Страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Чем отличается формула суммы (разности) кубов двух выражений от формулы куба их суммы (разности)?

2. Почему при чтении формулы суммы кубов употребляется словосочетание “неполный квадрат разности двух выражений”?

1. Основное отличие между формулой суммы (разности) кубов и формулой куба суммы (разности) заключается в порядке математических операций, что приводит к совершенно разным выражениям и результатам.

Сумма кубов ($a^3 + b^3$) и разность кубов ($a^3 - b^3$)
Здесь сначала каждое из двух выражений ($a$ и $b$) возводится в третью степень (в куб), и только после этого результаты складываются или вычитаются. Эти формулы используются для разложения выражения на множители:
Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Куб суммы ($(a+b)^3$) и куб разности ($(a-b)^3$)
Здесь сначала находится сумма или разность двух выражений ($a$ и $b$), и уже затем полученный результат возводится в третью степень. Эти формулы используются для раскрытия скобок и представления выражения в виде многочлена:
Формула куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Формула куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Таким образом, ключевые отличия:
1. Порядок действий: В "сумме кубов" сначала возведение в степень, потом сложение. В "кубе суммы" — сначала сложение, потом возведение в степень.
2. Структура и назначение: Формулы суммы/разности кубов — это формулы разложения на множители. Формулы куба суммы/разности — это формулы раскрытия скобок.
3. Конечный результат: Результаты этих операций не равны. Например, $(a+b)^3$ и $a^3+b^3$ отличаются на $3a^2b + 3ab^2$.

Ответ: Формула суммы (разности) кубов — это формула для разложения выражения вида $a^3 \pm b^3$ на множители, в то время как формула куба суммы (разности) — это формула для возведения в степень выражения $(a \pm b)^3$ и его представления в виде многочлена. Это разные математические операции с разными результатами.

2. Словосочетание "неполный квадрат разности" используется для описания одного из множителей в формуле разложения суммы кубов на множители.

Давайте рассмотрим формулу суммы кубов:
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

Обратим внимание на второй множитель в правой части: $a^2 - ab + b^2$.

Теперь вспомним, как выглядит формула (полного) квадрата разности двух выражений:
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Сравнивая выражение $a^2 - ab + b^2$ с полным квадратом разности $a^2 - 2ab + b^2$, можно заметить их сильное сходство. Единственное отличие — это коэффициент у среднего члена. В полном квадрате разности стоит удвоенное произведение выражений ($-2ab$), а в выражении из формулы суммы кубов — просто их произведение ($-ab$).

Именно из-за этого отсутствия двойки в среднем члене выражение $a^2 - ab + b^2$ и получило название "неполный квадрат разности".

К слову, по аналогии, в формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ множитель $a^2 + ab + b^2$ называется "неполным квадратом суммы", так как он похож на полный квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, но также без двойки в среднем члене.

Ответ: Выражение $a^2 - ab + b^2$ из формулы суммы кубов называют "неполным квадратом разности", потому что оно отличается от формулы полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ отсутствием множителя 2 в среднем члене (вместо удвоенного произведения используется простое произведение).

Разложите на множители (34.1–34.3):

34.1. 1) $a^3 + x^3$;

2) $y^3 - b^3$;

3) $t^3 - n^3$;

4) $m^3 + k^3$;

5) $z^3 - 8$;

6) $64 + s^3$;

7) $125 - x^3$;

8) $1000 + y^3$.

1) Для разложения выражения $a^3+x^3$ на множители используется формула сокращенного умножения для суммы кубов: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$. Применим эту формулу, где в качестве $x$ выступает $a$, а в качестве $y$ выступает $x$:
$a^3+x^3 = (a+x)(a^2-ax+x^2)$.
Ответ: $(a+x)(a^2-ax+x^2)$.

2) Для разложения выражения $y^3-b^3$ на множители используется формула сокращенного умножения для разности кубов: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$. Применим эту формулу, где в качестве $x$ выступает $y$, а в качестве $y$ выступает $b$:
$y^3-b^3 = (y-b)(y^2+yb+b^2)$.
Ответ: $(y-b)(y^2+yb+b^2)$.

