Номер 34.6, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.6.

1) $(a-1)(a^2+a+1)-a^2(a-8);$

2) $(b+2)(b^2-2b+4)-b(b^2-1);$

3) $2a^3+7(x^2-x+1)(x+1);$

4) $y^3-(y-3)(y^2+3y+9).$

1) $(a - 1)(a^2 + a + 1) - a^2(a - 8)$
Для упрощения этого выражения мы применим формулу сокращенного умножения для разности кубов к первому произведению и распределительный закон ко второму.
Первая часть выражения, $(a - 1)(a^2 + a + 1)$, является формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$. В нашем случае $x=a$ и $y=1$.
$(a - 1)(a^2 + a \cdot 1 + 1^2) = a^3 - 1^3 = a^3 - 1$.
Вторая часть выражения — это $-a^2(a - 8)$. Раскроем скобки:
$-a^2 \cdot a - a^2 \cdot (-8) = -a^3 + 8a^2$.
Теперь объединим обе части:
$(a^3 - 1) + (-a^3 + 8a^2) = a^3 - 1 - a^3 + 8a^2$.
Приведем подобные слагаемые, сокращая $a^3$ и $-a^3$:
$8a^2 - 1$.
Ответ: $8a^2 - 1$

2) $(b + 2)(b^2 - 2b + 4) - b(b^2 - 1)$
Для упрощения воспользуемся формулой суммы кубов и распределительным законом.
Первая часть, $(b + 2)(b^2 - 2b + 4)$, соответствует формуле суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$. Здесь $x=b$ и $y=2$.
$(b + 2)(b^2 - b \cdot 2 + 2^2) = b^3 + 2^3 = b^3 + 8$.
Вторая часть — это $-b(b^2 - 1)$. Раскроем скобки:
$-b \cdot b^2 - b \cdot (-1) = -b^3 + b$.
Объединим результаты:
$(b^3 + 8) + (-b^3 + b) = b^3 + 8 - b^3 + b$.
Приведем подобные слагаемые, сокращая $b^3$ и $-b^3$:
$b + 8$.
Ответ: $b + 8$

3) $2a^3 + 7(x^2 - x + 1)(x + 1)$
Упростим второе слагаемое в выражении. Заметим, что произведение $(x^2 - x + 1)(x + 1)$ является формулой суммы кубов.
Для наглядности переставим множители: $(x + 1)(x^2 - x + 1)$. Это формула $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $y=1$.
$(x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1$.
Подставим это обратно в исходное выражение:
$2a^3 + 7(x^3 + 1)$.
Теперь раскроем скобки, умножив 7 на каждый член внутри них:
$2a^3 + 7 \cdot x^3 + 7 \cdot 1 = 2a^3 + 7x^3 + 7$.
Так как в выражении содержатся разные переменные ($a$ и $x$), дальнейшее упрощение путем приведения подобных слагаемых невозможно.
Ответ: $2a^3 + 7x^3 + 7$

4) $y^3 - (y - 3)(y^2 + 3y + 9)$
Для упрощения этого выражения мы распознаем формулу разности кубов в вычитаемом.
Выражение $(y - 3)(y^2 + 3y + 9)$ является формулой разности кубов $x^3 - z^3 = (x - z)(x^2 + xz + z^2)$, где $x=y$ и $z=3$.
$(y - 3)(y^2 + y \cdot 3 + 3^2) = y^3 - 3^3 = y^3 - 27$.
Подставим полученный результат в исходное выражение:
$y^3 - (y^3 - 27)$.
Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:
$y^3 - y^3 + 27$.
Приведем подобные слагаемые:
$(y^3 - y^3) + 27 = 27$.
Ответ: $27$