Номер 34.11, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.11. Запишите в виде многочлена произведение:

1) $(x + \frac{1}{3})(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}x + x^2)$;

2) $(n - \frac{1}{2})(n^2 + \frac{1}{2}n + \frac{1}{4})$;

3) $(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{6}ab + \frac{1}{9}b^2)$;

4) $(\frac{1}{4}y^2 - yz + 4z^2)(\frac{1}{2}y + 2z)$

1) Чтобы записать произведение $(x + \frac{1}{3})(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}x + x^2)$ в виде многочлена, воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Для удобства приведения к формуле, переставим слагаемые во второй скобке: $(x + \frac{1}{3})(x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{9})$.

В нашем выражении $a = x$ и $b = \frac{1}{3}$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка части формулы $(a^2 - ab + b^2)$:

$a^2 = x^2$

$ab = x \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}x$

$b^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

Вторая скобка $(x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{9})$ полностью соответствует выражению $(a^2 - ab + b^2)$.

Следовательно, исходное произведение равно сумме кубов $a^3 + b^3$.

$(x + \frac{1}{3})(x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}) = x^3 + (\frac{1}{3})^3 = x^3 + \frac{1}{27}$.

Ответ: $x^3 + \frac{1}{27}$

2) Для того чтобы записать произведение $(n - \frac{1}{2})(n^2 + \frac{1}{2}n + \frac{1}{4})$ в виде многочлена, используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В данном случае $a = n$ и $b = \frac{1}{2}$.

Проверим соответствие второй скобки части формулы $(a^2 + ab + b^2)$:

$a^2 = n^2$

$ab = n \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}n$

$b^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Вторая скобка $(n^2 + \frac{1}{2}n + \frac{1}{4})$ полностью соответствует выражению $(a^2 + ab + b^2)$.

Таким образом, исходное произведение равно разности кубов $a^3 - b^3$.

$(n - \frac{1}{2})(n^2 + \frac{1}{2}n + \frac{1}{4}) = n^3 - (\frac{1}{2})^3 = n^3 - \frac{1}{8}$.

Ответ: $n^3 - \frac{1}{8}$

3) Чтобы записать произведение $(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{6}ab + \frac{1}{9}b^2)$ в виде многочлена, применим формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.

В этом выражении $A = \frac{1}{2}a$ и $B = \frac{1}{3}b$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка части формулы $(A^2 - AB + B^2)$:

$A^2 = (\frac{1}{2}a)^2 = \frac{1}{4}a^2$

$AB = (\frac{1}{2}a)(\frac{1}{3}b) = \frac{1}{6}ab$

$B^2 = (\frac{1}{3}b)^2 = \frac{1}{9}b^2$

Вторая скобка $(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{6}ab + \frac{1}{9}b^2)$ полностью соответствует выражению $(A^2 - AB + B^2)$.

Следовательно, произведение равно сумме кубов $A^3 + B^3$.

$(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{6}ab + \frac{1}{9}b^2) = (\frac{1}{2}a)^3 + (\frac{1}{3}b)^3 = \frac{1}{8}a^3 + \frac{1}{27}b^3$.

Ответ: $\frac{1}{8}a^3 + \frac{1}{27}b^3$

4) Для того чтобы записать произведение $(\frac{1}{4}y^2 - yz + 4z^2)(\frac{1}{2}y + 2z)$ в виде многочлена, поменяем множители местами для соответствия стандартному виду формулы: $(\frac{1}{2}y + 2z)(\frac{1}{4}y^2 - yz + 4z^2)$.

Теперь применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В нашем случае $a = \frac{1}{2}y$ и $b = 2z$.

Проверим соответствие второй скобки части формулы $(a^2 - ab + b^2)$:

$a^2 = (\frac{1}{2}y)^2 = \frac{1}{4}y^2$

$ab = (\frac{1}{2}y)(2z) = yz$

$b^2 = (2z)^2 = 4z^2$

Вторая скобка $(\frac{1}{4}y^2 - yz + 4z^2)$ полностью соответствует выражению $(a^2 - ab + b^2)$.

Следовательно, произведение равно сумме кубов $a^3 + b^3$.

$(\frac{1}{2}y + 2z)(\frac{1}{4}y^2 - yz + 4z^2) = (\frac{1}{2}y)^3 + (2z)^3 = \frac{1}{8}y^3 + 8z^3$.

Ответ: $\frac{1}{8}y^3 + 8z^3$