3) Для разложения выражения $t^3-n^3$ на множители используется формула разности кубов: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$. Применим эту формулу, где в качестве $x$ выступает $t$, а в качестве $y$ выступает $n$:
$t^3-n^3 = (t-n)(t^2+tn+n^2)$.
Ответ: $(t-n)(t^2+tn+n^2)$.

4) Для разложения выражения $m^3+k^3$ на множители используется формула суммы кубов: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$. Применим эту формулу, где в качестве $x$ выступает $m$, а в качестве $y$ выступает $k$:
$m^3+k^3 = (m+k)(m^2-mk+k^2)$.
Ответ: $(m+k)(m^2-mk+k^2)$.

5) Чтобы разложить выражение $z^3-8$ на множители, представим 8 как куб числа 2: $8=2^3$. Выражение примет вид $z^3-2^3$. Теперь применим формулу разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x=z$ и $y=2$:
$z^3-2^3 = (z-2)(z^2+z \cdot 2+2^2) = (z-2)(z^2+2z+4)$.
Ответ: $(z-2)(z^2+2z+4)$.

6) Чтобы разложить выражение $64+s^3$ на множители, представим 64 как куб числа 4: $64=4^3$. Выражение примет вид $4^3+s^3$. Теперь применим формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, где $x=4$ и $y=s$:
$4^3+s^3 = (4+s)(4^2-4 \cdot s+s^2) = (4+s)(16-4s+s^2)$.
Ответ: $(4+s)(16-4s+s^2)$.

7) Чтобы разложить выражение $125-x^3$ на множители, представим 125 как куб числа 5: $125=5^3$. Выражение примет вид $5^3-x^3$. Теперь применим формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=5$ и $b=x$:
$5^3-x^3 = (5-x)(5^2+5 \cdot x+x^2) = (5-x)(25+5x+x^2)$.
Ответ: $(5-x)(25+5x+x^2)$.

8) Чтобы разложить выражение $1000+y^3$ на множители, представим 1000 как куб числа 10: $1000=10^3$. Выражение примет вид $10^3+y^3$. Теперь применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a=10$ и $b=y$:
$10^3+y^3 = (10+y)(10^2-10 \cdot y+y^2) = (10+y)(100-10y+y^2)$.
Ответ: $(10+y)(100-10y+y^2)$.

34.2.

1) $27 - a^3$;

2) $b^3 + 125$;

3) $64 - m^3$;

4) $8 + q^3$;

5) $0,008 + a^3$;

6) $0,216 - b^3$;

7) $0,027 + n^3$;

8) $0,125 - m^3$.

1) Данное выражение является разностью кубов. Для его разложения на множители воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
В нашем случае $x^3 = 27$, следовательно $x = \sqrt[3]{27} = 3$, а $y^3 = a^3$, следовательно $y = a$.
Подставим эти значения в формулу:
$27 - a^3 = 3^3 - a^3 = (3 - a)(3^2 + 3 \cdot a + a^2) = (3 - a)(9 + 3a + a^2)$.
Ответ: $(3 - a)(9 + 3a + a^2)$.

2) Это выражение представляет собой сумму кубов. Применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Здесь $x^3 = b^3$, значит $x = b$, а $y^3 = 125$, значит $y = \sqrt[3]{125} = 5$.
Подставим значения в формулу:
$b^3 + 125 = b^3 + 5^3 = (b + 5)(b^2 - b \cdot 5 + 5^2) = (b + 5)(b^2 - 5b + 25)$.
Ответ: $(b + 5)(b^2 - 5b + 25)$.

3) Данное выражение является разностью кубов. Используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
В этом случае $x^3 = 64$, поэтому $x = \sqrt[3]{64} = 4$, и $y^3 = m^3$, поэтому $y = m$.
Применяем формулу:
$64 - m^3 = 4^3 - m^3 = (4 - m)(4^2 + 4m + m^2) = (4 - m)(16 + 4m + m^2)$.
Ответ: $(4 - m)(16 + 4m + m^2)$.

4) Это выражение — сумма кубов. Раскладываем по формуле $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Здесь $x^3 = 8$, откуда $x = \sqrt[3]{8} = 2$, и $y^3 = q^3$, откуда $y = q$.
Подставляем в формулу:
$8 + q^3 = 2^3 + q^3 = (2 + q)(2^2 - 2q + q^2) = (2 + q)(4 - 2q + q^2)$.
Ответ: $(2 + q)(4 - 2q + q^2)$.

