Номер 35.20, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите неравенства (35.20–35.21):

35.20. 1) $(9x - 7)^2 - 10 \le (9x + 3)(9x - 5);$

2) $(3 + 7x)^2 - x \le -26 + x (49x - 8);$

3) $(11 + 25x)x + 7 < (5x - 7)^2 - 3x;$

4) $4 + (6 - 11x)^2 > 25x + x(121x + 3).$

1) $(9x - 7)^2 - 10 \le (9x + 3)(9x - 5)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а в правой – правило умножения многочленов.

$(9x)^2 - 2 \cdot 9x \cdot 7 + 7^2 - 10 \le 9x \cdot 9x - 9x \cdot 5 + 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5$

$81x^2 - 126x + 49 - 10 \le 81x^2 - 45x + 27x - 15$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$81x^2 - 126x + 39 \le 81x^2 - 18x - 15$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены – в левую, чтобы избавиться от $81x^2$:

$39 + 15 \le -18x + 126x$

$54 \le 108x$

Разделим обе части на 108:

$\frac{54}{108} \le x$

$0.5 \le x$ или $x \ge 0.5$

Решение неравенства можно записать в виде промежутка.

Ответ: $x \in [0.5; +\infty)$.

2) $(3 + 7x)^2 - x \le -26 + x(49x - 8)$

Раскроем скобки. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 7x + (7x)^2 - x \le -26 + 49x^2 - 8x$

$9 + 42x + 49x^2 - x \le -26 + 49x^2 - 8x$

Приведем подобные слагаемые:

$49x^2 + 41x + 9 \le 49x^2 - 8x - 26$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а константы – в правую:

$49x^2 - 49x^2 + 41x + 8x \le -26 - 9$

$49x \le -35$

Разделим обе части на 49:

$x \le -\frac{35}{49}$

Сократим дробь на 7:

$x \le -\frac{5}{7}$

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{5}{7}]$.

3) $(11 + 25x)x + 7 < (5x - 7)^2 - 3x$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства.

$11x + 25x^2 + 7 < (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 7 + 7^2 - 3x$

$11x + 25x^2 + 7 < 25x^2 - 70x + 49 - 3x$

Приведем подобные слагаемые:

$25x^2 + 11x + 7 < 25x^2 - 73x + 49$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ влево, а числа вправо:

$25x^2 - 25x^2 + 11x + 73x < 49 - 7$

$84x < 42$

Разделим обе части на 84:

$x < \frac{42}{84}$

$x < 0.5$

Ответ: $x \in (-\infty; 0.5)$.

4) $4 + (6 - 11x)^2 > 25x + x(121x + 3)$

Раскроем скобки в обеих частях.

$4 + (6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 11x + (11x)^2) > 25x + 121x^2 + 3x$

$4 + 36 - 132x + 121x^2 > 25x + 121x^2 + 3x$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$121x^2 - 132x + 40 > 121x^2 + 28x$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа оставим в левой:

$40 > 121x^2 - 121x^2 + 28x + 132x$

$40 > 160x$

Для удобства поменяем части местами, изменив знак неравенства:

$160x < 40$

Разделим обе части на 160:

$x < \frac{40}{160}$

$x < \frac{1}{4}$ или $x < 0.25$

Ответ: $x \in (-\infty; 0.25)$.