Страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.10. 1) $5(2 + x)^3 - 5x^3 = 28x + 30x^2$;

2) $54x^2 - 6(x - 3)^3 = 162 + 6x^3$;

3) $(x + 9)(x^2 - 9x + 81) = -7 - 4x + x^3$;

4) $x^3 - 2x - 331 = (x^2 - 11x + 121)(x + 11)$.

1) $5(2 + x)³ - 5x³ = 28x + 30x²$
Для решения этого уравнения сначала раскроем скобку $(2+x)^3$, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$(2+x)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^2 + x^3 = 8 + 12x + 6x^2 + x^3$.
Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:
$5(8 + 12x + 6x^2 + x^3) - 5x^3 = 28x + 30x^2$.
Раскроем скобки, умножив каждый член на 5:
$40 + 60x + 30x^2 + 5x^3 - 5x^3 = 28x + 30x^2$.
Приведем подобные слагаемые. Члены $5x^3$ и $-5x^3$ взаимно уничтожаются:
$40 + 60x + 30x^2 = 28x + 30x^2$.
Перенесем все члены с переменной в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую. Члены $30x^2$ в обеих частях уравнения также взаимно уничтожаются:
$60x - 28x = -40$.
$32x = -40$.
Найдем $x$:
$x = -\frac{40}{32} = -\frac{5 \cdot 8}{4 \cdot 8} = -\frac{5}{4} = -1,25$.
Ответ: $x = -1,25$.

2) $54x² - 6(x - 3)³ = 162 + 6x³$
Раскроем скобку $(x-3)^3$, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:
$(x-3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$.
Подставим полученное выражение в уравнение:
$54x^2 - 6(x^3 - 9x^2 + 27x - 27) = 162 + 6x^3$.
Раскроем скобки:
$54x^2 - 6x^3 + 54x^2 - 162x + 162 = 162 + 6x^3$.
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$108x^2 - 6x^3 - 162x + 162 = 162 + 6x^3$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю:
$0 = (162 + 6x^3) - (108x^2 - 6x^3 - 162x + 162)$.
$0 = 162 + 6x^3 - 108x^2 + 6x^3 + 162x - 162$.
Приведем подобные слагаемые:
$12x^3 - 108x^2 + 162x = 0$.
Вынесем за скобки общий множитель $6x$:
$6x(2x^2 - 18x + 27) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:
1) $6x = 0 \implies x_1 = 0$.
2) $2x^2 - 18x + 27 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-18)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 27 = 324 - 216 = 108$.
$\sqrt{D} = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$.
Найдем корни уравнения:
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 \pm 6\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{18 \pm 6\sqrt{3}}{4} = \frac{9 \pm 3\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $x_1=0; x_2 = \frac{9 + 3\sqrt{3}}{2}; x_3 = \frac{9 - 3\sqrt{3}}{2}$.

3) $(x + 9)(x² - 9x + 81) = -7 - 4x + x³$
Левая часть этого уравнения является разложением суммы кубов по формуле $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
В данном случае $a=x$ и $b=9$. Проверим второй множитель: $x^2 - x \cdot 9 + 9^2 = x^2 - 9x + 81$. Выражение совпадает с формулой.
Следовательно, левую часть уравнения можно свернуть:
$x^3 + 9^3 = -7 - 4x + x^3$.
Вычислим $9^3$: $9^3 = 729$.
$x^3 + 729 = -7 - 4x + x^3$.
Вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения:
$729 = -7 - 4x$.
Перенесем $-4x$ в левую часть, а $729$ в правую, изменив их знаки:
$4x = -7 - 729$.
$4x = -736$.
$x = \frac{-736}{4} = -184$.
Ответ: $x = -184$.

4) $x³ - 2x - 331 = (x² - 11x + 121)(x + 11)$
Правая часть уравнения соответствует формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Здесь $a=x$ и $b=11$. Проверим соответствие множителей: $(x+11)(x^2 - x \cdot 11 + 11^2) = (x+11)(x^2 - 11x + 121)$. Выражение совпадает.
Применим формулу суммы кубов к правой части уравнения:
$x^3 + 11^3 = x^3 + 1331$.
Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:
$x^3 - 2x - 331 = x^3 + 1331$.
Вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения:
$-2x - 331 = 1331$.
Перенесем $-331$ в правую часть с противоположным знаком:
$-2x = 1331 + 331$.
$-2x = 1662$.
Найдем $x$:
$x = \frac{1662}{-2} = -831$.
Ответ: $x = -831$.

Решите неравенства (35.11–35.13):

35.11. 1) $(x+8)^2 - x^2 \le 11x;$

2) $x^2 - (9-x)^2 > -2x;$

3) $(12+x)^2 \ge x^2 + 21x;$

4) $x^2 < (25-x)^2 + 25x.$

1) $(x + 8)^2 - x^2 \le 11x$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$x^2 + 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 - x^2 \le 11x$
$x^2 + 16x + 64 - x^2 \le 11x$
Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:
$16x + 64 \le 11x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$16x - 11x \le -64$
$5x \le -64$
Разделим обе части неравенства на 5:
$x \le -\frac{64}{5}$
$x \le -12,8$
Ответ: $x \in (-\infty; -12,8]$.

