Страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.8. Решите неравенство:

1)

$(1 - 4x)(1 + 4x + 16x^2) - 6x^3 \le 10x - 70x^3;$

2)

$99x^3 - (1 + 5x)(1 - 5x + 25x^2) \ge 12x - 26x^3.$

1) $(1 - 4x)(1 + 4x + 16x^2) - 6x^3 \le 10x - 70x^3$

Для решения этого неравенства заметим, что выражение $(1 - 4x)(1 + 4x + 16x^2)$ является разностью кубов. Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В нашем случае $a = 1$ и $b = 4x$. Проверим, соответствует ли второй множитель формуле: $a^2 = 1^2 = 1$, $ab = 1 \cdot 4x = 4x$, $b^2 = (4x)^2 = 16x^2$. Все верно.

Таким образом, произведение $(1 - 4x)(1 + 4x + 16x^2)$ равно $1^3 - (4x)^3 = 1 - 64x^3$.

Подставим это в исходное неравенство:

$(1 - 64x^3) - 6x^3 \le 10x - 70x^3$

Упростим левую часть:

$1 - 70x^3 \le 10x - 70x^3$

Теперь перенесем все члены с $x^3$ в одну сторону. Видно, что члены $-70x^3$ в обеих частях неравенства взаимно уничтожаются.

$1 \le 10x$

Разделим обе части неравенства на 10:

$\frac{1}{10} \le x$

Или, что то же самое:

$x \ge 0.1$

Решение можно записать в виде промежутка.

Ответ: $x \in [0.1, +\infty)$.

2) $99x^3 - (1 + 5x)(1 - 5x + 25x^2) \ge 12x - 26x^3$

Выражение $(1 + 5x)(1 - 5x + 25x^2)$ является суммой кубов. Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Здесь $a = 1$ и $b = 5x$. Проверим второй множитель: $a^2 = 1^2 = 1$, $ab = 1 \cdot 5x = 5x$, $b^2 = (5x)^2 = 25x^2$. Все верно.

Следовательно, произведение $(1 + 5x)(1 - 5x + 25x^2)$ равно $1^3 + (5x)^3 = 1 + 125x^3$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$99x^3 - (1 + 125x^3) \ge 12x - 26x^3$

Раскроем скобки в левой части:

$99x^3 - 1 - 125x^3 \ge 12x - 26x^3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-26x^3 - 1 \ge 12x - 26x^3$

Члены $-26x^3$ в обеих частях неравенства взаимно уничтожаются.

$-1 \ge 12x$

Разделим обе части на 12:

$-\frac{1}{12} \ge x$

Или, что то же самое:

$x \le -\frac{1}{12}$

Решение можно записать в виде промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{1}{12}]$.

34.9. Докажите тождество:

1) $(5x - 6)(25x^2 + 30x + 36) - 0.25(500x^3 - 864) = 0;$

2) $91x^3 - (3x - 4)(9x^2 + 12x + 16) - (3 + 4x)(9 - 12x + 16x^2) = 37.$

1) Чтобы доказать тождество, мы преобразуем левую часть уравнения.

Первое слагаемое $(5x-6)(25x^2 + 30x + 36)$ является формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.

В нашем случае $a=5x$ и $b=6$.

Таким образом, $(5x-6)(25x^2+30x+36) = (5x)^3 - 6^3 = 125x^3 - 216$.

Теперь раскроем скобки во втором слагаемом $-0,25(500x^3 - 864)$:

$-0,25 \cdot 500x^3 - 0,25 \cdot (-864) = -125x^3 + 216$.

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного тождества:

$(125x^3 - 216) + (-125x^3 + 216) = 125x^3 - 216 - 125x^3 + 216 = 0$.

Левая часть равна правой части ($0 = 0$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть уравнения, чтобы доказать тождество.

Рассмотрим выражение $(3x-4)(9x^2+12x+16)$. Это формула разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$, где $a=3x$ и $b=4$.

$(3x-4)(9x^2+12x+16) = (3x)^3 - 4^3 = 27x^3 - 64$.

Рассмотрим выражение $(3+4x)(9-12x+16x^2)$. Это формула суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=3$ и $b=4x$.

$(3+4x)(9-12x+16x^2) = 3^3 + (4x)^3 = 27 + 64x^3$.

