Номер 34.14, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.14. 1) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - x(x - 3)(x + 3) - 42;$

2) $(x - 3)(x^2 + 3x + 9) - x(x^2 - 16) + 21;$

3) $(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) - 23 - 4x(2x^2 + 3);$

4) $16x(4x^2 - 5) + 17 - (4x + 1)(16x^2 - 4x + 1).$

1)Упростим выражение $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - x(x - 3)(x + 3) - 42$.
Первое произведение $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ является формулой суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$. В нашем случае $a=x$ и $b=2$, поэтому выражение равно $x^3 + 2^3 = x^3 + 8$.
Произведение $(x - 3)(x + 3)$ является формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Здесь $a=x$ и $b=3$, так что получаем $x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.
Подставим эти результаты в исходное выражение:
$(x^3 + 8) - x(x^2 - 9) - 42$
Теперь раскроем скобки:
$x^3 + 8 - x \cdot x^2 - x \cdot (-9) - 42 = x^3 + 8 - x^3 + 9x - 42$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^3 - x^3) + 9x + (8 - 42) = 0 + 9x - 34 = 9x - 34$.
Ответ: $9x - 34$.

2)Упростим выражение $(x - 3)(x^2 + 3x + 9) - x(x^2 - 16) + 21$.
Первое произведение $(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$ является формулой разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$. В данном случае $a=x$ и $b=3$, поэтому выражение равно $x^3 - 3^3 = x^3 - 27$.
Подставим это в исходное выражение и раскроем скобки во втором слагаемом:
$(x^3 - 27) - x \cdot x^2 - x \cdot (-16) + 21 = x^3 - 27 - x^3 + 16x + 21$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^3 - x^3) + 16x + (-27 + 21) = 0 + 16x - 6 = 16x - 6$.
Ответ: $16x - 6$.

3)Упростим выражение $(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) - 23 - 4x(2x^2 + 3)$.
Первое произведение $(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$ является формулой разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$. Здесь $a=2x$ и $b=1$, поэтому выражение равно $(2x)^3 - 1^3 = 8x^3 - 1$.
Раскроем скобки в последнем слагаемом: $-4x(2x^2 + 3) = -8x^3 - 12x$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$(8x^3 - 1) - 23 - 8x^3 - 12x$
Приведем подобные слагаемые:
$(8x^3 - 8x^3) - 12x + (-1 - 23) = 0 - 12x - 24 = -12x - 24$.
Ответ: $-12x - 24$.

4)Упростим выражение $16x(4x^2 - 5) + 17 - (4x + 1)(16x^2 - 4x + 1)$.
Произведение $(4x + 1)(16x^2 - 4x + 1)$ является формулой суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$. Здесь $a=4x$ и $b=1$, поэтому выражение равно $(4x)^3 + 1^3 = 64x^3 + 1$.
Раскроем скобки в первом слагаемом: $16x(4x^2 - 5) = 64x^3 - 80x$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$(64x^3 - 80x) + 17 - (64x^3 + 1)$
Раскроем скобки:
$64x^3 - 80x + 17 - 64x^3 - 1$
Приведем подобные слагаемые:
$(64x^3 - 64x^3) - 80x + (17 - 1) = 0 - 80x + 16 = -80x + 16$.
Ответ: $-80x + 16$.