Страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.9.

1) $(2 + x)^3 - x^2(6 + x) = 11x + 19;$

2) $(z - 2)^3 - z^2(z - 6) = 13z - 7;$

3) $(y + 3)^3 - 2y - 30 = y^2(9 + y);$

4) $(3 - t)^3 + 3t + 21 = -t^2(t - 9).$

1) Для решения уравнения $(2 + x)^3 - x^2(6 + x) = 11x + 19$ раскроем скобки в левой части. Воспользуемся формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ и распределительным свойством умножения.
$(2+x)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^2 + x^3 = 8 + 12x + 6x^2 + x^3$.
$-x^2(6+x) = -6x^2 - x^3$.
Подставим раскрытые скобки в исходное уравнение:
$8 + 12x + 6x^2 + x^3 - 6x^2 - x^3 = 11x + 19$.
Теперь приведем подобные слагаемые в левой части:
$(x^3 - x^3) + (6x^2 - 6x^2) + 12x + 8 = 11x + 19$.
$12x + 8 = 11x + 19$.
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые члены - в правую:
$12x - 11x = 19 - 8$.
$x = 11$.
Ответ: $11$.

2) Для решения уравнения $(z - 2)^3 - z^2(z - 6) = 13z - 7$ раскроем скобки в левой части, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
$(z-2)^3 = z^3 - 3 \cdot z^2 \cdot 2 + 3 \cdot z \cdot 2^2 - 2^3 = z^3 - 6z^2 + 12z - 8$.
$-z^2(z-6) = -z^3 + 6z^2$.
Подставим полученные выражения в уравнение:
$z^3 - 6z^2 + 12z - 8 - z^3 + 6z^2 = 13z - 7$.
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(z^3 - z^3) + (-6z^2 + 6z^2) + 12z - 8 = 13z - 7$.
$12z - 8 = 13z - 7$.
Сгруппируем слагаемые с переменной $z$ в правой части, а свободные члены - в левой:
$-8 + 7 = 13z - 12z$.
$-1 = z$.
Ответ: $-1$.

3) Для решения уравнения $(y + 3)^3 - 2y - 30 = y^2(9 + y)$ раскроем скобки в обеих частях уравнения.
В левой части используем формулу куба суммы и приведем подобные слагаемые:
$(y+3)^3 - 2y - 30 = (y^3 + 3 \cdot y^2 \cdot 3 + 3 \cdot y \cdot 3^2 + 3^3) - 2y - 30 = y^3 + 9y^2 + 27y + 27 - 2y - 30 = y^3 + 9y^2 + 25y - 3$.
В правой части раскроем скобки: $y^2(9+y) = 9y^2 + y^3$.
Теперь уравнение имеет вид:
$y^3 + 9y^2 + 25y - 3 = 9y^2 + y^3$.
Вычтем из обеих частей уравнения $y^3$ и $9y^2$:
$25y - 3 = 0$.
Перенесем свободный член в правую часть:
$25y = 3$.
$y = \frac{3}{25}$.
Ответ: $\frac{3}{25}$.

4) Для решения уравнения $(3 - t)^3 + 3t + 21 = -t^2(t - 9)$ раскроем скобки в обеих частях.
В левой части используем формулу куба разности и приведем подобные слагаемые:
$(3-t)^3 + 3t + 21 = (3^3 - 3 \cdot 3^2 \cdot t + 3 \cdot 3 \cdot t^2 - t^3) + 3t + 21 = 27 - 27t + 9t^2 - t^3 + 3t + 21 = -t^3 + 9t^2 - 24t + 48$.
В правой части раскроем скобки: $-t^2(t-9) = -t^3 + 9t^2$.
Уравнение принимает вид:
$-t^3 + 9t^2 - 24t + 48 = -t^3 + 9t^2$.
Вычтем из обеих частей уравнения $-t^3$ и $9t^2$:
$-24t + 48 = 0$.
Перенесем слагаемое со свобоным членом в правую часть:
$-24t = -48$.
Найдем $t$:
$t = \frac{-48}{-24}$.
$t = 2$.
Ответ: $2$.