Теперь подставим упрощенные выражения в левую часть исходного тождества:

$91x^3 - (27x^3 - 64) - (27 + 64x^3)$

Раскроем скобки:

$91x^3 - 27x^3 + 64 - 27 - 64x^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(91x^3 - 27x^3 - 64x^3) + (64 - 27) = (91-27-64)x^3 + (64-27) = 0 \cdot x^3 + 37 = 37$.

Левая часть равна правой части ($37 = 37$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

34.10. Разложите на множители многочлен:

1) $a^3 - 27b^3$;

2) $m^3n^3 + k^3$;

3) $x^6 - y^6$;

4) $k^6 + (pq)^6$;

5) $(a - b)^3 + b^3$;

6) $(x - 2)^3 - 27$;

7) $8a^3 + (a - b)^3$;

8) $27x^3 - y^3(x - y)^3$.

1) Для разложения многочлена $a^3 - 27b^3$ на множители, представим его в виде разности кубов.
Выражение $27b^3$ можно записать как $(3b)^3$. Таким образом, мы имеем $a^3 - (3b)^3$.
Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
В нашем случае $x = a$ и $y = 3b$.
Подставляем в формулу:
$a^3 - (3b)^3 = (a - 3b)(a^2 + a \cdot (3b) + (3b)^2) = (a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2)$.
Ответ: $(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2)$.

2) Для разложения многочлена $m^3n^3 + k^3$ на множители, представим его в виде суммы кубов.
Выражение $m^3n^3$ можно записать как $(mn)^3$. Таким образом, мы имеем $(mn)^3 + k^3$.
Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
В нашем случае $x = mn$ и $y = k$.
Подставляем в формулу:
$(mn)^3 + k^3 = (mn + k)((mn)^2 - (mn) \cdot k + k^2) = (mn + k)(m^2n^2 - mnk + k^2)$.
Ответ: $(mn + k)(m^2n^2 - mnk + k^2)$.

3) Многочлен $x^6 - y^6$ можно разложить, представив его как разность квадратов: $(x^3)^2 - (y^3)^2$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^3$ и $b = y^3$:
$(x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$.
Теперь каждый из полученных множителей разложим по формулам разности и суммы кубов:
$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$
$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$
Собирая все множители вместе, получаем окончательный результат:
$(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$.
Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$.

4) Для разложения многочлена $k^6 + (pq)^6$ представим его как сумму кубов: $(k^2)^3 + ((pq)^2)^3$.
Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = k^2$ и $b = (pq)^2 = p^2q^2$.
Подставляем в формулу:
$(k^2)^3 + (p^2q^2)^3 = (k^2 + p^2q^2)((k^2)^2 - k^2 \cdot p^2q^2 + (p^2q^2)^2) = (k^2 + p^2q^2)(k^4 - k^2p^2q^2 + p^4q^4)$.
Ответ: $(k^2 + p^2q^2)(k^4 - k^2p^2q^2 + p^4q^4)$.

5) Данный многочлен $(a - b)^3 + b^3$ является суммой кубов.
Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = a - b$ и $y = b$.
Первый множитель: $(a - b) + b = a$.
Второй множитель: $(a - b)^2 - (a - b)b + b^2$. Раскроем скобки и упростим:
$(a^2 - 2ab + b^2) - (ab - b^2) + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 - ab + b^2 + b^2 = a^2 - 3ab + 3b^2$.
Итоговый результат: $a(a^2 - 3ab + 3b^2)$.
Ответ: $a(a^2 - 3ab + 3b^2)$.

6) Для разложения многочлена $(x - 2)^3 - 27$ представим его как разность кубов: $(x - 2)^3 - 3^3$.
Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = x - 2$ и $b = 3$.
Первый множитель: $(x - 2) - 3 = x - 5$.
Второй множитель: $(x - 2)^2 + (x - 2) \cdot 3 + 3^2$. Раскроем скобки и упростим:
$(x^2 - 4x + 4) + (3x - 6) + 9 = x^2 - 4x + 3x + 4 - 6 + 9 = x^2 - x + 7$.
Итоговый результат: $(x - 5)(x^2 - x + 7)$.
Ответ: $(x - 5)(x^2 - x + 7)$.

7) Многочлен $8a^3 + (a - b)^3$ представим в виде суммы кубов: $(2a)^3 + (a - b)^3$.
Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = 2a$ и $y = a - b$.
Первый множитель: $2a + (a - b) = 3a - b$.
Второй множитель: $(2a)^2 - 2a(a - b) + (a - b)^2$. Раскроем скобки и упростим:
$4a^2 - (2a^2 - 2ab) + (a^2 - 2ab + b^2) = 4a^2 - 2a^2 + 2ab + a^2 - 2ab + b^2 = 3a^2 + b^2$.
Итоговый результат: $(3a - b)(3a^2 + b^2)$.
Ответ: $(3a - b)(3a^2 + b^2)$.