2) $x^2 - (9 - x)^2 > -2x$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:
$x^2 - (9^2 - 2 \cdot 9 \cdot x + x^2) > -2x$
$x^2 - (81 - 18x + x^2) > -2x$
$x^2 - 81 + 18x - x^2 > -2x$
Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:
$18x - 81 > -2x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$18x + 2x > 81$
$20x > 81$
Разделим обе части неравенства на 20:
$x > \frac{81}{20}$
$x > 4,05$
Ответ: $x \in (4,05; +\infty)$.

3) $(12 + x)^2 \ge x^2 + 21x$
Раскроем скобки в левой части неравенства:
$12^2 + 2 \cdot 12 \cdot x + x^2 \ge x^2 + 21x$
$144 + 24x + x^2 \ge x^2 + 21x$
Сократим $x^2$ в обеих частях неравенства:
$144 + 24x \ge 21x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а константы в другую:
$24x - 21x \ge -144$
$3x \ge -144$
Разделим обе части неравенства на 3:
$x \ge -48$
Ответ: $x \in [-48; +\infty)$.

4) $x^2 < (25 - x)^2 + 25x$
Раскроем скобки в правой части неравенства:
$x^2 < (25^2 - 2 \cdot 25 \cdot x + x^2) + 25x$
$x^2 < 625 - 50x + x^2 + 25x$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$x^2 < 625 - 25x + x^2$
Сократим $x^2$ в обеих частях неравенства:
$0 < 625 - 25x$
Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть:
$25x < 625$
Разделим обе части неравенства на 25:
$x < \frac{625}{25}$
$x < 25$
Ответ: $x \in (-\infty; 25)$.

35.12.

1) $(y+7)^3 - y^3 - 21y^2 \ge 0;$

2) $-24y^2 + (8-y)^3 + y^3 \le 0;$

3) $(6-y)^3 + y^3 - 18y^2 < 0;$

4) $y^3 - 27y^2 - (y-9)^3 > 0.$

1) Решим неравенство $(y+7)^3 - y^3 - 21y^2 \ge 0$.

Для решения неравенства раскроем скобки, применив формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(y^3 + 3 \cdot y^2 \cdot 7 + 3 \cdot y \cdot 7^2 + 7^3) - y^3 - 21y^2 \ge 0$

$y^3 + 21y^2 + 147y + 343 - y^3 - 21y^2 \ge 0$

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:

$(y^3 - y^3) + (21y^2 - 21y^2) + 147y + 343 \ge 0$

$147y + 343 \ge 0$

Решим полученное линейное неравенство:

$147y \ge -343$

$y \ge -\frac{343}{147}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 49 (так как $343 = 7 \cdot 49$ и $147 = 3 \cdot 49$):

$y \ge -\frac{7}{3}$

Ответ: $y \in [-\frac{7}{3}; +\infty)$.

2) Решим неравенство $-24y^2 + (8-y)^3 + y^3 \le 0$.

Для решения неравенства раскроем скобки, применив формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$-24y^2 + (8^3 - 3 \cdot 8^2 \cdot y + 3 \cdot 8 \cdot y^2 - y^3) + y^3 \le 0$

$-24y^2 + 512 - 192y + 24y^2 - y^3 + y^3 \le 0$

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:

$(-y^3 + y^3) + (-24y^2 + 24y^2) - 192y + 512 \le 0$

$-192y + 512 \le 0$

Решим полученное линейное неравенство:

$-192y \le -512$

При делении на отрицательное число (-192) знак неравенства меняется на противоположный:

$y \ge \frac{-512}{-192}$

$y \ge \frac{512}{192}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 64 (так как $512 = 8 \cdot 64$ и $192 = 3 \cdot 64$):

$y \ge \frac{8}{3}$

Ответ: $y \in [\frac{8}{3}; +\infty)$.

3) Решим неравенство $(6-y)^3 + y^3 - 18y^2 < 0$.

Раскроем скобки по формуле куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$(6^3 - 3 \cdot 6^2 \cdot y + 3 \cdot 6 \cdot y^2 - y^3) + y^3 - 18y^2 < 0$

$216 - 108y + 18y^2 - y^3 + y^3 - 18y^2 < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(-y^3 + y^3) + (18y^2 - 18y^2) - 108y + 216 < 0$

$-108y + 216 < 0$

Решим полученное линейное неравенство:

$-108y < -216$

Разделим обе части на -108, изменив знак неравенства на противоположный:

$y > \frac{-216}{-108}$

$y > 2$

Ответ: $y \in (2; +\infty)$.

4) Решим неравенство $y^3 - 27y^2 - (y-9)^3 > 0$.