5) Данное выражение является суммой кубов. Воспользуемся формулой $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
В нашем случае $x^3 = 0,008$, следовательно $x = \sqrt[3]{0,008} = 0,2$, а $y^3 = a^3$, следовательно $y = a$.
Подставляем значения:
$0,008 + a^3 = (0,2)^3 + a^3 = (0,2 + a)((0,2)^2 - 0,2 \cdot a + a^2) = (0,2 + a)(0,04 - 0,2a + a^2)$.
Ответ: $(0,2 + a)(0,04 - 0,2a + a^2)$.

6) Это выражение — разность кубов. Применим формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Здесь $x^3 = 0,216$, откуда $x = \sqrt[3]{0,216} = 0,6$, и $y^3 = b^3$, откуда $y = b$.
Подставляем в формулу:
$0,216 - b^3 = (0,6)^3 - b^3 = (0,6 - b)((0,6)^2 + 0,6 \cdot b + b^2) = (0,6 - b)(0,36 + 0,6b + b^2)$.
Ответ: $(0,6 - b)(0,36 + 0,6b + b^2)$.

7) Данное выражение является суммой кубов. Используем формулу $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
В данном случае $x^3 = 0,027$, то есть $x = \sqrt[3]{0,027} = 0,3$, и $y^3 = n^3$, то есть $y = n$.
Подставляем в формулу:
$0,027 + n^3 = (0,3)^3 + n^3 = (0,3 + n)((0,3)^2 - 0,3 \cdot n + n^2) = (0,3 + n)(0,09 - 0,3n + n^2)$.
Ответ: $(0,3 + n)(0,09 - 0,3n + n^2)$.

8) Это выражение — разность кубов. Воспользуемся формулой $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Здесь $x^3 = 0,125$, значит $x = \sqrt[3]{0,125} = 0,5$, и $y^3 = m^3$, значит $y = m$.
Подставляем значения в формулу:
$0,125 - m^3 = (0,5)^3 - m^3 = (0,5 - m)((0,5)^2 + 0,5 \cdot m + m^2) = (0,5 - m)(0,25 + 0,5m + m^2)$.
Ответ: $(0,5 - m)(0,25 + 0,5m + m^2)$.

34.3. 1) $\frac{1}{8} - b^3;$

2) $\frac{1}{27} + c^3;$

3) $\frac{1}{64} - d^3;$

4) $\frac{1}{125} + t^3;$

5) $\frac{8}{27} + z^3;$

6) $y^3 - \frac{27}{64};$

7) $k^3 + \frac{27}{125};$

8) $\frac{1}{216} - z^3.$

1) Данное выражение является разностью кубов. Для его разложения на множители используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Сначала представим каждый член выражения в виде куба:
$\frac{1}{8} - b^3 = (\frac{1}{2})^3 - b^3$
Теперь применим формулу, где $a = \frac{1}{2}$ и $b = b$:
$(\frac{1}{2})^3 - b^3 = (\frac{1}{2} - b)((\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} \cdot b + b^2) = (\frac{1}{2} - b)(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}b + b^2)$.
Ответ: $(\frac{1}{2} - b)(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}b + b^2)$.

2) Данное выражение является суммой кубов. Для его разложения на множители используется формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Сначала представим каждый член выражения в виде куба:
$\frac{1}{27} + c^3 = (\frac{1}{3})^3 + c^3$
Теперь применим формулу, где $a = \frac{1}{3}$ и $b = c$:
$(\frac{1}{3})^3 + c^3 = (\frac{1}{3} + c)((\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} \cdot c + c^2) = (\frac{1}{3} + c)(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}c + c^2)$.
Ответ: $(\frac{1}{3} + c)(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}c + c^2)$.