8) Многочлен $27x^3 - y^3(x - y)^3$ представим в виде разности кубов.
Сначала преобразуем второе слагаемое: $y^3(x - y)^3 = (y(x - y))^3 = (xy - y^2)^3$.
Теперь выражение имеет вид: $(3x)^3 - (xy - y^2)^3$.
Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 3x$ и $b = xy - y^2$.
Первый множитель: $3x - (xy - y^2) = 3x - xy + y^2$.
Второй множитель: $(3x)^2 + 3x(xy - y^2) + (xy - y^2)^2$. Вычислим каждую часть:
$(3x)^2 = 9x^2$
$3x(xy - y^2) = 3x^2y - 3xy^2$
$(xy - y^2)^2 = x^2y^2 - 2xy^3 + y^4$
Сложив все части, получаем второй множитель: $9x^2 + 3x^2y - 3xy^2 + x^2y^2 - 2xy^3 + y^4$.
Ответ: $(3x - xy + y^2)(9x^2 + 3x^2y - 3xy^2 + x^2y^2 - 2xy^3 + y^4)$.

34.11. Запишите в виде многочлена произведение:

1) $(x + \frac{1}{3})(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}x + x^2)$;

2) $(n - \frac{1}{2})(n^2 + \frac{1}{2}n + \frac{1}{4})$;

3) $(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{6}ab + \frac{1}{9}b^2)$;

4) $(\frac{1}{4}y^2 - yz + 4z^2)(\frac{1}{2}y + 2z)$

1) Чтобы записать произведение $(x + \frac{1}{3})(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}x + x^2)$ в виде многочлена, воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Для удобства приведения к формуле, переставим слагаемые во второй скобке: $(x + \frac{1}{3})(x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{9})$.

В нашем выражении $a = x$ и $b = \frac{1}{3}$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка части формулы $(a^2 - ab + b^2)$:

$a^2 = x^2$

$ab = x \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}x$

$b^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

Вторая скобка $(x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{9})$ полностью соответствует выражению $(a^2 - ab + b^2)$.

Следовательно, исходное произведение равно сумме кубов $a^3 + b^3$.

$(x + \frac{1}{3})(x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}) = x^3 + (\frac{1}{3})^3 = x^3 + \frac{1}{27}$.

Ответ: $x^3 + \frac{1}{27}$

2) Для того чтобы записать произведение $(n - \frac{1}{2})(n^2 + \frac{1}{2}n + \frac{1}{4})$ в виде многочлена, используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В данном случае $a = n$ и $b = \frac{1}{2}$.

Проверим соответствие второй скобки части формулы $(a^2 + ab + b^2)$:

$a^2 = n^2$

$ab = n \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}n$

$b^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Вторая скобка $(n^2 + \frac{1}{2}n + \frac{1}{4})$ полностью соответствует выражению $(a^2 + ab + b^2)$.

Таким образом, исходное произведение равно разности кубов $a^3 - b^3$.

$(n - \frac{1}{2})(n^2 + \frac{1}{2}n + \frac{1}{4}) = n^3 - (\frac{1}{2})^3 = n^3 - \frac{1}{8}$.

Ответ: $n^3 - \frac{1}{8}$

3) Чтобы записать произведение $(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{6}ab + \frac{1}{9}b^2)$ в виде многочлена, применим формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.

В этом выражении $A = \frac{1}{2}a$ и $B = \frac{1}{3}b$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка части формулы $(A^2 - AB + B^2)$:

$A^2 = (\frac{1}{2}a)^2 = \frac{1}{4}a^2$

$AB = (\frac{1}{2}a)(\frac{1}{3}b) = \frac{1}{6}ab$

$B^2 = (\frac{1}{3}b)^2 = \frac{1}{9}b^2$

Вторая скобка $(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{6}ab + \frac{1}{9}b^2)$ полностью соответствует выражению $(A^2 - AB + B^2)$.

Следовательно, произведение равно сумме кубов $A^3 + B^3$.

$(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{6}ab + \frac{1}{9}b^2) = (\frac{1}{2}a)^3 + (\frac{1}{3}b)^3 = \frac{1}{8}a^3 + \frac{1}{27}b^3$.