33.10. Докажите тождество:

1) $(3a + b)^3 - (a + 3b)^3 - 18ab(a - b) = 26(a^3 - b^3);$

2) $(x + 4y)^3 + (4x - y)^3 + 12xy(3x - 5y) - 128y^3 = 65(x^3 - y^3).$

1) Чтобы доказать тождество $(3a + b)^3 - (a + 3b)^3 - 18ab(a - b) = 26(a^3 - b^3)$, мы преобразуем его левую часть. Сначала раскроем кубы, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$:
$(3a + b)^3 = (3a)^3 + 3 \cdot (3a)^2 \cdot b + 3 \cdot (3a) \cdot b^2 + b^3 = 27a^3 + 27a^2b + 9ab^2 + b^3$.
$(a + 3b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot (3b) + 3 \cdot a \cdot (3b)^2 + (3b)^3 = a^3 + 9a^2b + 27ab^2 + 27b^3$.
Далее раскроем скобки в выражении $-18ab(a - b)$:
$-18ab(a - b) = -18a^2b + 18ab^2$.
Теперь подставим все раскрытые выражения в левую часть исходного равенства:
$(27a^3 + 27a^2b + 9ab^2 + b^3) - (a^3 + 9a^2b + 27ab^2 + 27b^3) - 18a^2b + 18ab^2$.
Уберем скобки и приведем подобные слагаемые:
$27a^3 + 27a^2b + 9ab^2 + b^3 - a^3 - 9a^2b - 27ab^2 - 27b^3 - 18a^2b + 18ab^2 = $
$= (27a^3 - a^3) + (b^3 - 27b^3) + (27a^2b - 9a^2b - 18a^2b) + (9ab^2 - 27ab^2 + 18ab^2) = $
$= 26a^3 - 26b^3 + (18a^2b - 18a^2b) + (-18ab^2 + 18ab^2) = 26a^3 - 26b^3$.
Правая часть тождества равна $26(a^3 - b^3) = 26a^3 - 26b^3$.
Поскольку левая и правая части равны, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество $(x + 4y)^3 + (4x - y)^3 + 12xy(3x - 5y) - 128y^3 = 65(x^3 - y^3)$, преобразуем его левую часть. Раскроем кубы, используя формулы куба суммы и куба разности: $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ и $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.
$(x + 4y)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot (4y) + 3 \cdot x \cdot (4y)^2 + (4y)^3 = x^3 + 12x^2y + 48xy^2 + 64y^3$.
$(4x - y)^3 = (4x)^3 - 3 \cdot (4x)^2 \cdot y + 3 \cdot (4x) \cdot y^2 - y^3 = 64x^3 - 48x^2y + 12xy^2 - y^3$.
Раскроем скобки в выражении $12xy(3x - 5y)$:
$12xy(3x - 5y) = 36x^2y - 60xy^2$.
Подставим все полученные выражения в левую часть равенства:
$(x^3 + 12x^2y + 48xy^2 + 64y^3) + (64x^3 - 48x^2y + 12xy^2 - y^3) + 36x^2y - 60xy^2 - 128y^3$.
Приведем подобные слагаемые:
$(x^3 + 64x^3) + (64y^3 - y^3 - 128y^3) + (12x^2y - 48x^2y + 36x^2y) + (48xy^2 + 12xy^2 - 60xy^2) = $
$= 65x^3 - 65y^3 + (48x^2y - 48x^2y) + (60xy^2 - 60xy^2) = 65x^3 - 65y^3$.
Правая часть тождества равна $65(x^3 - y^3) = 65x^3 - 65y^3$.
Поскольку левая и правая части равны, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

33.11. Представьте в виде многочлена степень:

1) $(a^2 - b^2)^3$;

2) $(m^2 + n^2)^3$;

3) $(2a^2 + b^2)^3$;

4) $(x^4 - 6y^2)^3$;

5) $(7m^3 - n^4)^3$;

6) $(a^3 - \frac{1}{3}b^2)^3$;

7) $(0,3x^5 - 0,5y^2)^3$;

8) $(0,6x^4 - \frac{1}{2}y^3)^3$;

9) $(\frac{1}{5}a^2 + 0,3b^4)^3$.

