Номер 34.18, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.18.

1) $(a^2 - 3)^3 - (a^2 - 4)(a^2 + 4) - a^2(a^4 - 10a^2 + 27) + 27 = 16;$

2) $(b^2 + 3)^3 - (b^2 + 3)(b^4 - 3b^2 + 9) - 9b^2(b^2 + 3) = 0;$

3) $(m^2 - 1)(m^4 + m^2 + 1) - (m^2 - 1)^3 + 3(m^2 - 1) = 3m^4 - 3.$

1) Чтобы доказать тождество, мы преобразуем его левую часть и покажем, что она равна правой. Для этого будем использовать формулы сокращенного умножения: куб разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ и разность квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
Раскроем скобки в каждом слагаемом по очереди:
Первое слагаемое: $(a^2 - 3)^3 = (a^2)^3 - 3 \cdot (a^2)^2 \cdot 3 + 3 \cdot a^2 \cdot 3^2 - 3^3 = a^6 - 9a^4 + 27a^2 - 27$.
Второе слагаемое: $-(a^2 - 4)(a^2 + 4) = -((a^2)^2 - 4^2) = -(a^4 - 16) = -a^4 + 16$.
Третье слагаемое: $-a^2(a^4 - 10a^2 + 27) = -a^6 + 10a^4 - 27a^2$.
Теперь сложим все полученные выражения и добавим оставшееся слагаемое $+27$ к левой части:
$a^6 - 9a^4 + 27a^2 - 27 - a^4 + 16 - a^6 + 10a^4 - 27a^2 + 27$
Сгруппируем и приведем подобные члены:
$(a^6 - a^6) + (-9a^4 - a^4 + 10a^4) + (27a^2 - 27a^2) + (-27 + 16 + 27) = 0 + 0 + 0 + 16 = 16$.
Левая часть равна 16, что соответствует правой части равенства. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество, упростив его левую часть. Вынесем общий множитель $(b^2+3)$ за скобки:
$(b^2+3) \cdot \left[ (b^2+3)^2 - (b^4 - 3b^2 + 9) - 9b^2 \right]$
Теперь упростим выражение в квадратных скобках. Раскроем квадрат суммы $(b^2+3)^2$ по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:
$(b^2+3)^2 = (b^2)^2 + 2 \cdot b^2 \cdot 3 + 3^2 = b^4 + 6b^2 + 9$.
Подставим результат обратно в квадратные скобки и раскроем остальные скобки:
$b^4 + 6b^2 + 9 - (b^4 - 3b^2 + 9) - 9b^2 = b^4 + 6b^2 + 9 - b^4 + 3b^2 - 9 - 9b^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(b^4 - b^4) + (6b^2 + 3b^2 - 9b^2) + (9 - 9) = 0 + 0 + 0 = 0$.
Так как выражение в квадратных скобках равно нулю, то и вся левая часть равна нулю:
$(b^2+3) \cdot 0 = 0$.
Левая часть равна 0, что соответствует правой части равенства. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество, упростив его левую часть. Первое слагаемое $(m^2 - 1)(m^4 + m^2 + 1)$ является формулой разности кубов $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$, где $x=m^2$ и $y=1$.
$(m^2 - 1)(m^4 + m^2 + 1) = (m^2)^3 - 1^3 = m^6 - 1$.
Теперь преобразуем второе слагаемое, используя формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$:
$-(m^2 - 1)^3 = -((m^2)^3 - 3(m^2)^2 \cdot 1 + 3m^2 \cdot 1^2 - 1^3) = -(m^6 - 3m^4 + 3m^2 - 1) = -m^6 + 3m^4 - 3m^2 + 1$.
Раскроем скобки в третьем слагаемом:
$3(m^2 - 1) = 3m^2 - 3$.
Теперь сложим все преобразованные части:
$(m^6 - 1) + (-m^6 + 3m^4 - 3m^2 + 1) + (3m^2 - 3) = m^6 - 1 - m^6 + 3m^4 - 3m^2 + 1 + 3m^2 - 3$
Сгруппируем и приведем подобные члены:
$(m^6 - m^6) + 3m^4 + (-3m^2 + 3m^2) + (-1 + 1 - 3) = 0 + 3m^4 + 0 - 3 = 3m^4 - 3$.
Левая часть равна $3m^4 - 3$, что соответствует правой части равенства. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.