Ответ: $\frac{1}{8}a^3 + \frac{1}{27}b^3$

4) Для того чтобы записать произведение $(\frac{1}{4}y^2 - yz + 4z^2)(\frac{1}{2}y + 2z)$ в виде многочлена, поменяем множители местами для соответствия стандартному виду формулы: $(\frac{1}{2}y + 2z)(\frac{1}{4}y^2 - yz + 4z^2)$.

Теперь применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В нашем случае $a = \frac{1}{2}y$ и $b = 2z$.

Проверим соответствие второй скобки части формулы $(a^2 - ab + b^2)$:

$a^2 = (\frac{1}{2}y)^2 = \frac{1}{4}y^2$

$ab = (\frac{1}{2}y)(2z) = yz$

$b^2 = (2z)^2 = 4z^2$

Вторая скобка $(\frac{1}{4}y^2 - yz + 4z^2)$ полностью соответствует выражению $(a^2 - ab + b^2)$.

Следовательно, произведение равно сумме кубов $a^3 + b^3$.

$(\frac{1}{2}y + 2z)(\frac{1}{4}y^2 - yz + 4z^2) = (\frac{1}{2}y)^3 + (2z)^3 = \frac{1}{8}y^3 + 8z^3$.

Ответ: $\frac{1}{8}y^3 + 8z^3$

34.12. Представьте в виде произведения многочлен:

1) $m^3 - n^3 + 2n - 2m;$

2) $3a^3 - 3b^3 + 5a^2 - 5b^2;$

3) $x^6 + y^6 + x^2 + y^2;$

4) $a^3 - b^3 + a^2 - b^2;$

5) $x^4 + xy^3 - x^3y - y^4;$

6) $a^4 - a^3b + ab^3 - b^4.$

1) Чтобы представить многочлен $m^3 - n^3 + 2n - 2m$ в виде произведения, сгруппируем его члены: $(m^3 - n^3) + (2n - 2m)$.
К первой группе применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, а во второй группе вынесем за скобки общий множитель $-2$:
$(m-n)(m^2+mn+n^2) - 2(m-n)$.
Теперь мы видим общий множитель $(m-n)$, который можно вынести за скобки:
$(m-n)(m^2+mn+n^2-2)$.
Ответ: $(m-n)(m^2+mn+n^2-2)$.

2) Чтобы представить многочлен $3a^3 - 3b^3 + 5a^2 - 5b^2$ в виде произведения, сгруппируем его члены: $(3a^3 - 3b^3) + (5a^2 - 5b^2)$.
Вынесем общие числовые множители из каждой группы:
$3(a^3 - b^3) + 5(a^2 - b^2)$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$3(a-b)(a^2+ab+b^2) + 5(a-b)(a+b)$.
Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:
$(a-b)[3(a^2+ab+b^2) + 5(a+b)]$.
Раскроем скобки во втором множителе, чтобы упростить выражение:
$(a-b)(3a^2+3ab+3b^2+5a+5b)$.
Ответ: $(a-b)(3a^2+3ab+3b^2+5a+5b)$.

3) Чтобы представить многочлен $x^6 + y^6 + x^2 + y^2$ в виде произведения, сгруппируем его члены: $(x^6 + y^6) + (x^2 + y^2)$.
Выражение $x^6 + y^6$ можно представить как сумму кубов, заметив, что $x^6 = (x^2)^3$ и $y^6 = (y^2)^3$. Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$(x^2+y^2)((x^2)^2-x^2y^2+(y^2)^2) + (x^2+y^2) = (x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4) + (x^2+y^2)$.
Теперь вынесем общий множитель $(x^2+y^2)$ за скобки:
$(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4+1)$.
Ответ: $(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4+1)$.

4) Чтобы представить многочлен $a^3 - b^3 + a^2 - b^2$ в виде произведения, сгруппируем его члены: $(a^3 - b^3) + (a^2 - b^2)$.
Применим формулы разности кубов и разности квадратов:
$(a-b)(a^2+ab+b^2) + (a-b)(a+b)$.
Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:
$(a-b)[(a^2+ab+b^2) + (a+b)]$.
Упростим выражение во вторых скобках:
$(a-b)(a^2+ab+b^2+a+b)$.
Ответ: $(a-b)(a^2+ab+b^2+a+b)$.

