Номер 35.25, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.25.

1) $(a^7 - t^5)(a^{14} + a^7t^5 + t^{10}) + (t^5 - a^7)^3 - 3a^{14}t^5 = -3a^7t^{10}$

2) $(x^4 + b^9)^3 - (b^9 + x^4)(b^{18} - x^4b^9 + x^8) - 3x^8b^9 = 3x^4b^{18}$

1) Докажем тождество: $(a^7 - t^5)(a^{14} + a^7t^5 + t^{10}) + (t^5 - a^7)^3 - 3a^{14}t^5 = -3a^7t^{10}$.

Преобразуем левую часть равенства. Для этого раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения.

Первое произведение $(a^7 - t^5)(a^{14} + a^7t^5 + t^{10})$ является формулой разности кубов $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$, где $x=a^7$ и $y=t^5$.

$(a^7 - t^5)((a^7)^2 + a^7t^5 + (t^5)^2) = (a^7)^3 - (t^5)^3 = a^{21} - t^{15}$.

Второе слагаемое $(t^5 - a^7)^3$ раскроем по формуле куба разности $(y-x)^3 = y^3 - 3y^2x + 3yx^2 - x^3$, где $y=t^5$ и $x=a^7$.

$(t^5 - a^7)^3 = (t^5)^3 - 3(t^5)^2(a^7) + 3(t^5)(a^7)^2 - (a^7)^3 = t^{15} - 3t^{10}a^7 + 3t^5a^{14} - a^{21}$.

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства и приведем подобные слагаемые:

$(a^{21} - t^{15}) + (t^{15} - 3a^7t^{10} + 3a^{14}t^5 - a^{21}) - 3a^{14}t^5$

$= a^{21} - t^{15} + t^{15} - 3a^7t^{10} + 3a^{14}t^5 - a^{21} - 3a^{14}t^5$

$= (a^{21} - a^{21}) + (-t^{15} + t^{15}) + (3a^{14}t^5 - 3a^{14}t^5) - 3a^7t^{10}$

$= 0 + 0 + 0 - 3a^7t^{10} = -3a^7t^{10}$.

Левая часть равенства равна $-3a^7t^{10}$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество: $(x^4 + b^9)^3 - (b^9 + x^4)(b^{18} - x^4b^9 + x^8) - 3x^8b^9 = 3x^4b^{18}$.

Преобразуем левую часть равенства, применяя формулы сокращенного умножения.

Первое слагаемое $(x^4 + b^9)^3$ раскроем по формуле куба суммы $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$, где $a=x^4$ и $b=b^9$.

$(x^4 + b^9)^3 = (x^4)^3 + 3(x^4)^2(b^9) + 3(x^4)(b^9)^2 + (b^9)^3 = x^{12} + 3x^8b^9 + 3x^4b^{18} + b^{27}$.

Второе слагаемое $(b^9 + x^4)(b^{18} - x^4b^9 + x^8)$ представляет собой формулу суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=b^9$ и $b=x^4$.

$(b^9 + x^4)((b^9)^2 - b^9x^4 + (x^4)^2) = (b^9)^3 + (x^4)^3 = b^{27} + x^{12}$.

Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства и упростим:

$(x^{12} + 3x^8b^9 + 3x^4b^{18} + b^{27}) - (b^{27} + x^{12}) - 3x^8b^9$

$= x^{12} + 3x^8b^9 + 3x^4b^{18} + b^{27} - b^{27} - x^{12} - 3x^8b^9$

$= (x^{12} - x^{12}) + (b^{27} - b^{27}) + (3x^8b^9 - 3x^8b^9) + 3x^4b^{18}$

$= 0 + 0 + 0 + 3x^4b^{18} = 3x^4b^{18}$.

Левая часть равенства равна $3x^4b^{18}$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.