3) Данное выражение является разностью кубов. Для его разложения на множители используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Сначала представим каждый член выражения в виде куба:
$\frac{1}{64} - d^3 = (\frac{1}{4})^3 - d^3$
Теперь применим формулу, где $a = \frac{1}{4}$ и $b = d$:
$(\frac{1}{4})^3 - d^3 = (\frac{1}{4} - d)((\frac{1}{4})^2 + \frac{1}{4} \cdot d + d^2) = (\frac{1}{4} - d)(\frac{1}{16} + \frac{1}{4}d + d^2)$.
Ответ: $(\frac{1}{4} - d)(\frac{1}{16} + \frac{1}{4}d + d^2)$.

4) Данное выражение является суммой кубов. Для его разложения на множители используется формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Сначала представим каждый член выражения в виде куба:
$\frac{1}{125} + t^3 = (\frac{1}{5})^3 + t^3$
Теперь применим формулу, где $a = \frac{1}{5}$ и $b = t$:
$(\frac{1}{5})^3 + t^3 = (\frac{1}{5} + t)((\frac{1}{5})^2 - \frac{1}{5} \cdot t + t^2) = (\frac{1}{5} + t)(\frac{1}{25} - \frac{1}{5}t + t^2)$.
Ответ: $(\frac{1}{5} + t)(\frac{1}{25} - \frac{1}{5}t + t^2)$.

5) Данное выражение является суммой кубов. Для его разложения на множители используется формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Сначала представим каждый член выражения в виде куба:
$\frac{8}{27} + z^3 = (\frac{2}{3})^3 + z^3$
Теперь применим формулу, где $a = \frac{2}{3}$ и $b = z$:
$(\frac{2}{3})^3 + z^3 = (\frac{2}{3} + z)((\frac{2}{3})^2 - \frac{2}{3} \cdot z + z^2) = (\frac{2}{3} + z)(\frac{4}{9} - \frac{2}{3}z + z^2)$.
Ответ: $(\frac{2}{3} + z)(\frac{4}{9} - \frac{2}{3}z + z^2)$.

6) Данное выражение является разностью кубов. Для его разложения на множители используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Сначала представим каждый член выражения в виде куба:
$y^3 - \frac{27}{64} = y^3 - (\frac{3}{4})^3$
Теперь применим формулу, где $a = y$ и $b = \frac{3}{4}$:
$y^3 - (\frac{3}{4})^3 = (y - \frac{3}{4})(y^2 + y \cdot \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^2) = (y - \frac{3}{4})(y^2 + \frac{3}{4}y + \frac{9}{16})$.
Ответ: $(y - \frac{3}{4})(y^2 + \frac{3}{4}y + \frac{9}{16})$.

7) Данное выражение является суммой кубов. Для его разложения на множители используется формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Сначала представим каждый член выражения в виде куба:
$k^3 + \frac{27}{125} = k^3 + (\frac{3}{5})^3$
Теперь применим формулу, где $a = k$ и $b = \frac{3}{5}$:
$k^3 + (\frac{3}{5})^3 = (k + \frac{3}{5})(k^2 - k \cdot \frac{3}{5} + (\frac{3}{5})^2) = (k + \frac{3}{5})(k^2 - \frac{3}{5}k + \frac{9}{25})$.
Ответ: $(k + \frac{3}{5})(k^2 - \frac{3}{5}k + \frac{9}{25})$.

8) Данное выражение является разностью кубов. Для его разложения на множители используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Сначала представим каждый член выражения в виде куба ($6^3 = 216$):
$\frac{1}{216} - z^3 = (\frac{1}{6})^3 - z^3$
Теперь применим формулу, где $a = \frac{1}{6}$ и $b = z$:
$(\frac{1}{6})^3 - z^3 = (\frac{1}{6} - z)((\frac{1}{6})^2 + \frac{1}{6} \cdot z + z^2) = (\frac{1}{6} - z)(\frac{1}{36} + \frac{1}{6}z + z^2)$.
Ответ: $(\frac{1}{6} - z)(\frac{1}{36} + \frac{1}{6}z + z^2)$.

34.4. Представьте произведение в виде многочлена:

1) $(a + 2)(a^2 - 2a + 4)$;

2) $(1 - x^2)(1 + x^2 + x^4)$;

3) $(k - 5)(k^2 + 5k + 25)$;

4) $(3 + m)(9 - 3m + m^2)$;

5) $(1 + a^3)(1 - a^3 + a^6)$;

6) $(4 - n^2)(16 + 4n^2 + n^4)$;

7) $(25 - 5y^2 + y^4)(5 + y^2)$;

8) $(64 + 8z^3 + z^6)(8 - z^3)$.

