Номер 34.17, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите тождества (34.17–34.18):

34.17. 1) $(x + y)^3 - (x - y)^3 - 6y(x^2 - y^2) = 8y^3;$

2) $(m + n)^3 - (m - n)^3 - 2n(m^2 + n^2) = 4m^2n;$

3) $x^3 - 4 - (x + 2)^2 + x(4 + x) = x^3 - 8.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения (куб суммы и куб разности) и распределительное свойство.

$(x + y)^3 - (x - y)^3 - 6y(x^2 - y^2) = (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) - 6yx^2 + 6y^3$.

Теперь раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус, и приведем подобные слагаемые:

$x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3 - 6x^2y + 6y^3 = $

$= (x^3 - x^3) + (3x^2y + 3x^2y - 6x^2y) + (3xy^2 - 3xy^2) + (y^3 + y^3 + 6y^3) = $

$= 0 + 0 + 0 + 8y^3 = 8y^3$.

Левая часть равна $8y^3$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества, раскрыв все скобки с помощью формул сокращенного умножения и распределительного свойства.

$(m + n)^3 - (m - n)^3 - 2n(m^2 + n^2) = (m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3) - (m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3) - 2nm^2 - 2n^3 = $

$= m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3 - m^3 + 3m^2n - 3mn^2 + n^3 - 2m^2n - 2n^3$.

Сгруппируем и упростим подобные члены:

$(m^3 - m^3) + (3m^2n + 3m^2n - 2m^2n) + (3mn^2 - 3mn^2) + (n^3 + n^3 - 2n^3) = $

$= 0 + (6m^2n - 2m^2n) + 0 + (2n^3 - 2n^3) = 4m^2n$.

Левая часть равна $4m^2n$, что равно правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Упростим левую часть тождества, используя формулу квадрата суммы и распределительное свойство.

$x^3 - 4 - (x + 2)^2 + x(4 + x) = x^3 - 4 - (x^2 + 4x + 4) + 4x + x^2$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^3 - 4 - x^2 - 4x - 4 + 4x + x^2 = x^3 + (-x^2 + x^2) + (-4x + 4x) + (-4 - 4) = x^3 - 8$.

В результате преобразований левая часть стала равна $x^3 - 8$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.