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$y^3 - 27y^2 - (y^3 - 3 \cdot y^2 \cdot 9 + 3 \cdot y \cdot 9^2 - 9^3) > 0$

$y^3 - 27y^2 - (y^3 - 27y^2 + 243y - 729) > 0$

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные:

$y^3 - 27y^2 - y^3 + 27y^2 - 243y + 729 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(y^3 - y^3) + (-27y^2 + 27y^2) - 243y + 729 > 0$

$-243y + 729 > 0$

Решим полученное линейное неравенство:

$-243y > -729$

Разделим обе части на -243, изменив знак неравенства на противоположный:

$y < \frac{-729}{-243}$

$y < 3$

Ответ: $y \in (-\infty; 3)$.

35.13. 1) $(10 + x)(100 - 10x + x^2) - x^3 - 500x < 0;$

2) $-x^3 + 675x - (15 + x)(225 - 15x + x^2) > 0;$

3) $(169 + 13x + x^2)(x - 13) - x^3 - 2262x \leq 0;$

4) $1331x - x^3 + (11 + x)(x^2 - 11x + 121) \geq 0.$

1) $(10 + x)(100 - 10x + x^2) - x^3 - 500x < 0$

В левой части неравенства мы видим выражение, соответствующее формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Для выражения $(10 + x)(100 - 10x + x^2)$, у нас $a=10$ и $b=x$. Следовательно, оно равно $10^3 + x^3$.

$(10 + x)(100 - 10x + x^2) = 10^3 + x^3 = 1000 + x^3$.

Подставим это в исходное неравенство:

$(1000 + x^3) - x^3 - 500x < 0$

Упростим, сократив $x^3$ и $-x^3$:

$1000 - 500x < 0$

Теперь решим полученное линейное неравенство:

$1000 < 500x$

$x > \frac{1000}{500}$

$x > 2$

Решение неравенства — это все числа, большие 2.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2) $-x^3 + 675x - (15 + x)(225 - 15x + x^2) > 0$

Выражение $(15 + x)(225 - 15x + x^2)$ также является суммой кубов. Здесь $a=15$ и $b=x$.

$(15 + x)(225 - 15x + x^2) = 15^3 + x^3 = 3375 + x^3$.

Подставим это в неравенство:

$-x^3 + 675x - (3375 + x^3) > 0$

Раскроем скобки и упростим:

$-x^3 + 675x - 3375 - x^3 > 0$

$-2x^3 + 675x - 3375 > 0$

Умножим обе части на -1, чтобы коэффициент при старшей степени стал положительным, и изменим знак неравенства на противоположный:

$2x^3 - 675x + 3375 < 0$

Решим это кубическое неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни уравнения $2x^3 - 675x + 3375 = 0$.

Проверкой можно установить, что $x=15$ является корнем: $2(15)^3 - 675(15) + 3375 = 2(3375) - 10125 + 3375 = 6750 - 10125 + 3375 = 0$.

Разделим многочлен $2x^3 - 675x + 3375$ на $(x-15)$, чтобы найти остальные корни. В результате деления получаем квадратный трехчлен $2x^2 + 30x - 225$.

Теперь найдем корни уравнения $2x^2 + 30x - 225 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = 30^2 - 4(2)(-225) = 900 + 1800 = 2700 = 900 \cdot 3$.

$x = \frac{-30 \pm \sqrt{2700}}{2 \cdot 2} = \frac{-30 \pm 30\sqrt{3}}{4} = \frac{-15 \pm 15\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, мы имеем три корня: $x_1 = 15$, $x_2 = \frac{-15 + 15\sqrt{3}}{2}$, $x_3 = \frac{-15 - 15\sqrt{3}}{2}$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: $x_3 < x_2 < x_1$.

Наше неравенство имеет вид $2(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) < 0$.

Так как старший коэффициент (2) положителен, на самом правом интервале (при $x > 15$) многочлен будет положительным. Далее знаки чередуются.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty; \frac{-15 - 15\sqrt{3}}{2})$ и $(\frac{-15 + 15\sqrt{3}}{2}; 15)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{15(1+\sqrt{3})}{2}) \cup (\frac{15(\sqrt{3}-1)}{2}; 15)$.

3) $(169 + 13x + x^2)(x - 13) - x^3 - 2262x \le 0$

Выражение $(x - 13)(x^2 + 13x + 169)$ соответствует формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Здесь $a=x$ и $b=13$. Следовательно, $(x - 13)(x^2 + 13x + 169) = x^3 - 13^3 = x^3 - 2197$.

Подставим это в неравенство:

$(x^3 - 2197) - x^3 - 2262x \le 0$

Упростим, сократив $x^3$ и $-x^3$:

$-2197 - 2262x \le 0$

Решим линейное неравенство:

$-2262x \le 2197$

$x \ge \frac{2197}{-2262}$

$x \ge -\frac{2197}{2262}$

Сократим дробь. Числитель $2197 = 13^3$. Знаменатель $2262 = 13 \cdot 174$.

$x \ge -\frac{13^3}{13 \cdot 174} = -\frac{13^2}{174} = -\frac{169}{174}$.

Ответ: $x \in [-\frac{169}{174}; +\infty)$.