5) Чтобы представить многочлен $x^4 + xy^3 - x^3y - y^4$ в виде произведения, сгруппируем его члены. Удобнее сгруппировать первый с третьим, а второй с четвертым: $(x^4 - x^3y) + (xy^3 - y^4)$.
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^3(x-y) + y^3(x-y)$.
Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:
$(x-y)(x^3+y^3)$.
Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ ко второму множителю:
$(x-y)(x+y)(x^2-xy+y^2)$.
Ответ: $(x-y)(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

6) Чтобы представить многочлен $a^4 - a^3b + ab^3 - b^4$ в виде произведения, сгруппируем его члены: $(a^4 - a^3b) + (ab^3 - b^4)$.
Вынесем общие множители из каждой группы:
$a^3(a-b) + b^3(a-b)$.
Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:
$(a-b)(a^3+b^3)$.
Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ ко второму множителю:
$(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Ответ: $(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Упростите выражения (34.13–34.14):

34.13. 1) $2a^3 + 9 - 2(a+1)(a^2 - a + 1)$;

2) $x(x+2)(x-2) - (x-3)(x^2 + 3x + 9)$;

3) $3(b-1)^2 + (b+2)(b^2 - 2b + 4) - (b+1)^3$;

4) $(a-1)^3 - 4a(a+1)(a-1) + 3(a-1)(a^2 + a + 1).$

1) Для упрощения выражения $2a^3 + 9 - 2(a + 1)(a^2 - a + 1)$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.

В данном случае, произведение $(a + 1)(a^2 - a \cdot 1 + 1^2)$ равно $a^3 + 1^3$, то есть $a^3 + 1$.

Подставим это в исходное выражение:

$2a^3 + 9 - 2(a^3 + 1)$

Теперь раскроем скобки, умножив $-2$ на каждое слагаемое в них:

$2a^3 + 9 - 2 \cdot a^3 - 2 \cdot 1 = 2a^3 + 9 - 2a^3 - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$(2a^3 - 2a^3) + (9 - 2) = 0 + 7 = 7$

Ответ: $7$

2) Рассмотрим выражение $x(x + 2)(x - 2) - (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$.

Первая часть выражения $x(x + 2)(x - 2)$ содержит произведение, которое можно упростить с помощью формулы разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.

$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.

Тогда первая часть равна: $x(x^2 - 4) = x^3 - 4x$.

Вторая часть выражения $(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$ является формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.

$(x - 3)(x^2 + x \cdot 3 + 3^2) = x^3 - 3^3 = x^3 - 27$.

Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(x^3 - 4x) - (x^3 - 27)$

Раскроем скобки (обращая внимание на знак минус перед ними) и приведем подобные слагаемые:

$x^3 - 4x - x^3 + 27 = (x^3 - x^3) - 4x + 27 = -4x + 27$.

Ответ: $27 - 4x$

3) Упростим выражение $3(b - 1)^2 + (b + 2)(b^2 - 2b + 4) - (b + 1)^3$.

Разберем каждое слагаемое по отдельности, используя формулы сокращенного умножения.

Первое слагаемое: $3(b - 1)^2$. Используя формулу квадрата разности $(a-c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$, получаем: $3(b^2 - 2b + 1) = 3b^2 - 6b + 3$.

Второе слагаемое: $(b + 2)(b^2 - 2b + 4)$. Это формула суммы кубов $(a+c)(a^2-ac+c^2)=a^3+c^3$: $(b + 2)(b^2 - b \cdot 2 + 2^2) = b^3 + 2^3 = b^3 + 8$.

Третье слагаемое: $(b + 1)^3$. Используя формулу куба суммы $(a+c)^3 = a^3+3a^2c+3ac^2+c^3$, получаем: $b^3 + 3b^2 \cdot 1 + 3b \cdot 1^2 + 1^3 = b^3 + 3b^2 + 3b + 1$.

Соберем все вместе:

$(3b^2 - 6b + 3) + (b^3 + 8) - (b^3 + 3b^2 + 3b + 1)$

Раскроем скобки:

$3b^2 - 6b + 3 + b^3 + 8 - b^3 - 3b^2 - 3b - 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(b^3 - b^3) + (3b^2 - 3b^2) + (-6b - 3b) + (3 + 8 - 1) = 0 + 0 - 9b + 10 = -9b + 10$.

Ответ: $10 - 9b$

4) Упростим выражение $(a - 1)^3 - 4a(a + 1)(a - 1) + 3(a - 1)(a^2 + a + 1)$.

Упростим каждое слагаемое, применяя соответствующие формулы.