1) Для того чтобы представить выражение $(a^2 - b^2)^3$ в виде многочлена, воспользуемся формулой куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
В нашем случае $x = a^2$ и $y = b^2$.
Подставим эти значения в формулу:
$(a^2 - b^2)^3 = (a^2)^3 - 3(a^2)^2(b^2) + 3(a^2)(b^2)^2 - (b^2)^3$
Упростим полученное выражение:
$a^{2 \cdot 3} - 3a^{2 \cdot 2}b^2 + 3a^2b^{2 \cdot 2} - b^{2 \cdot 3} = a^6 - 3a^4b^2 + 3a^2b^4 - b^6$.
Ответ: $a^6 - 3a^4b^2 + 3a^2b^4 - b^6$.

2) Для выражения $(m^2 + n^2)^3$ применим формулу куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
Здесь $x = m^2$ и $y = n^2$.
Подставляем в формулу:
$(m^2 + n^2)^3 = (m^2)^3 + 3(m^2)^2(n^2) + 3(m^2)(n^2)^2 + (n^2)^3$
Упрощаем:
$m^{2 \cdot 3} + 3m^{2 \cdot 2}n^2 + 3m^2n^{2 \cdot 2} + n^{2 \cdot 3} = m^6 + 3m^4n^2 + 3m^2n^4 + n^6$.
Ответ: $m^6 + 3m^4n^2 + 3m^2n^4 + n^6$.

3) Для выражения $(2a^2 + b^2)^3$ используем формулу куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
В данном случае $x = 2a^2$ и $y = b^2$.
Подставляем:
$(2a^2 + b^2)^3 = (2a^2)^3 + 3(2a^2)^2(b^2) + 3(2a^2)(b^2)^2 + (b^2)^3$
Выполняем вычисления:
$2^3(a^2)^3 + 3(2^2(a^2)^2)(b^2) + 6a^2(b^2)^2 + (b^2)^3 = 8a^6 + 3(4a^4)b^2 + 6a^2b^4 + b^6 = 8a^6 + 12a^4b^2 + 6a^2b^4 + b^6$.
Ответ: $8a^6 + 12a^4b^2 + 6a^2b^4 + b^6$.

4) Для раскрытия скобок в $(x^4 - 6y^2)^3$ используем формулу куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
Здесь $x = x^4$ и $y = 6y^2$.
Подставляем в формулу:
$(x^4 - 6y^2)^3 = (x^4)^3 - 3(x^4)^2(6y^2) + 3(x^4)(6y^2)^2 - (6y^2)^3$
Упрощаем выражение:
$x^{12} - 3 \cdot 6 x^8 y^2 + 3 \cdot 36 x^4 y^4 - 216 y^6 = x^{12} - 18x^8y^2 + 108x^4y^4 - 216y^6$.
Ответ: $x^{12} - 18x^8y^2 + 108x^4y^4 - 216y^6$.

5) Для выражения $(7m^3 - n^4)^3$ применим формулу куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
Здесь $x = 7m^3$ и $y = n^4$.
Подставляем:
$(7m^3 - n^4)^3 = (7m^3)^3 - 3(7m^3)^2(n^4) + 3(7m^3)(n^4)^2 - (n^4)^3$
Выполняем вычисления:
$7^3(m^3)^3 - 3 \cdot 7^2(m^3)^2n^4 + 3 \cdot 7m^3(n^4)^2 - (n^4)^3 = 343m^9 - 3 \cdot 49m^6n^4 + 21m^3n^8 - n^{12} = 343m^9 - 147m^6n^4 + 21m^3n^8 - n^{12}$.
Ответ: $343m^9 - 147m^6n^4 + 21m^3n^8 - n^{12}$.

6) Для выражения $(a^3 - \frac{1}{3}b^2)^3$ используем формулу куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
В данном случае $x = a^3$ и $y = \frac{1}{3}b^2$.
Подставляем:
$(a^3 - \frac{1}{3}b^2)^3 = (a^3)^3 - 3(a^3)^2(\frac{1}{3}b^2) + 3(a^3)(\frac{1}{3}b^2)^2 - (\frac{1}{3}b^2)^3$
Упрощаем:
$a^9 - (3 \cdot \frac{1}{3})a^6b^2 + 3a^3(\frac{1}{9}b^4) - \frac{1}{27}b^6 = a^9 - a^6b^2 + \frac{1}{3}a^3b^4 - \frac{1}{27}b^6$.
Ответ: $a^9 - a^6b^2 + \frac{1}{3}a^3b^4 - \frac{1}{27}b^6$.