4) $1331x - x^3 + (11 + x)(x^2 - 11x + 121) \ge 0$

Выражение $(11 + x)(x^2 - 11x + 121)$ — это формула суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$, где $a=11$ и $b=x$.

$(11 + x)(121 - 11x + x^2) = 11^3 + x^3 = 1331 + x^3$.

Подставим это в неравенство:

$1331x - x^3 + (1331 + x^3) \ge 0$

Упростим, сократив $-x^3$ и $x^3$:

$1331x + 1331 \ge 0$

Вынесем 1331 за скобки:

$1331(x + 1) \ge 0$

Так как 1331 — положительное число, разделим обе части на него:

$x + 1 \ge 0$

$x \ge -1$

Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.

Докажите тождества (35.14–35.15):

35.14. 1) $(3x + 4y)^2 - (4y - 3x)^2 = 48xy;$

2) $(1,5x - 2y)^2 + (2x + 1,5y)^2 = 6,25 (x^2 + y^2);$

3) $(2a - 3b)^3 - (2a + 3b)^3 = -18b(4a^2 + 3b^2);$

4) $(3a - 2b)^3 + (3a + 2b)^3 = 18a(3a^2 + 4b^2).$

1) Чтобы доказать тождество $(3x + 4y)^2 - (4y - 3x)^2 = 48xy$, преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Сначала раскроем скобки:

$(3x + 4y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (4y) + (4y)^2 = 9x^2 + 24xy + 16y^2$

Заметим, что $(4y - 3x)^2 = (-(3x - 4y))^2 = (3x - 4y)^2$. Раскроем и эти скобки:

$(4y - 3x)^2 = (4y)^2 - 2 \cdot (4y) \cdot (3x) + (3x)^2 = 16y^2 - 24xy + 9x^2$

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(9x^2 + 24xy + 16y^2) - (16y^2 - 24xy + 9x^2) = 9x^2 + 24xy + 16y^2 - 16y^2 + 24xy - 9x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(9x^2 - 9x^2) + (16y^2 - 16y^2) + (24xy + 24xy) = 0 + 0 + 48xy = 48xy$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(3x + 4y)^2 - (4y - 3x)^2 = 48xy$.

2) Чтобы доказать тождество $(1,5x - 2y)^2 + (2x + 1,5y)^2 = 6,25(x^2 + y^2)$, преобразуем его левую часть. Используем формулы квадрата разности и квадрата суммы.

Раскроем скобки:

$(1,5x - 2y)^2 = (1,5x)^2 - 2 \cdot (1,5x) \cdot (2y) + (2y)^2 = 2,25x^2 - 6xy + 4y^2$

$(2x + 1,5y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (1,5y) + (1,5y)^2 = 4x^2 + 6xy + 2,25y^2$

Теперь сложим полученные выражения:

$(2,25x^2 - 6xy + 4y^2) + (4x^2 + 6xy + 2,25y^2) = 2,25x^2 - 6xy + 4y^2 + 4x^2 + 6xy + 2,25y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(2,25x^2 + 4x^2) + (4y^2 + 2,25y^2) + (-6xy + 6xy) = 6,25x^2 + 6,25y^2$

Вынесем общий множитель $6,25$ за скобки:

$6,25(x^2 + y^2)$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(1,5x - 2y)^2 + (2x + 1,5y)^2 = 6,25(x^2 + y^2)$.

3) Чтобы доказать тождество $(2a - 3b)^3 - (2a + 3b)^3 = -18b(4a^2 + 3b^2)$, преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ и куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Раскроем скобки:

$(2a - 3b)^3 = (2a)^3 - 3(2a)^2(3b) + 3(2a)(3b)^2 - (3b)^3 = 8a^3 - 3 \cdot 4a^2 \cdot 3b + 3 \cdot 2a \cdot 9b^2 - 27b^3 = 8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3$

$(2a + 3b)^3 = (2a)^3 + 3(2a)^2(3b) + 3(2a)(3b)^2 + (3b)^3 = 8a^3 + 3 \cdot 4a^2 \cdot 3b + 3 \cdot 2a \cdot 9b^2 + 27b^3 = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3$

Теперь выполним вычитание:

$(8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3) - (8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3) = 8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3 - 8a^3 - 36a^2b - 54ab^2 - 27b^3$

Приведем подобные слагаемые:

$(8a^3 - 8a^3) + (-36a^2b - 36a^2b) + (54ab^2 - 54ab^2) + (-27b^3 - 27b^3) = -72a^2b - 54b^3$

Вынесем общий множитель $-18b$ за скобки, чтобы привести выражение к виду правой части тождества:

$-72a^2b - 54b^3 = -18b(4a^2 + 3b^2)$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(2a - 3b)^3 - (2a + 3b)^3 = -18b(4a^2 + 3b^2)$.

4) Чтобы доказать тождество $(3a - 2b)^3 + (3a + 2b)^3 = 18a(3a^2 + 4b^2)$, преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами куба разности и куба суммы.