1) Данное выражение является произведением суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Для его упрощения воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.В данном примере $a$ соответствует переменной $a$, а $b$ соответствует числу $2$. Проверим, соответствует ли второй множитель $(a^2 - 2a + 4)$ части формулы $(a^2 - ab + b^2)$:$a^2 \rightarrow a^2$$ab \rightarrow a \cdot 2 = 2a$$b^2 \rightarrow 2^2 = 4$Второй множитель полностью соответствует формуле.Следовательно, произведение равно сумме кубов $a$ и $2$:$(a+2)(a^2 - 2a + 4) = a^3 + 2^3 = a^3 + 8$.Ответ: $a^3 + 8$.

2) Это выражение является произведением разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Для его упрощения используем формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$.В этом случае $A=1$ и $B=x^2$. Проверим второй множитель $(1 + x^2 + x^4)$ на соответствие части формулы $(A^2 + AB + B^2)$:$A^2 \rightarrow 1^2 = 1$$AB \rightarrow 1 \cdot x^2 = x^2$$B^2 \rightarrow (x^2)^2 = x^4$Второй множитель полностью соответствует формуле.Таким образом, произведение равно разности кубов $1$ и $x^2$:$(1 - x^2)(1 + x^2 + x^4) = 1^3 - (x^2)^3 = 1 - x^6$.Ответ: $1 - x^6$.

3) Данное выражение является произведением разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Применяем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.Здесь $a=k$ и $b=5$. Проверим второй множитель $(k^2 + 5k + 25)$ на соответствие части формулы $(a^2 + ab + b^2)$:$a^2 \rightarrow k^2$$ab \rightarrow k \cdot 5 = 5k$$b^2 \rightarrow 5^2 = 25$Второй множитель соответствует формуле.Значит, произведение равно разности кубов $k$ и $5$:$(k - 5)(k^2 + 5k + 25) = k^3 - 5^3 = k^3 - 125$.Ответ: $k^3 - 125$.

4) Это выражение соответствует формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.Для удобства представим второй множитель в стандартном виде: $(3+m)(m^2-3m+9)$.В данном случае $a=3$ и $b=m$. Проверим второй множитель $(9 - 3m + m^2)$ на соответствие части формулы $(a^2 - ab + b^2)$:$a^2 \rightarrow 3^2 = 9$$ab \rightarrow 3 \cdot m = 3m$$b^2 \rightarrow m^2$Второй множитель соответствует формуле.Следовательно, произведение равно сумме кубов $3$ и $m$:$(3 + m)(9 - 3m + m^2) = 3^3 + m^3 = 27 + m^3$.Ответ: $27 + m^3$.

5) Данное выражение является произведением суммы двух выражений на неполный квадрат их разности, что соответствует формуле суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$.Здесь $A=1$ и $B=a^3$. Проверим второй множитель $(1 - a^3 + a^6)$ на соответствие части формулы $(A^2 - AB + B^2)$:$A^2 \rightarrow 1^2 = 1$$AB \rightarrow 1 \cdot a^3 = a^3$$B^2 \rightarrow (a^3)^2 = a^6$Второй множитель соответствует формуле.Таким образом, произведение равно сумме кубов $1$ и $a^3$:$(1 + a^3)(1 - a^3 + a^6) = 1^3 + (a^3)^3 = 1 + a^9$.Ответ: $1 + a^9$.

6) Это выражение является произведением разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Применяем формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$.В этом случае $A=4$ и $B=n^2$. Проверим второй множитель $(16 + 4n^2 + n^4)$ на соответствие части формулы $(A^2 + AB + B^2)$:$A^2 \rightarrow 4^2 = 16$$AB \rightarrow 4 \cdot n^2 = 4n^2$$B^2 \rightarrow (n^2)^2 = n^4$Второй множитель соответствует формуле.Значит, произведение равно разности кубов $4$ и $n^2$:$(4 - n^2)(16 + 4n^2 + n^4) = 4^3 - (n^2)^3 = 64 - n^6$.Ответ: $64 - n^6$.