7) Для раскрытия скобок в $(0,3x^5 - 0,5y^2)^3$ используем формулу куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
Здесь $x = 0,3x^5$ и $y = 0,5y^2$.
Подставляем:
$(0,3x^5)^3 - 3(0,3x^5)^2(0,5y^2) + 3(0,3x^5)(0,5y^2)^2 - (0,5y^2)^3$
Вычисляем коэффициенты и степени:
$0,027x^{15} - 3(0,09x^{10})(0,5y^2) + 3(0,3x^5)(0,25y^4) - 0,125y^6 = 0,027x^{15} - 0,135x^{10}y^2 + 0,225x^5y^4 - 0,125y^6$.
Ответ: $0,027x^{15} - 0,135x^{10}y^2 + 0,225x^5y^4 - 0,125y^6$.

8) Для выражения $(0,6x^4 - \frac{1}{2}y^3)^3$ используем формулу куба разности $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$. Заметим, что $\frac{1}{2} = 0,5$.
Здесь $x = 0,6x^4$ и $y = 0,5y^3$.
Подставляем:
$(0,6x^4)^3 - 3(0,6x^4)^2(0,5y^3) + 3(0,6x^4)(0,5y^3)^2 - (0,5y^3)^3$
Упрощаем:
$0,216x^{12} - 3(0,36x^8)(0,5y^3) + 3(0,6x^4)(0,25y^6) - 0,125y^9 = 0,216x^{12} - 0,54x^8y^3 + 0,45x^4y^6 - 0,125y^9$.
Ответ: $0,216x^{12} - 0,54x^8y^3 + 0,45x^4y^6 - 0,125y^9$.

9) Для выражения $(\frac{1}{5}a^2 + 0,3b^4)^3$ используем формулу куба суммы $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$. Представим $\frac{1}{5}$ как $0,2$.
Здесь $x = 0,2a^2$ и $y = 0,3b^4$.
Подставляем:
$(0,2a^2)^3 + 3(0,2a^2)^2(0,3b^4) + 3(0,2a^2)(0,3b^4)^2 + (0,3b^4)^3$
Выполняем вычисления:
$0,008a^6 + 3(0,04a^4)(0,3b^4) + 3(0,2a^2)(0,09b^8) + 0,027b^{12} = 0,008a^6 + 0,036a^4b^4 + 0,054a^2b^8 + 0,027b^{12}$.
Ответ: $0,008a^6 + 0,036a^4b^4 + 0,054a^2b^8 + 0,027b^{12}$.

33.12. Представьте в виде куба двучлена многочлен:

1) $8x^3 - 60x^2y + 150xy^2 - 125y^3;$

2) $64a^{15} + 144a^{10}b^3 + 108a^5 b^6 + 27b^9;$

3) $0,125a^9 - 0,15a^6b^4 + 0,06a^3b^8 - 0,008 b^{12};$

4) $0,216x^{12} + 0,54x^8y^5 + 0,45x^4y^{10} + 0,125y^{15}.$

1) Чтобы представить многочлен $8x^3 - 60x^2y + 150xy^2 - 125y^3$ в виде куба двучлена, необходимо использовать формулу куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. Чередующиеся знаки "минус" и "плюс" в данном многочлене указывают именно на эту формулу.

Определим значения $a$ и $b$. Первый член многочлена $8x^3$ соответствует $a^3$, а последний член $125y^3$ соответствует $b^3$.

$a^3 = 8x^3 \implies a = \sqrt[3]{8x^3} = 2x$

$b^3 = 125y^3 \implies b = \sqrt[3]{125y^3} = 5y$

Теперь выполним проверку для средних членов, подставив $a=2x$ и $b=5y$ в формулу:

Второй член: $3a^2b = 3 \cdot (2x)^2 \cdot (5y) = 3 \cdot 4x^2 \cdot 5y = 60x^2y$.

Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot (2x) \cdot (5y)^2 = 6x \cdot 25y^2 = 150xy^2$.

Полученные члены полностью совпадают с членами исходного многочлена. Следовательно, выражение является кубом разности $(2x - 5y)$.