Первое слагаемое: $(a - 1)^3$. По формуле куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$: $a^3 - 3a^2 \cdot 1 + 3a \cdot 1^2 - 1^3 = a^3 - 3a^2 + 3a - 1$.

Второе слагаемое: $-4a(a + 1)(a - 1)$. Сначала применим формулу разности квадратов к $(a+1)(a-1)=a^2-1$. Затем: $-4a(a^2 - 1) = -4a^3 + 4a$.

Третье слагаемое: $3(a - 1)(a^2 + a + 1)$. Выражение в скобках является формулой разности кубов $(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3$: $3(a^3 - 1^3) = 3(a^3 - 1) = 3a^3 - 3$.

Подставим все в исходное выражение:

$(a^3 - 3a^2 + 3a - 1) + (-4a^3 + 4a) + (3a^3 - 3)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$a^3 - 3a^2 + 3a - 1 - 4a^3 + 4a + 3a^3 - 3$

$(a^3 - 4a^3 + 3a^3) - 3a^2 + (3a + 4a) + (-1 - 3) = (4a^3 - 4a^3) - 3a^2 + 7a - 4 = -3a^2 + 7a - 4$.

Ответ: $-3a^2 + 7a - 4$

34.14. 1) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - x(x - 3)(x + 3) - 42;$

2) $(x - 3)(x^2 + 3x + 9) - x(x^2 - 16) + 21;$

3) $(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) - 23 - 4x(2x^2 + 3);$

4) $16x(4x^2 - 5) + 17 - (4x + 1)(16x^2 - 4x + 1).$

1)Упростим выражение $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - x(x - 3)(x + 3) - 42$.
Первое произведение $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ является формулой суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$. В нашем случае $a=x$ и $b=2$, поэтому выражение равно $x^3 + 2^3 = x^3 + 8$.
Произведение $(x - 3)(x + 3)$ является формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Здесь $a=x$ и $b=3$, так что получаем $x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.
Подставим эти результаты в исходное выражение:
$(x^3 + 8) - x(x^2 - 9) - 42$
Теперь раскроем скобки:
$x^3 + 8 - x \cdot x^2 - x \cdot (-9) - 42 = x^3 + 8 - x^3 + 9x - 42$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^3 - x^3) + 9x + (8 - 42) = 0 + 9x - 34 = 9x - 34$.
Ответ: $9x - 34$.

2)Упростим выражение $(x - 3)(x^2 + 3x + 9) - x(x^2 - 16) + 21$.
Первое произведение $(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$ является формулой разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$. В данном случае $a=x$ и $b=3$, поэтому выражение равно $x^3 - 3^3 = x^3 - 27$.
Подставим это в исходное выражение и раскроем скобки во втором слагаемом:
$(x^3 - 27) - x \cdot x^2 - x \cdot (-16) + 21 = x^3 - 27 - x^3 + 16x + 21$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^3 - x^3) + 16x + (-27 + 21) = 0 + 16x - 6 = 16x - 6$.
Ответ: $16x - 6$.

3)Упростим выражение $(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) - 23 - 4x(2x^2 + 3)$.
Первое произведение $(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$ является формулой разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$. Здесь $a=2x$ и $b=1$, поэтому выражение равно $(2x)^3 - 1^3 = 8x^3 - 1$.
Раскроем скобки в последнем слагаемом: $-4x(2x^2 + 3) = -8x^3 - 12x$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$(8x^3 - 1) - 23 - 8x^3 - 12x$
Приведем подобные слагаемые:
$(8x^3 - 8x^3) - 12x + (-1 - 23) = 0 - 12x - 24 = -12x - 24$.
Ответ: $-12x - 24$.

4)Упростим выражение $16x(4x^2 - 5) + 17 - (4x + 1)(16x^2 - 4x + 1)$.
Произведение $(4x + 1)(16x^2 - 4x + 1)$ является формулой суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$. Здесь $a=4x$ и $b=1$, поэтому выражение равно $(4x)^3 + 1^3 = 64x^3 + 1$.
Раскроем скобки в первом слагаемом: $16x(4x^2 - 5) = 64x^3 - 80x$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$(64x^3 - 80x) + 17 - (64x^3 + 1)$
Раскроем скобки:
$64x^3 - 80x + 17 - 64x^3 - 1$
Приведем подобные слагаемые:
$(64x^3 - 64x^3) - 80x + (17 - 1) = 0 - 80x + 16 = -80x + 16$.
Ответ: $-80x + 16$.