\frac{125}{82}, +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $(4 + x)^3 - 6x \le x^2(x + 12) + 1$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства.
Левая часть: $(4^3 + 3 \cdot 4^2 \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot x^2 + x^3) - 6x = (64 + 48x + 12x^2 + x^3) - 6x = 64 + 42x + 12x^2 + x^3$.
Правая часть: $x^3 + 12x^2 + 1$.
Подставим раскрытые выражения в неравенство:
$64 + 42x + 12x^2 + x^3 \le x^3 + 12x^2 + 1$.
Сократим подобные члены ($12x^2$ и $x^3$) в обеих частях:
$64 + 42x \le 1$.
Перенесем константу в правую часть:
$42x \le 1 - 64$.
$42x \le -63$.
Разделим обе части на 42:
$x \le -\frac{63}{42}$.
Сократим дробь на 21: $x \le -\frac{3}{2}$.
Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{3}{2}]$.