Номер 35.26, страница 218 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.26. Некоторые формулы сокращенного умножения были известны еще 4 тыс. лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Расскажите о том, как изображали эти формулы в “Началах” Евклида.

В "Началах" Евклида, фундаментальном труде по геометрии, алгебраические тождества, которые мы сегодня знаем как формулы сокращенного умножения, были представлены и доказаны не с помощью символьной алгебры, а геометрически. Этот подход известен как "геометрическая алгебра". В нем числа представлялись длинами отрезков, произведение двух чисел — площадью прямоугольника с соответствующими сторонами, а квадрат числа — площадью квадрата.

Рассмотрим, как Евклид изображал основные формулы во второй книге "Начал".

Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Это тождество соответствует Предложению 4 из Книги II "Начал", которое гласит: "Если прямая линия как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками".

Для доказательства строится квадрат со стороной, равной сумме длин двух отрезков $a$ и $b$.

Как видно из рисунка, большой квадрат со стороной $(a+b)$ и площадью $(a+b)^2$ можно разделить на четыре части:

• Один квадрат со стороной $a$ и площадью $a^2$.
• Один квадрат со стороной $b$ и площадью $b^2$.
• Два прямоугольника со сторонами $a$ и $b$, каждый из которых имеет площадь $ab$.

Суммируя площади этих частей, мы получаем общую площадь большого квадрата: $a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$. Таким образом, геометрически доказывается равенство $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Ответ: Формула квадрата суммы изображалась как квадрат, построенный на отрезке длины $a+b$, который разбивался на квадрат со стороной $a$, квадрат со стороной $b$ и два прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Равенство доказывалось через равенство площади целого квадрата сумме площадей его частей.

Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Это тождество тесно связано с Предложением 7 из Книги II "Начал", которое в современной записи можно выразить как $a^2 + b^2 = 2ab + (a-b)^2$, что эквивалентно искомой формуле.

Геометрическое доказательство можно представить следующим образом. Возьмем большой квадрат со стороной $a$ и площадью $a^2$. Мы хотим найти площадь квадрата со стороной $(a-b)$, который находится внутри него.

Площадь искомого квадрата $(a-b)^2$ можно найти, вычтя из площади большого квадрата $a^2$ площадь L-образной фигуры, называемой гномоном (на рисунке выделена зеленым цветом).

Площадь гномона можно рассчитать как сумму площадей двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$ за вычетом площади их пересечения — квадрата со стороной $b$ (поскольку при сложении двух таких прямоугольников мы дважды учитываем этот квадрат). Таким образом, площадь гномона равна $ab + ab - b^2 = 2ab - b^2$.

Тогда площадь внутреннего квадрата равна:$$(a-b)^2 = (\text{Площадь большого квадрата}) - (\text{Площадь гномона}) = a^2 - (2ab - b^2) = a^2 - 2ab + b^2$$
Ответ: Формула квадрата разности изображалась через квадрат со стороной $a$, из которого "вырезался" гномон, чтобы остался квадрат со стороной $a-b$. Равенство доказывалось путем вычитания площади гномона ($2ab-b^2$) из площади большого квадрата ($a^2$).

Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

Это тождество соответствует Предложению 5 из Книги II "Начал". Геометрически оно доказывается через преобразование гномона.

Рассмотрим квадрат со стороной $a$, из которого в углу удален квадрат со стороной $b$. Оставшаяся L-образная фигура (гномон) имеет площадь $a^2 - b^2$. Мы должны показать, что эту фигуру можно преобразовать в прямоугольник со сторонами $(a+b)$ и $(a-b)$.

Гномон (площадь $a^2 - b^2$) можно разрезать на два прямоугольника. Например, если разрезать его горизонтально, мы получим:

• Прямоугольник A со сторонами $a$ и $(a-b)$.
• Прямоугольник B со сторонами $b$ и $(a-b)$.

Сумма их площадей равна $a(a-b) + b(a-b)$. Вынося общий множитель $(a-b)$, получаем $(a+b)(a-b)$.

Другой, более наглядный способ, — это "разрезать и склеить". Гномон можно разрезать на две части (например, A и B, как на рисунке) и переставить их так, чтобы они образовали один большой прямоугольник. Как показано на рисунке, если прямоугольник B переместить и приставить к прямоугольнику A, то получится новый прямоугольник. Его высота будет равна $(a-b)$, а ширина — $a+b$. Площадь этого нового прямоугольника равна $(a+b)(a-b)$, что и доказывает тождество.
Ответ: Формула разности квадратов изображалась как L-образная фигура (гномон), полученная удалением квадрата $b^2$ из квадрата $a^2$. Доказывалось, что площадь этого гномона ($a^2-b^2$) равна площади прямоугольника со сторонами $(a+b)$ и $(a-b)$ путем мысленного разрезания гномона и складывания из его частей такого прямоугольника.