7) Переставим множители для удобства: $(5 + y^2)(25 - 5y^2 + y^4)$. Это выражение соответствует формуле суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$.Здесь $A=5$ и $B=y^2$. Проверим второй множитель $(25 - 5y^2 + y^4)$ на соответствие части формулы $(A^2 - AB + B^2)$:$A^2 \rightarrow 5^2 = 25$$AB \rightarrow 5 \cdot y^2 = 5y^2$$B^2 \rightarrow (y^2)^2 = y^4$Второй множитель соответствует формуле.Следовательно, произведение равно сумме кубов $5$ и $y^2$:$(5 + y^2)(25 - 5y^2 + y^4) = 5^3 + (y^2)^3 = 125 + y^6$.Ответ: $125 + y^6$.

8) Переставим множители местами: $(8 - z^3)(64 + 8z^3 + z^6)$. Это выражение является произведением разности двух выражений на неполный квадрат их суммы и соответствует формуле разности кубов: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$.В данном случае $A=8$ и $B=z^3$. Проверим второй множитель $(64 + 8z^3 + z^6)$ на соответствие части формулы $(A^2 + AB + B^2)$:$A^2 \rightarrow 8^2 = 64$$AB \rightarrow 8 \cdot z^3 = 8z^3$$B^2 \rightarrow (z^3)^2 = z^6$Второй множитель соответствует формуле.Таким образом, произведение равно разности кубов $8$ и $z^3$:$(8 - z^3)(64 + 8z^3 + z^6) = 8^3 - (z^3)^3 = 512 - z^9$.Ответ: $512 - z^9$.

Упростите выражения (34.5–34.6):

34.5. 1) $(x-10)(x^2+10x+100)-x^3;$

2) $216-(a+6)(a^2-6a+36);$

3) $y^3+(7-y)(49-7y+y^2);$

4) $600-(8-z)(z^2+8z+64).$

1) $(x-10)(x^2 + 10x + 100) - x^3$

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

В выражении $(x-10)(x^2 + 10x + 100)$, пусть $a=x$ и $b=10$. Тогда второй множитель соответствует части формулы $a^2+ab+b^2 = x^2+x \cdot 10+10^2 = x^2+10x+100$.

Таким образом, произведение $(x-10)(x^2 + 10x + 100)$ равно $x^3 - 10^3 = x^3 - 1000$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(x^3 - 1000) - x^3 = x^3 - 1000 - x^3 = -1000$.

Ответ: $-1000$.

2) $216 - (a+6)(a^2 - 6a + 36)$

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

В выражении $(a+6)(a^2 - 6a + 36)$, переменная $a$ в формуле соответствует $a$ в задаче, а $b$ в формуле соответствует $6$. Тогда вторая скобка $a^2-ab+b^2 = a^2-a \cdot 6+6^2 = a^2-6a+36$.

Следовательно, $(a+6)(a^2 - 6a + 36) = a^3 + 6^3 = a^3 + 216$.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$216 - (a^3 + 216) = 216 - a^3 - 216 = -a^3$.

Ответ: $-a^3$.

3) $y^3 + (7-y)(49 - 7y + y^2)$

Данное выражение, скорее всего, содержит опечатку. Структура этого и других заданий предполагает использование формул суммы или разности кубов. Выражение $(7-y)(49 - 7y + y^2)$ не подходит ни под одну из этих формул. Если предположить, что в выражении $(49 - 7y + y^2)$ знак перед $7y$ должен быть плюсом, то задача решается с помощью формулы разности кубов.

Предположим, что правильное выражение выглядит так: $y^3 + (7-y)(49 + 7y + y^2)$.

Применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

Для выражения $(7-y)(49 + 7y + y^2)$, пусть $a=7$ и $b=y$. Тогда $a^2+ab+b^2 = 7^2+7y+y^2 = 49+7y+y^2$.

Таким образом, $(7-y)(49 + 7y + y^2) = 7^3 - y^3 = 343 - y^3$.

Подставим результат в исправленное выражение:

$y^3 + (343 - y^3) = y^3 + 343 - y^3 = 343$.

