Номер 35.11, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите неравенства (35.11–35.13):

35.11. 1) $(x+8)^2 - x^2 \le 11x;$

2) $x^2 - (9-x)^2 > -2x;$

3) $(12+x)^2 \ge x^2 + 21x;$

4) $x^2 < (25-x)^2 + 25x.$

1) $(x + 8)^2 - x^2 \le 11x$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$x^2 + 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 - x^2 \le 11x$
$x^2 + 16x + 64 - x^2 \le 11x$
Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:
$16x + 64 \le 11x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$16x - 11x \le -64$
$5x \le -64$
Разделим обе части неравенства на 5:
$x \le -\frac{64}{5}$
$x \le -12,8$
Ответ: $x \in (-\infty; -12,8]$.

2) $x^2 - (9 - x)^2 > -2x$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:
$x^2 - (9^2 - 2 \cdot 9 \cdot x + x^2) > -2x$
$x^2 - (81 - 18x + x^2) > -2x$
$x^2 - 81 + 18x - x^2 > -2x$
Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:
$18x - 81 > -2x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$18x + 2x > 81$
$20x > 81$
Разделим обе части неравенства на 20:
$x > \frac{81}{20}$
$x > 4,05$
Ответ: $x \in (4,05; +\infty)$.

3) $(12 + x)^2 \ge x^2 + 21x$
Раскроем скобки в левой части неравенства:
$12^2 + 2 \cdot 12 \cdot x + x^2 \ge x^2 + 21x$
$144 + 24x + x^2 \ge x^2 + 21x$
Сократим $x^2$ в обеих частях неравенства:
$144 + 24x \ge 21x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а константы в другую:
$24x - 21x \ge -144$
$3x \ge -144$
Разделим обе части неравенства на 3:
$x \ge -48$
Ответ: $x \in [-48; +\infty)$.

4) $x^2 < (25 - x)^2 + 25x$
Раскроем скобки в правой части неравенства:
$x^2 < (25^2 - 2 \cdot 25 \cdot x + x^2) + 25x$
$x^2 < 625 - 50x + x^2 + 25x$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$x^2 < 625 - 25x + x^2$
Сократим $x^2$ в обеих частях неравенства:
$0 < 625 - 25x$
Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть:
$25x < 625$
Разделим обе части неравенства на 25:
$x < \frac{625}{25}$
$x < 25$
Ответ: $x \in (-\infty; 25)$.