Раскроем скобки:

$(3a - 2b)^3 = (3a)^3 - 3(3a)^2(2b) + 3(3a)(2b)^2 - (2b)^3 = 27a^3 - 3 \cdot 9a^2 \cdot 2b + 3 \cdot 3a \cdot 4b^2 - 8b^3 = 27a^3 - 54a^2b + 36ab^2 - 8b^3$

$(3a + 2b)^3 = (3a)^3 + 3(3a)^2(2b) + 3(3a)(2b)^2 + (2b)^3 = 27a^3 + 3 \cdot 9a^2 \cdot 2b + 3 \cdot 3a \cdot 4b^2 + 8b^3 = 27a^3 + 54a^2b + 36ab^2 + 8b^3$

Теперь выполним сложение:

$(27a^3 - 54a^2b + 36ab^2 - 8b^3) + (27a^3 + 54a^2b + 36ab^2 + 8b^3) = 27a^3 - 54a^2b + 36ab^2 - 8b^3 + 27a^3 + 54a^2b + 36ab^2 + 8b^3$

Приведем подобные слагаемые:

$(27a^3 + 27a^3) + (-54a^2b + 54a^2b) + (36ab^2 + 36ab^2) + (-8b^3 + 8b^3) = 54a^3 + 72ab^2$

Вынесем общий множитель $18a$ за скобки, чтобы привести выражение к виду правой части тождества:

$54a^3 + 72ab^2 = 18a(3a^2 + 4b^2)$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(3a - 2b)^3 + (3a + 2b)^3 = 18a(3a^2 + 4b^2)$.

35.15.

1) $(5z^2 - 6k)^2 - (5z^2 + 3k)^2 + 90z^2k = 27k^2;$

2) $(m^2 - n^2)(m^2 + n^2) - m^2(m^2 - n^2) - m^2n^2 = -n^4;$

3) $(1,2x^4 - 7y^2)(1,2x^4 + 7y^2) + 0,56x^8 + 49y^4 = 2x^8;$

4) $(1,4a^3 - 5b^2)(1,4a^3 + 5b^2) - 2,96a^6 + 25b^4 = -a^6.$

1) Чтобы доказать тождество $(5z^2 - 6k)^2 - (5z^2 + 3k)^2 + 90z^2k = 27k^2$, преобразуем его левую часть. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Раскроем первую скобку:
$(5z^2 - 6k)^2 = (5z^2)^2 - 2 \cdot 5z^2 \cdot 6k + (6k)^2 = 25z^4 - 60z^2k + 36k^2$.
Раскроем вторую скобку:
$(5z^2 + 3k)^2 = (5z^2)^2 + 2 \cdot 5z^2 \cdot 3k + (3k)^2 = 25z^4 + 30z^2k + 9k^2$.
Теперь подставим раскрытые скобки в левую часть исходного выражения:
$(25z^4 - 60z^2k + 36k^2) - (25z^4 + 30z^2k + 9k^2) + 90z^2k = $
$= 25z^4 - 60z^2k + 36k^2 - 25z^4 - 30z^2k - 9k^2 + 90z^2k$.
Приведем подобные слагаемые:
$(25z^4 - 25z^4) + (-60z^2k - 30z^2k + 90z^2k) + (36k^2 - 9k^2) = 0 + 0 \cdot z^2k + 27k^2 = 27k^2$.
В результате упрощения левая часть стала равна правой части ($27k^2 = 27k^2$), следовательно, тождество доказано.
Ответ: $27k^2$.

2) Чтобы доказать тождество $(m^2 - n^2)(m^2 + n^2) - m^2(m^2 - n^2) - m^2n^2 = -n^4$, преобразуем его левую часть. Для первой части выражения применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Для второй части используем распределительный закон умножения.
Применим формулу разности квадратов:
$(m^2 - n^2)(m^2 + n^2) = (m^2)^2 - (n^2)^2 = m^4 - n^4$.
Раскроем скобки во втором слагаемом:
$-m^2(m^2 - n^2) = -m^2 \cdot m^2 - m^2 \cdot (-n^2) = -m^4 + m^2n^2$.
Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:
$(m^4 - n^4) + (-m^4 + m^2n^2) - m^2n^2 = m^4 - n^4 - m^4 + m^2n^2 - m^2n^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(m^4 - m^4) + (m^2n^2 - m^2n^2) - n^4 = 0 + 0 - n^4 = -n^4$.
Левая часть равна правой ($-n^4 = -n^4$), тождество доказано.
Ответ: $-n^4$.

3) Чтобы доказать тождество $(1,2x^4 - 7y^2)(1,2x^4 + 7y^2) + 0,56x^8 + 49y^4 = 2x^8$, преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Применим формулу к произведению скобок:
$(1,2x^4 - 7y^2)(1,2x^4 + 7y^2) = (1,2x^4)^2 - (7y^2)^2 = 1,44x^8 - 49y^4$.
Подставим результат в левую часть исходного выражения:
$(1,44x^8 - 49y^4) + 0,56x^8 + 49y^4$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(1,44x^8 + 0,56x^8) + (-49y^4 + 49y^4) = 2x^8 + 0 = 2x^8$.
Левая часть равна правой ($2x^8 = 2x^8$), тождество доказано.
Ответ: $2x^8$.