Ответ: $(2x - 5y)^3$.

2) Для многочлена $64a^{15} + 144a^{10}b^3 + 108a^5b^6 + 27b^9$ все знаки положительные, что соответствует формуле куба суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Определим $a$ и $b$ из первого и последнего членов:

$a^3 = 64a^{15} \implies a = \sqrt[3]{64a^{15}} = 4a^5$

$b^3 = 27b^9 \implies b = \sqrt[3]{27b^9} = 3b^3$

Проверим средние члены с $a=4a^5$ и $b=3b^3$:

$3a^2b = 3 \cdot (4a^5)^2 \cdot (3b^3) = 3 \cdot 16a^{10} \cdot 3b^3 = 144a^{10}b^3$.

$3ab^2 = 3 \cdot (4a^5) \cdot (3b^3)^2 = 12a^5 \cdot 9b^6 = 108a^5b^6$.

Члены совпадают, значит, многочлен является кубом суммы $(4a^5 + 3b^3)$.

Ответ: $(4a^5 + 3b^3)^3$.

3) В многочлене $0,125a^9 - 0,15a^6b^4 + 0,06a^3b^8 - 0,008b^{12}$ знаки чередуются, что указывает на формулу куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Определим $a$ и $b$:

$a^3 = 0,125a^9 \implies a = \sqrt[3]{0,125a^9} = 0,5a^3$

$b^3 = 0,008b^{12} \implies b = \sqrt[3]{0,008b^{12}} = 0,2b^4$

Проверим средние члены, используя $a=0,5a^3$ и $b=0,2b^4$:

$3a^2b = 3 \cdot (0,5a^3)^2 \cdot (0,2b^4) = 3 \cdot 0,25a^6 \cdot 0,2b^4 = 0,75a^6 \cdot 0,2b^4 = 0,15a^6b^4$.

$3ab^2 = 3 \cdot (0,5a^3) \cdot (0,2b^4)^2 = 1,5a^3 \cdot 0,04b^8 = 0,06a^3b^8$.

Соответствие полное, следовательно, выражение равно $(0,5a^3 - 0,2b^4)^3$.

Ответ: $(0,5a^3 - 0,2b^4)^3$.

4) В многочлене $0,216x^{12} + 0,54x^8y^5 + 0,45x^4y^{10} + 0,125y^{15}$ все знаки "плюс", поэтому применяем формулу куба суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Находим $a$ и $b$:

$a^3 = 0,216x^{12} \implies a = \sqrt[3]{0,216x^{12}} = 0,6x^4$

$b^3 = 0,125y^{15} \implies b = \sqrt[3]{0,125y^{15}} = 0,5y^5$

Выполняем проверку для средних членов с $a=0,6x^4$ и $b=0,5y^5$:

$3a^2b = 3 \cdot (0,6x^4)^2 \cdot (0,5y^5) = 3 \cdot 0,36x^8 \cdot 0,5y^5 = 1,08x^8 \cdot 0,5y^5 = 0,54x^8y^5$.

$3ab^2 = 3 \cdot (0,6x^4) \cdot (0,5y^5)^2 = 1,8x^4 \cdot 0,25y^{10} = 0,45x^4y^{10}$.

Члены совпадают, поэтому многочлен является кубом суммы $(0,6x^4 + 0,5y^5)$.

Ответ: $(0,6x^4 + 0,5y^5)^3$.

Упростите выражения (33.13–33.14):

33.13. 1) $(x^2 + 1)^3 - 3(x^2 - 1)^2 - 5x(x - 2) + 10$;

2) $(x - 2)^3 + 20(2x - 1)^3 + x(x - 5)$;

3) $(1 - 3y)^3 - 3(y + 3)^3 + 10y(y^2 - 2)$;

4) $(y^3 + 2)^3 - y^6(y^3 - 6) + 2(y - 2)^2$.