Ответ: $343$.

4) $600 - (8-z)(z^2 + 8z + 64)$

Для удобства перепишем выражение в скобках: $600 - (8-z)(64 + 8z + z^2)$.

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

В выражении $(8-z)(64 + 8z + z^2)$, пусть $a=8$ и $b=z$. Тогда $a^2+ab+b^2 = 8^2+8z+z^2 = 64+8z+z^2$.

Следовательно, $(8-z)(64 + 8z + z^2) = 8^3 - z^3 = 512 - z^3$.

Подставим это в исходное выражение:

$600 - (512 - z^3) = 600 - 512 + z^3 = 88 + z^3$.

Ответ: $z^3 + 88$.

34.6.

1) $(a-1)(a^2+a+1)-a^2(a-8);$

2) $(b+2)(b^2-2b+4)-b(b^2-1);$

3) $2a^3+7(x^2-x+1)(x+1);$

4) $y^3-(y-3)(y^2+3y+9).$

1) $(a - 1)(a^2 + a + 1) - a^2(a - 8)$
Для упрощения этого выражения мы применим формулу сокращенного умножения для разности кубов к первому произведению и распределительный закон ко второму.
Первая часть выражения, $(a - 1)(a^2 + a + 1)$, является формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$. В нашем случае $x=a$ и $y=1$.
$(a - 1)(a^2 + a \cdot 1 + 1^2) = a^3 - 1^3 = a^3 - 1$.
Вторая часть выражения — это $-a^2(a - 8)$. Раскроем скобки:
$-a^2 \cdot a - a^2 \cdot (-8) = -a^3 + 8a^2$.
Теперь объединим обе части:
$(a^3 - 1) + (-a^3 + 8a^2) = a^3 - 1 - a^3 + 8a^2$.
Приведем подобные слагаемые, сокращая $a^3$ и $-a^3$:
$8a^2 - 1$.
Ответ: $8a^2 - 1$

2) $(b + 2)(b^2 - 2b + 4) - b(b^2 - 1)$
Для упрощения воспользуемся формулой суммы кубов и распределительным законом.
Первая часть, $(b + 2)(b^2 - 2b + 4)$, соответствует формуле суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$. Здесь $x=b$ и $y=2$.
$(b + 2)(b^2 - b \cdot 2 + 2^2) = b^3 + 2^3 = b^3 + 8$.
Вторая часть — это $-b(b^2 - 1)$. Раскроем скобки:
$-b \cdot b^2 - b \cdot (-1) = -b^3 + b$.
Объединим результаты:
$(b^3 + 8) + (-b^3 + b) = b^3 + 8 - b^3 + b$.
Приведем подобные слагаемые, сокращая $b^3$ и $-b^3$:
$b + 8$.
Ответ: $b + 8$

3) $2a^3 + 7(x^2 - x + 1)(x + 1)$
Упростим второе слагаемое в выражении. Заметим, что произведение $(x^2 - x + 1)(x + 1)$ является формулой суммы кубов.
Для наглядности переставим множители: $(x + 1)(x^2 - x + 1)$. Это формула $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $y=1$.
$(x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1$.
Подставим это обратно в исходное выражение:
$2a^3 + 7(x^3 + 1)$.
Теперь раскроем скобки, умножив 7 на каждый член внутри них:
$2a^3 + 7 \cdot x^3 + 7 \cdot 1 = 2a^3 + 7x^3 + 7$.
Так как в выражении содержатся разные переменные ($a$ и $x$), дальнейшее упрощение путем приведения подобных слагаемых невозможно.
Ответ: $2a^3 + 7x^3 + 7$

4) $y^3 - (y - 3)(y^2 + 3y + 9)$
Для упрощения этого выражения мы распознаем формулу разности кубов в вычитаемом.
Выражение $(y - 3)(y^2 + 3y + 9)$ является формулой разности кубов $x^3 - z^3 = (x - z)(x^2 + xz + z^2)$, где $x=y$ и $z=3$.
$(y - 3)(y^2 + y \cdot 3 + 3^2) = y^3 - 3^3 = y^3 - 27$.
Подставим полученный результат в исходное выражение:
$y^3 - (y^3 - 27)$.
Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:
$y^3 - y^3 + 27$.
Приведем подобные слагаемые:
$(y^3 - y^3) + 27 = 27$.
Ответ: $27$