4) Чтобы доказать тождество $(1,4a^3 - 5b^2)(1,4a^3 + 5b^2) - 2,96a^6 + 25b^4 = -a^6$, преобразуем его левую часть. Снова применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Применим формулу к произведению скобок:
$(1,4a^3 - 5b^2)(1,4a^3 + 5b^2) = (1,4a^3)^2 - (5b^2)^2 = 1,96a^6 - 25b^4$.
Подставим полученное выражение в левую часть исходного равенства:
$(1,96a^6 - 25b^4) - 2,96a^6 + 25b^4$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(1,96a^6 - 2,96a^6) + (-25b^4 + 25b^4) = -a^6 + 0 = -a^6$.
Левая часть равна правой ($-a^6 = -a^6$), тождество доказано.
Ответ: $-a^6$.

Упростите выражения (35.16—35.17):

35.16. 1) $(4x^3 - 1)(9x^3 + 5) - (6x^3 - 1)^2;$ 2) $(x^4 - 1)^2 - (x^4 + 4) - (x^4 - 6);$

3) $(x^7 - 3)(x^7 + 7) - (x^7 + 2)^2;$ 4) $(x^8 + 9)(11 - x^8) - (x^8 + 1)^2.$

1) $(4x^3 - 1)(9x^3 + 5) - (6x^3 - 1)^2$

Сначала раскроем скобки в произведении двух многочленов:

$(4x^3 - 1)(9x^3 + 5) = 4x^3 \cdot 9x^3 + 4x^3 \cdot 5 - 1 \cdot 9x^3 - 1 \cdot 5 = 36x^6 + 20x^3 - 9x^3 - 5 = 36x^6 + 11x^3 - 5$.

Далее, возведем в квадрат второе выражение, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(6x^3 - 1)^2 = (6x^3)^2 - 2 \cdot 6x^3 \cdot 1 + 1^2 = 36x^6 - 12x^3 + 1$.

Теперь выполним вычитание полученных выражений:

$(36x^6 + 11x^3 - 5) - (36x^6 - 12x^3 + 1) = 36x^6 + 11x^3 - 5 - 36x^6 + 12x^3 - 1$.

Приведем подобные слагаемые:

$(36x^6 - 36x^6) + (11x^3 + 12x^3) + (-5 - 1) = 0 + 23x^3 - 6 = 23x^3 - 6$.

Ответ: $23x^3 - 6$.

2) $(x^4 - 1)^2 - (x^4 + 4)(x^4 - 6)$

Сначала возведем в квадрат первое выражение по формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^4 - 1)^2 = (x^4)^2 - 2 \cdot x^4 \cdot 1 + 1^2 = x^8 - 2x^4 + 1$.

Затем раскроем скобки во втором произведении:

$(x^4 + 4)(x^4 - 6) = x^4 \cdot x^4 - 6 \cdot x^4 + 4 \cdot x^4 - 4 \cdot 6 = x^8 - 2x^4 - 24$.

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(x^8 - 2x^4 + 1) - (x^8 - 2x^4 - 24) = x^8 - 2x^4 + 1 - x^8 + 2x^4 + 24$.

Приведем подобные слагаемые:

$(x^8 - x^8) + (-2x^4 + 2x^4) + (1 + 24) = 0 + 0 + 25 = 25$.

Ответ: $25$.

3) $(x^7 - 3)(x^7 + 7) - (x^7 + 2)^2$

Сначала раскроем скобки в произведении:

$(x^7 - 3)(x^7 + 7) = x^7 \cdot x^7 + 7 \cdot x^7 - 3 \cdot x^7 - 3 \cdot 7 = x^{14} + 4x^7 - 21$.

Далее, возведем в квадрат второе выражение, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x^7 + 2)^2 = (x^7)^2 + 2 \cdot x^7 \cdot 2 + 2^2 = x^{14} + 4x^7 + 4$.

Теперь выполним вычитание полученных выражений:

$(x^{14} + 4x^7 - 21) - (x^{14} + 4x^7 + 4) = x^{14} + 4x^7 - 21 - x^{14} - 4x^7 - 4$.

Приведем подобные слагаемые:

$(x^{14} - x^{14}) + (4x^7 - 4x^7) + (-21 - 4) = 0 + 0 - 25 = -25$.

Ответ: $-25$.

4) $(x^8 + 9)(11 - x^8) - (x^8 + 1)^2$

Сначала раскроем скобки в произведении:

$(x^8 + 9)(11 - x^8) = x^8 \cdot 11 - x^8 \cdot x^8 + 9 \cdot 11 - 9 \cdot x^8 = 11x^8 - x^{16} + 99 - 9x^8 = -x^{16} + 2x^8 + 99$.