1) Упростим выражение $(x^2 + 1)^3 - 3(x^2 - 1)^2 - 5x(x - 2) + 10$.
Для этого раскроем скобки в каждом слагаемом, используя формулы сокращенного умножения и правило дистрибутивности.
1. Раскроем куб суммы $(x^2 + 1)^3$ по формуле $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$(x^2 + 1)^3 = (x^2)^3 + 3 \cdot (x^2)^2 \cdot 1 + 3 \cdot x^2 \cdot 1^2 + 1^3 = x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1$.
2. Раскроем квадрат разности $(x^2 - 1)^2$ по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и умножим на $-3$:
$-3(x^2 - 1)^2 = -3((x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2) = -3(x^4 - 2x^2 + 1) = -3x^4 + 6x^2 - 3$.
3. Раскроем скобки в выражении $-5x(x - 2)$:
$-5x(x - 2) = -5x^2 + 10x$.
4. Теперь сложим все полученные части и константу $10$:
$(x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1) + (-3x^4 + 6x^2 - 3) + (-5x^2 + 10x) + 10$.
5. Приведем подобные слагаемые:
$x^6 + (3x^4 - 3x^4) + (3x^2 + 6x^2 - 5x^2) + 10x + (1 - 3 + 10) = x^6 + 4x^2 + 10x + 8$.
Ответ: $x^6 + 4x^2 + 10x + 8$.

2) Упростим выражение $(x - 2)^3 + 20(2x - 1) + x(x - 5)$.
1. Раскроем куб разности $(x - 2)^3$ по формуле $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:
$x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.
2. Раскроем скобки $20(2x - 1)$:
$20 \cdot 2x - 20 \cdot 1 = 40x - 20$.
3. Раскроем скобки $x(x - 5)$:
$x \cdot x - x \cdot 5 = x^2 - 5x$.
4. Сложим все полученные выражения:
$(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) + (40x - 20) + (x^2 - 5x)$.
5. Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (-6x^2 + x^2) + (12x + 40x - 5x) + (-8 - 20) = x^3 - 5x^2 + 47x - 28$.
Ответ: $x^3 - 5x^2 + 47x - 28$.

3) Упростим выражение $(1 - 3y)^3 - 3(y + 3)^3 + 10y(y^2 - 2)$.
1. Раскроем куб разности $(1 - 3y)^3$:
$1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot (3y) + 3 \cdot 1 \cdot (3y)^2 - (3y)^3 = 1 - 9y + 27y^2 - 27y^3$.
2. Раскроем куб суммы $(y + 3)^3$ и умножим на $-3$:
$-3(y^3 + 3 \cdot y^2 \cdot 3 + 3 \cdot y \cdot 3^2 + 3^3) = -3(y^3 + 9y^2 + 27y + 27) = -3y^3 - 27y^2 - 81y - 81$.
3. Раскроем скобки $10y(y^2 - 2)$:
$10y \cdot y^2 - 10y \cdot 2 = 10y^3 - 20y$.
4. Сложим все полученные части:
$(1 - 9y + 27y^2 - 27y^3) + (-3y^3 - 27y^2 - 81y - 81) + (10y^3 - 20y)$.
5. Приведем подобные слагаемые:
$(-27y^3 - 3y^3 + 10y^3) + (27y^2 - 27y^2) + (-9y - 81y - 20y) + (1 - 81) = -20y^3 - 110y - 80$.
Ответ: $-20y^3 - 110y - 80$.

4) Упростим выражение $(y^3 + 2)^3 - y^6(y^3 - 6) + 2(y - 2)^2$.
1. Раскроем куб суммы $(y^3 + 2)^3$:
$(y^3)^3 + 3 \cdot (y^3)^2 \cdot 2 + 3 \cdot y^3 \cdot 2^2 + 2^3 = y^9 + 6y^6 + 12y^3 + 8$.
2. Раскроем скобки $-y^6(y^3 - 6)$:
$-y^6 \cdot y^3 - y^6 \cdot (-6) = -y^9 + 6y^6$.
3. Раскроем квадрат разности $2(y - 2)^2$:
$2(y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) = 2(y^2 - 4y + 4) = 2y^2 - 8y + 8$.
4. Сложим все полученные части:
$(y^9 + 6y^6 + 12y^3 + 8) + (-y^9 + 6y^6) + (2y^2 - 8y + 8)$.
5. Приведем подобные слагаемые:
$(y^9 - y^9) + (6y^6 + 6y^6) + 12y^3 + 2y^2 - 8y + (8 + 8) = 12y^6 + 12y^3 + 2y^2 - 8y + 16$.
Ответ: $12y^6 + 12y^3 + 2y^2 - 8y + 16$.

