Номер 35.4, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.4. 1) $(2 + a^4)(a^8 - 2a^4 + 4) + a^{10} (1 - a^2);$

2) $k^5(k + 1) - (3 + k^2)(k^4 - 3k^2 + 9);$

3) $(25 - 5y^4 + y^8)(5 + y^4) - y^6(y^6 - 1);$

4) $(z^6 + 7z^3 + 49)(z^3 - 7) + z(1 - z^8).$

1) Упростим выражение $(2 + a^4)(a^8 - 2a^4 + 4) + a^{10}(1 - a^2)$.
Первая часть выражения, $(2 + a^4)(a^8 - 2a^4 + 4)$, является произведением, которое соответствует формуле суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$.
В данном случае, если взять $x=a^4$ и $y=2$, то выражение принимает вид $(a^4+2)((a^4)^2 - a^4 \cdot 2 + 2^2)$.
Применяя формулу, получаем: $(a^4)^3 + 2^3 = a^{12} + 8$.
Вторая часть выражения, $a^{10}(1 - a^2)$, после раскрытия скобок становится $a^{10} - a^{10} \cdot a^2 = a^{10} - a^{12}$.
Теперь сложим полученные результаты: $(a^{12} + 8) + (a^{10} - a^{12}) = a^{12} + 8 + a^{10} - a^{12} = a^{10} + 8$.
Ответ: $a^{10} + 8$.

2) Упростим выражение $k^5(k + 1) - (3 + k^2)(k^4 - 3k^2 + 9)$.
Сначала раскроем скобки в первом слагаемом: $k^5(k + 1) = k^6 + k^5$.
Вторая часть выражения, $(3 + k^2)(k^4 - 3k^2 + 9)$, является формулой суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$.
Здесь $x=3$ и $y=k^2$, и выражение выглядит как $(3+k^2)(3^2 - 3 \cdot k^2 + (k^2)^2)$.
Применяя формулу, получаем: $3^3 + (k^2)^3 = 27 + k^6$.
Теперь объединим обе части: $(k^6 + k^5) - (27 + k^6) = k^6 + k^5 - 27 - k^6 = k^5 - 27$.
Ответ: $k^5 - 27$.

3) Упростим выражение $(25 - 5y^4 + y^8)(5 + y^4) - y^6(y^6 - 1)$.
Первая часть выражения, $(25 - 5y^4 + y^8)(5 + y^4)$, после перестановки множителей и слагаемых $(y^4 + 5)(y^8 - 5y^4 + 25)$, соответствует формуле суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$.
Здесь $x=y^4$ и $y=5$.
Применение формулы дает: $(y^4)^3 + 5^3 = y^{12} + 125$.
Вторая часть, $-y^6(y^6 - 1)$, после раскрытия скобок равна $-y^{12} + y^6$.
Сложим результаты: $(y^{12} + 125) + (-y^{12} + y^6) = y^{12} + 125 - y^{12} + y^6 = y^6 + 125$.
Ответ: $y^6 + 125$.

4) Упростим выражение $(z^6 + 7z^3 + 49)(z^3 - 7) + z(1 - z^8)$.
Первая часть выражения, $(z^6 + 7z^3 + 49)(z^3 - 7)$, после перестановки множителей $(z^3 - 7)(z^6 + 7z^3 + 49)$, соответствует формуле разности кубов: $(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3$.
Здесь $x=z^3$ и $y=7$.
Применение формулы дает: $(z^3)^3 - 7^3 = z^9 - 343$.
Вторая часть, $z(1 - z^8)$, после раскрытия скобок равна $z - z^9$.
Сложим результаты: $(z^9 - 343) + (z - z^9) = z^9 - 343 + z - z^9 = z - 343$.
Ответ: $z - 343$.