Далее, возведем в квадрат второе выражение, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x^8 + 1)^2 = (x^8)^2 + 2 \cdot x^8 \cdot 1 + 1^2 = x^{16} + 2x^8 + 1$.

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(-x^{16} + 2x^8 + 99) - (x^{16} + 2x^8 + 1) = -x^{16} + 2x^8 + 99 - x^{16} - 2x^8 - 1$.

Приведем подобные слагаемые:

$(-x^{16} - x^{16}) + (2x^8 - 2x^8) + (99 - 1) = -2x^{16} + 0 + 98 = 98 - 2x^{16}$.

Ответ: $98 - 2x^{16}$.

35.17.

1) $(a^3 + b^3)^3 - (a^3 - b^3)^3 - 2b^9;$

2) $(1 - a^3b^3)^3 - (a^3b^3 - 1)^3 - 2;$

3) $3a^4b^4(a^4 - b^4) - (a^4 - b^4)^2;$

4) $(c^2 + d^2)^3 - 3c^2d^2(c^2 + d^2).$

1) Упростим выражение $(a^3 + b^3)^3 - (a^3 - b^3)^3 - 2b^9$.
Для этого воспользуемся формулами куба суммы и куба разности: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$ и $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
Пусть $x=a^3$ и $y=b^3$.
Раскроем первые две скобки:
$(a^3 + b^3)^3 = (a^3)^3 + 3(a^3)^2(b^3) + 3(a^3)(b^3)^2 + (b^3)^3 = a^9 + 3a^6b^3 + 3a^3b^6 + b^9$.
$(a^3 - b^3)^3 = (a^3)^3 - 3(a^3)^2(b^3) + 3(a^3)(b^3)^2 - (b^3)^3 = a^9 - 3a^6b^3 + 3a^3b^6 - b^9$.
Теперь вычтем второе выражение из первого:
$(a^9 + 3a^6b^3 + 3a^3b^6 + b^9) - (a^9 - 3a^6b^3 + 3a^3b^6 - b^9) = a^9 + 3a^6b^3 + 3a^3b^6 + b^9 - a^9 + 3a^6b^3 - 3a^3b^6 + b^9$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^9 - a^9) + (3a^6b^3 + 3a^6b^3) + (3a^3b^6 - 3a^3b^6) + (b^9 + b^9) = 6a^6b^3 + 2b^9$.
Подставим полученный результат в исходное выражение:
$(6a^6b^3 + 2b^9) - 2b^9 = 6a^6b^3$.
Ответ: $6a^6b^3$.

2) Упростим выражение $(1 - a^3b^3)^3 - (a^3b^3 - 1)^3 - 2$.
Заметим, что слагаемые в скобках отличаются только знаком: $(a^3b^3 - 1) = -(1 - a^3b^3)$.
Используя свойство нечетной степени $(-x)^n = -x^n$ для $n=3$, получим:
$(a^3b^3 - 1)^3 = (-(1 - a^3b^3))^3 = (-1)^3 (1 - a^3b^3)^3 = -(1 - a^3b^3)^3$.
Подставим это в исходное выражение:
$(1 - a^3b^3)^3 - (-(1 - a^3b^3)^3) - 2 = (1 - a^3b^3)^3 + (1 - a^3b^3)^3 - 2 = 2(1 - a^3b^3)^3 - 2$.
Теперь раскроем куб разности по формуле $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$, где $x=1$ и $y=a^3b^3$:
$2(1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot a^3b^3 + 3 \cdot 1 \cdot (a^3b^3)^2 - (a^3b^3)^3) - 2 = 2(1 - 3a^3b^3 + 3a^6b^6 - a^9b^9) - 2$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2 - 6a^3b^3 + 6a^6b^6 - 2a^9b^9 - 2 = -2a^9b^9 + 6a^6b^6 - 6a^3b^3$.
Ответ: $-2a^9b^9 + 6a^6b^6 - 6a^3b^3$.

3) Упростим выражение $3a^4b^4(a^4 - b^4) - (a^4 - b^4)^2$.
В данном выражении есть общий множитель $(a^4 - b^4)$. Вынесем его за скобки:
$(a^4 - b^4) [3a^4b^4 - (a^4 - b^4)]$.
Теперь раскроем внутренние скобки во втором множителе:
$(a^4 - b^4) (3a^4b^4 - a^4 + b^4)$.
Это и есть упрощенная (разложенная на множители) форма исходного выражения.
Ответ: $(a^4 - b^4)(3a^4b^4 - a^4 + b^4)$.

4) Упростим выражение $(c^2 + d^2)^3 - 3c^2d^2(c^2 + d^2)$.
Это выражение соответствует одной из форм формулы суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$.
Для наглядности сделаем замену: пусть $x = c^2$ и $y = d^2$.
Подставив замену в исходное выражение, получим:
$(x+y)^3 - 3xy(x+y)$.
Как было сказано выше, это выражение равно $x^3 + y^3$.
Теперь выполним обратную замену:
$x^3 + y^3 = (c^2)^3 + (d^2)^3 = c^{2 \cdot 3} + d^{2 \cdot 3} = c^6 + d^6$.
Ответ: $c^6 + d^6$.