33.14.

1) $(x + 5)^3 - (x + 1)^3 - 4(3x^2 - 5) + 10x - 7;$

2) $(x - 3)^3 - x^2(x + 6) - 5x(5 - 3x) - 19x + 1;$

3) $(y + 4)^3 + (3y + 1)^3 - 7y^2(4y + 9) + 24y^2 + 8;$

4) $(4y - 5)^3 - (4y + 5)^3 - 48y(1 - 10y) + 5 - 14y^2.$

1) Чтобы упростить выражение $(x+5)^3 - (x+1)^3 - 4(3x^2-5) + 10x - 7$, раскроем скобки.
Используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$(x+5)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 5 + 3 \cdot x \cdot 5^2 + 5^3 = x^3 + 15x^2 + 75x + 125$
$(x+1)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$
Теперь раскроем остальные скобки:
$-4(3x^2-5) = -12x^2 + 20$
Подставим полученные выражения в исходное:
$(x^3 + 15x^2 + 75x + 125) - (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - 12x^2 + 20 + 10x - 7$
Уберем скобки, учитывая знаки:
$x^3 + 15x^2 + 75x + 125 - x^3 - 3x^2 - 3x - 1 - 12x^2 + 20 + 10x - 7$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
Для $x^3$: $x^3 - x^3 = 0$
Для $x^2$: $15x^2 - 3x^2 - 12x^2 = (15 - 3 - 12)x^2 = 0$
Для $x$: $75x - 3x + 10x = (75 - 3 + 10)x = 82x$
Свободные члены: $125 - 1 + 20 - 7 = 137$
В итоге получаем: $82x + 137$.
Ответ: $82x + 137$

2) Упростим выражение $(x-3)^3 - x^2(x+6) - 5x(5-3x) - 19x + 1$.
Сначала раскроем скобки. Используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:
$(x-3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$
Раскроем остальные скобки:
$-x^2(x+6) = -x^3 - 6x^2$
$-5x(5-3x) = -25x + 15x^2$
Подставим все в исходное выражение:
$(x^3 - 9x^2 + 27x - 27) - x^3 - 6x^2 - 25x + 15x^2 - 19x + 1$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
Для $x^3$: $x^3 - x^3 = 0$
Для $x^2$: $-9x^2 - 6x^2 + 15x^2 = (-9 - 6 + 15)x^2 = 0$
Для $x$: $27x - 25x - 19x = (27 - 25 - 19)x = -17x$
Свободные члены: $-27 + 1 = -26$
В итоге получаем: $-17x - 26$.
Ответ: $-17x - 26$

3) Упростим выражение $(y+4)^3 + (3y+1)^3 - 7y^2(4y+9) + 24y^2 + 8$.
Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$(y+4)^3 = y^3 + 3 \cdot y^2 \cdot 4 + 3 \cdot y \cdot 4^2 + 4^3 = y^3 + 12y^2 + 48y + 64$
$(3y+1)^3 = (3y)^3 + 3 \cdot (3y)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (3y) \cdot 1^2 + 1^3 = 27y^3 + 27y^2 + 9y + 1$
Раскроем произведение:
$-7y^2(4y+9) = -28y^3 - 63y^2$
Подставим все в исходное выражение:
$(y^3 + 12y^2 + 48y + 64) + (27y^3 + 27y^2 + 9y + 1) - 28y^3 - 63y^2 + 24y^2 + 8$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
Для $y^3$: $y^3 + 27y^3 - 28y^3 = (1 + 27 - 28)y^3 = 0$
Для $y^2$: $12y^2 + 27y^2 - 63y^2 + 24y^2 = (12 + 27 - 63 + 24)y^2 = 0$
Для $y$: $48y + 9y = 57y$
Свободные члены: $64 + 1 + 8 = 73$
В итоге получаем: $57y + 73$.
Ответ: $57y + 73$