34.7. Решите уравнение:

1) $(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) - 8x^3 = 2.7x;$

2) $(3 + 4x)(16x^2 - 12x + 9) - 64x^3 = -10x;$

3) $(5 - 2x)(4x^2 + 10x + 25) = 2.5x - 8x^3;$

4) $(6 - 5x)(36 + 30x + 25x^2) = 108x - 125x^3.$

1) Исходное уравнение: $(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) - 8x^3 = 2,7x$.
Заметим, что выражение $(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$ соответствует формуле разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.
В данном случае $a = 2x$ и $b = 3$. Проверим: $a^2 = (2x)^2 = 4x^2$, $ab = (2x)(3) = 6x$, $b^2 = 3^2 = 9$. Все сходится.
Таким образом, $(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) = (2x)^3 - 3^3 = 8x^3 - 27$.
Подставим полученное выражение обратно в уравнение:
$8x^3 - 27 - 8x^3 = 2,7x$
Упростим уравнение, сократив $8x^3$ и $-8x^3$:
$-27 = 2,7x$
Теперь решим уравнение относительно $x$:
$x = \frac{-27}{2,7}$
$x = -10$
Ответ: $-10$.

2) Исходное уравнение: $(3 + 4x)(16x^2 - 12x + 9) - 64x^3 = -10x$.
Заметим, что выражение $(3 + 4x)(16x^2 - 12x + 9)$ соответствует формуле суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$.
В данном случае $a = 4x$ и $b = 3$. Проверим: $a^2 = (4x)^2 = 16x^2$, $ab = (4x)(3) = 12x$, $b^2 = 3^2 = 9$. Все сходится.
Таким образом, $(4x + 3)(16x^2 - 12x + 9) = (4x)^3 + 3^3 = 64x^3 + 27$.
Подставим полученное выражение обратно в уравнение:
$64x^3 + 27 - 64x^3 = -10x$
Упростим уравнение, сократив $64x^3$ и $-64x^3$:
$27 = -10x$
Теперь решим уравнение относительно $x$:
$x = \frac{27}{-10}$
$x = -2,7$
Ответ: $-2,7$.

3) Исходное уравнение: $(5 - 2x)(4x^2 + 10x + 25) = 2,5x - 8x^3$.
Выражение в левой части уравнения $(5 - 2x)(4x^2 + 10x + 25)$ является формулой разности кубов: $(a-b)(b^2+ab+a^2) = a^3 - b^3$.
В данном случае $a = 5$ и $b = 2x$. Проверим: $a^2 = 5^2 = 25$, $ab = (5)(2x) = 10x$, $b^2 = (2x)^2 = 4x^2$. Все сходится.
Таким образом, $(5 - 2x)(25 + 10x + 4x^2) = 5^3 - (2x)^3 = 125 - 8x^3$.
Подставим полученное выражение в уравнение:
$125 - 8x^3 = 2,5x - 8x^3$
Прибавим к обеим частям уравнения $8x^3$:
$125 = 2,5x$
Теперь решим уравнение относительно $x$:
$x = \frac{125}{2,5}$
$x = \frac{1250}{25}$
$x = 50$
Ответ: $50$.

4) Исходное уравнение: $(6 - 5x)(36 + 30x + 25x^2) = 108x - 125x^3$.
Выражение в левой части уравнения $(6 - 5x)(36 + 30x + 25x^2)$ является формулой разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.
В данном случае $a = 6$ и $b = 5x$. Проверим: $a^2 = 6^2 = 36$, $ab = (6)(5x) = 30x$, $b^2 = (5x)^2 = 25x^2$. Все сходится.
Таким образом, $(6 - 5x)(36 + 30x + 25x^2) = 6^3 - (5x)^3 = 216 - 125x^3$.
Подставим полученное выражение в уравнение:
$216 - 125x^3 = 108x - 125x^3$
Прибавим к обеим частям уравнения $125x^3$:
$216 = 108x$
Теперь решим уравнение относительно $x$:
$x = \frac{216}{108}$
$x = 2$
Ответ: $2$.