Решите уравнения (35.18–35.19):

35.18. 1) $8(x - 10)^2 - 11(x + 5)^2 = -3x^2 - 170x + 1600;$

2) $2.5(4 + x)^2 + 7(5 - x)(5 + x) = 295 - 4.5x^2;$

3) $1.9(y + 20)(20 - y) - 1.6(y + 20)^2 = 116 - 3.5y^2;$

4) $30(1.8 - y)^2 + 20(y + 1.8)(y - 1.8) = 50y^2 + 140.4.$

1) $8(x - 10)^2 - 11(x + 5)^2 = -3x^2 - 170x + 1600$

Для решения уравнения сначала раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(x - 10)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = x^2 - 20x + 100$

$(x + 5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$8(x^2 - 20x + 100) - 11(x^2 + 10x + 25) = -3x^2 - 170x + 1600$

Теперь раскроем скобки, умножив каждый член многочлена на соответствующий коэффициент:

$8x^2 - 160x + 800 - 11x^2 - 110x - 275 = -3x^2 - 170x + 1600$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(8x^2 - 11x^2) + (-160x - 110x) + (800 - 275) = -3x^2 - 170x + 1600$

$-3x^2 - 270x + 525 = -3x^2 - 170x + 1600$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные, чтобы собрать все члены уравнения с одной стороны:

$-3x^2 - 270x + 525 + 3x^2 + 170x - 1600 = 0$

Снова приведем подобные слагаемые:

$(-3x^2 + 3x^2) + (-270x + 170x) + (525 - 1600) = 0$

$-100x - 1075 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$-100x = 1075$

$x = \frac{1075}{-100}$

$x = -10,75$

Ответ: $-10,75$

2) $2,5(4 + x)^2 + 7(5 - x)(5 + x) = 295 - 4,5x^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$(4+x)^2 = 16 + 8x + x^2$

$(5-x)(5+x) = 5^2 - x^2 = 25 - x^2$

Подставим полученные выражения в уравнение:

$2,5(16 + 8x + x^2) + 7(25 - x^2) = 295 - 4,5x^2$

Раскроем скобки:

$40 + 20x + 2,5x^2 + 175 - 7x^2 = 295 - 4,5x^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(2,5x^2 - 7x^2) + 20x + (40 + 175) = 295 - 4,5x^2$

$-4,5x^2 + 20x + 215 = 295 - 4,5x^2$

Перенесем слагаемые с $x^2$ в левую часть, а свободные члены в правую:

$-4,5x^2 + 4,5x^2 + 20x = 295 - 215$

Приведем подобные слагаемые:

$20x = 80$

Найдем $x$:

$x = \frac{80}{20}$

$x = 4$

Ответ: $4$

3) $1,9(y + 20)(20 - y) - 1,6(y + 20)^2 = 116 - 3,5y^2$

Раскроем скобки, используя формулы разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Заметим, что $(y+20)(20-y) = (20+y)(20-y)$.

$(20+y)(20-y) = 20^2 - y^2 = 400 - y^2$

$(y+20)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 20 + 20^2 = y^2 + 40y + 400$

Подставим в уравнение:

$1,9(400 - y^2) - 1,6(y^2 + 40y + 400) = 116 - 3,5y^2$

Раскроем скобки:

$760 - 1,9y^2 - 1,6y^2 - 64y - 640 = 116 - 3,5y^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(-1,9y^2 - 1,6y^2) - 64y + (760 - 640) = 116 - 3,5y^2$

$-3,5y^2 - 64y + 120 = 116 - 3,5y^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$-3,5y^2 - 64y + 120 - 116 + 3,5y^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(-3,5y^2 + 3,5y^2) - 64y + (120 - 116) = 0$

$-64y + 4 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$-64y = -4$

$y = \frac{-4}{-64}$

$y = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$

4) $30(1,8 - y)^2 + 20(y + 1,8)(y - 1,8) = 50y^2 + 140,4$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

$(1,8 - y)^2 = 1,8^2 - 2 \cdot 1,8 \cdot y + y^2 = 3,24 - 3,6y + y^2$

$(y + 1,8)(y - 1,8) = y^2 - 1,8^2 = y^2 - 3,24$

Подставим в уравнение:

$30(3,24 - 3,6y + y^2) + 20(y^2 - 3,24) = 50y^2 + 140,4$

Раскроем скобки:

$97,2 - 108y + 30y^2 + 20y^2 - 64,8 = 50y^2 + 140,4$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(30y^2 + 20y^2) - 108y + (97,2 - 64,8) = 50y^2 + 140,4$

$50y^2 - 108y + 32,4 = 50y^2 + 140,4$

Перенесем слагаемые с $y^2$ в левую часть, а остальные в правую:

$50y^2 - 50y^2 - 108y = 140,4 - 32,4$

Приведем подобные слагаемые:

$-108y = 108$

Найдем $y$:

$y = \frac{108}{-108}$

$y = -1$

Ответ: $-1$