4) Упростим выражение $(4y-5)^3 - (4y+5)^3 - 48y(1-10y) + 5 - 14y^2$.
Для разности кубов $(4y-5)^3 - (4y+5)^3$ можно применить формулу $(a-b)^3 - (a+b)^3 = -2b^3 - 6a^2b$.
Пусть $a = 4y$ и $b = 5$:
$(4y-5)^3 - (4y+5)^3 = -2(5)^3 - 6(4y)^2(5) = -2(125) - 6(16y^2)(5) = -250 - 480y^2$
Раскроем скобки в оставшейся части выражения:
$-48y(1-10y) = -48y + 480y^2$
Подставим все в исходное выражение:
$(-250 - 480y^2) - 48y + 480y^2 + 5 - 14y^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
Для $y^2$: $-480y^2 + 480y^2 - 14y^2 = -14y^2$
Для $y$: $-48y$
Свободные члены: $-250 + 5 = -245$
В итоге получаем: $-14y^2 - 48y - 245$.
Ответ: $-14y^2 - 48y - 245$

Решите уравнения (33.15–33.16):

33.15. 1) $(x+2)^3 - (x-2)^3 = 2x (6x + 2);$

2) $(x+3)^3 - (x-4)^3 = 21x^2 + 7;$

3) $(x+2)^3 + 3x^2 - 11 = (x+3)^3;$

4) $(x-3)^3 = x^2(x-9) + 27.$

1) $(x + 2)^3 - (x - 2)^3 = 2x(6x + 2)$

Для решения раскроем скобки в левой и правой частях уравнения. Используем формулы сокращенного умножения для куба суммы и куба разности: $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ и $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.

Раскроем скобки в левой части:

$(x+2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

$(x-2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Теперь вычтем второе из первого:

$(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) - (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - x^3 + 6x^2 - 12x + 8 = 12x^2 + 16$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$2x(6x + 2) = 12x^2 + 4x$

Приравниваем полученные выражения и решаем уравнение:

$12x^2 + 16 = 12x^2 + 4x$

Вычтем $12x^2$ из обеих частей:

$16 = 4x$

$x = \frac{16}{4}$

$x = 4$

Ответ: $4$

2) $(x + 3)^3 - (x - 4)^3 = 21x^2 + 7$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулы куба суммы и куба разности.

$(x+3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

$(x-4)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 4 + 3 \cdot x \cdot 4^2 - 4^3 = x^3 - 12x^2 + 48x - 64$

Подставим раскрытые выражения в исходное уравнение:

$(x^3 + 9x^2 + 27x + 27) - (x^3 - 12x^2 + 48x - 64) = 21x^2 + 7$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x^3 + 12x^2 - 48x + 64 = 21x^2 + 7$

$(9x^2 + 12x^2) + (27x - 48x) + (27 + 64) = 21x^2 - 21x + 91$

Теперь уравнение имеет вид:

$21x^2 - 21x + 91 = 21x^2 + 7$

Вычтем $21x^2$ из обеих частей:

$-21x + 91 = 7$

Перенесем $91$ в правую часть:

$-21x = 7 - 91$

$-21x = -84$

$x = \frac{-84}{-21}$

$x = 4$

Ответ: $4$

3) $(x + 2)^3 + 3x^2 - 11 = (x + 3)^3$

Раскроем кубы в обеих частях уравнения.

Левая часть: $(x + 2)^3 + 3x^2 - 11 = (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) + 3x^2 - 11 = x^3 + 9x^2 + 12x - 3$

Правая часть: $(x + 3)^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

Приравниваем обе части:

$x^3 + 9x^2 + 12x - 3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

Сокращаем одинаковые члены $x^3$ и $9x^2$ в обеих частях:

$12x - 3 = 27x + 27$

Переносим слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$-3 - 27 = 27x - 12x$

$-30 = 15x$

$x = \frac{-30}{15}$

$x = -2$

Ответ: $-2$

4) $(x - 3)^3 = x^2(x - 9) + 27$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть: $(x-3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$

Правая часть: $x^2(x - 9) + 27 = x^3 - 9x^2 + 27$

Приравниваем полученные выражения:

$x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = x^3 - 9x^2 + 27$

Сокращаем одинаковые члены $x^3$ и $-9x^2$ в обеих частях:

$27x - 27 = 27$

Перенесем $-27$ в правую часть:

$27x = 27 + 27$

$27x = 54$

$x = \frac{54}{27}$

$x = 2$

Ответ: $2$