Номер 35.17, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.17.

1) $(a^3 + b^3)^3 - (a^3 - b^3)^3 - 2b^9;$

2) $(1 - a^3b^3)^3 - (a^3b^3 - 1)^3 - 2;$

3) $3a^4b^4(a^4 - b^4) - (a^4 - b^4)^2;$

4) $(c^2 + d^2)^3 - 3c^2d^2(c^2 + d^2).$

1) Упростим выражение $(a^3 + b^3)^3 - (a^3 - b^3)^3 - 2b^9$.
Для этого воспользуемся формулами куба суммы и куба разности: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$ и $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
Пусть $x=a^3$ и $y=b^3$.
Раскроем первые две скобки:
$(a^3 + b^3)^3 = (a^3)^3 + 3(a^3)^2(b^3) + 3(a^3)(b^3)^2 + (b^3)^3 = a^9 + 3a^6b^3 + 3a^3b^6 + b^9$.
$(a^3 - b^3)^3 = (a^3)^3 - 3(a^3)^2(b^3) + 3(a^3)(b^3)^2 - (b^3)^3 = a^9 - 3a^6b^3 + 3a^3b^6 - b^9$.
Теперь вычтем второе выражение из первого:
$(a^9 + 3a^6b^3 + 3a^3b^6 + b^9) - (a^9 - 3a^6b^3 + 3a^3b^6 - b^9) = a^9 + 3a^6b^3 + 3a^3b^6 + b^9 - a^9 + 3a^6b^3 - 3a^3b^6 + b^9$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^9 - a^9) + (3a^6b^3 + 3a^6b^3) + (3a^3b^6 - 3a^3b^6) + (b^9 + b^9) = 6a^6b^3 + 2b^9$.
Подставим полученный результат в исходное выражение:
$(6a^6b^3 + 2b^9) - 2b^9 = 6a^6b^3$.
Ответ: $6a^6b^3$.

2) Упростим выражение $(1 - a^3b^3)^3 - (a^3b^3 - 1)^3 - 2$.
Заметим, что слагаемые в скобках отличаются только знаком: $(a^3b^3 - 1) = -(1 - a^3b^3)$.
Используя свойство нечетной степени $(-x)^n = -x^n$ для $n=3$, получим:
$(a^3b^3 - 1)^3 = (-(1 - a^3b^3))^3 = (-1)^3 (1 - a^3b^3)^3 = -(1 - a^3b^3)^3$.
Подставим это в исходное выражение:
$(1 - a^3b^3)^3 - (-(1 - a^3b^3)^3) - 2 = (1 - a^3b^3)^3 + (1 - a^3b^3)^3 - 2 = 2(1 - a^3b^3)^3 - 2$.
Теперь раскроем куб разности по формуле $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$, где $x=1$ и $y=a^3b^3$:
$2(1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot a^3b^3 + 3 \cdot 1 \cdot (a^3b^3)^2 - (a^3b^3)^3) - 2 = 2(1 - 3a^3b^3 + 3a^6b^6 - a^9b^9) - 2$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2 - 6a^3b^3 + 6a^6b^6 - 2a^9b^9 - 2 = -2a^9b^9 + 6a^6b^6 - 6a^3b^3$.
Ответ: $-2a^9b^9 + 6a^6b^6 - 6a^3b^3$.

3) Упростим выражение $3a^4b^4(a^4 - b^4) - (a^4 - b^4)^2$.
В данном выражении есть общий множитель $(a^4 - b^4)$. Вынесем его за скобки:
$(a^4 - b^4) [3a^4b^4 - (a^4 - b^4)]$.
Теперь раскроем внутренние скобки во втором множителе:
$(a^4 - b^4) (3a^4b^4 - a^4 + b^4)$.
Это и есть упрощенная (разложенная на множители) форма исходного выражения.
Ответ: $(a^4 - b^4)(3a^4b^4 - a^4 + b^4)$.

4) Упростим выражение $(c^2 + d^2)^3 - 3c^2d^2(c^2 + d^2)$.
Это выражение соответствует одной из форм формулы суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$.
Для наглядности сделаем замену: пусть $x = c^2$ и $y = d^2$.
Подставив замену в исходное выражение, получим:
$(x+y)^3 - 3xy(x+y)$.
Как было сказано выше, это выражение равно $x^3 + y^3$.
Теперь выполним обратную замену:
$x^3 + y^3 = (c^2)^3 + (d^2)^3 = c^{2 \cdot 3} + d^{2 \cdot 3} = c^6 + d^6$.
Ответ: $c^6 + d^6$.