Номер 33.11, страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.11. Представьте в виде многочлена степень:

1) $(a^2 - b^2)^3$;

2) $(m^2 + n^2)^3$;

3) $(2a^2 + b^2)^3$;

4) $(x^4 - 6y^2)^3$;

5) $(7m^3 - n^4)^3$;

6) $(a^3 - \frac{1}{3}b^2)^3$;

7) $(0,3x^5 - 0,5y^2)^3$;

8) $(0,6x^4 - \frac{1}{2}y^3)^3$;

9) $(\frac{1}{5}a^2 + 0,3b^4)^3$.

1) Для того чтобы представить выражение $(a^2 - b^2)^3$ в виде многочлена, воспользуемся формулой куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
В нашем случае $x = a^2$ и $y = b^2$.
Подставим эти значения в формулу:
$(a^2 - b^2)^3 = (a^2)^3 - 3(a^2)^2(b^2) + 3(a^2)(b^2)^2 - (b^2)^3$
Упростим полученное выражение:
$a^{2 \cdot 3} - 3a^{2 \cdot 2}b^2 + 3a^2b^{2 \cdot 2} - b^{2 \cdot 3} = a^6 - 3a^4b^2 + 3a^2b^4 - b^6$.
Ответ: $a^6 - 3a^4b^2 + 3a^2b^4 - b^6$.

2) Для выражения $(m^2 + n^2)^3$ применим формулу куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
Здесь $x = m^2$ и $y = n^2$.
Подставляем в формулу:
$(m^2 + n^2)^3 = (m^2)^3 + 3(m^2)^2(n^2) + 3(m^2)(n^2)^2 + (n^2)^3$
Упрощаем:
$m^{2 \cdot 3} + 3m^{2 \cdot 2}n^2 + 3m^2n^{2 \cdot 2} + n^{2 \cdot 3} = m^6 + 3m^4n^2 + 3m^2n^4 + n^6$.
Ответ: $m^6 + 3m^4n^2 + 3m^2n^4 + n^6$.

3) Для выражения $(2a^2 + b^2)^3$ используем формулу куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
В данном случае $x = 2a^2$ и $y = b^2$.
Подставляем:
$(2a^2 + b^2)^3 = (2a^2)^3 + 3(2a^2)^2(b^2) + 3(2a^2)(b^2)^2 + (b^2)^3$
Выполняем вычисления:
$2^3(a^2)^3 + 3(2^2(a^2)^2)(b^2) + 6a^2(b^2)^2 + (b^2)^3 = 8a^6 + 3(4a^4)b^2 + 6a^2b^4 + b^6 = 8a^6 + 12a^4b^2 + 6a^2b^4 + b^6$.
Ответ: $8a^6 + 12a^4b^2 + 6a^2b^4 + b^6$.

4) Для раскрытия скобок в $(x^4 - 6y^2)^3$ используем формулу куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
Здесь $x = x^4$ и $y = 6y^2$.
Подставляем в формулу:
$(x^4 - 6y^2)^3 = (x^4)^3 - 3(x^4)^2(6y^2) + 3(x^4)(6y^2)^2 - (6y^2)^3$
Упрощаем выражение:
$x^{12} - 3 \cdot 6 x^8 y^2 + 3 \cdot 36 x^4 y^4 - 216 y^6 = x^{12} - 18x^8y^2 + 108x^4y^4 - 216y^6$.
Ответ: $x^{12} - 18x^8y^2 + 108x^4y^4 - 216y^6$.

5) Для выражения $(7m^3 - n^4)^3$ применим формулу куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
Здесь $x = 7m^3$ и $y = n^4$.
Подставляем:
$(7m^3 - n^4)^3 = (7m^3)^3 - 3(7m^3)^2(n^4) + 3(7m^3)(n^4)^2 - (n^4)^3$
Выполняем вычисления:
$7^3(m^3)^3 - 3 \cdot 7^2(m^3)^2n^4 + 3 \cdot 7m^3(n^4)^2 - (n^4)^3 = 343m^9 - 3 \cdot 49m^6n^4 + 21m^3n^8 - n^{12} = 343m^9 - 147m^6n^4 + 21m^3n^8 - n^{12}$.
Ответ: $343m^9 - 147m^6n^4 + 21m^3n^8 - n^{12}$.

6) Для выражения $(a^3 - \frac{1}{3}b^2)^3$ используем формулу куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
В данном случае $x = a^3$ и $y = \frac{1}{3}b^2$.
Подставляем:
$(a^3 - \frac{1}{3}b^2)^3 = (a^3)^3 - 3(a^3)^2(\frac{1}{3}b^2) + 3(a^3)(\frac{1}{3}b^2)^2 - (\frac{1}{3}b^2)^3$
Упрощаем:
$a^9 - (3 \cdot \frac{1}{3})a^6b^2 + 3a^3(\frac{1}{9}b^4) - \frac{1}{27}b^6 = a^9 - a^6b^2 + \frac{1}{3}a^3b^4 - \frac{1}{27}b^6$.
Ответ: $a^9 - a^6b^2 + \frac{1}{3}a^3b^4 - \frac{1}{27}b^6$.

7) Для раскрытия скобок в $(0,3x^5 - 0,5y^2)^3$ используем формулу куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
Здесь $x = 0,3x^5$ и $y = 0,5y^2$.
Подставляем:
$(0,3x^5)^3 - 3(0,3x^5)^2(0,5y^2) + 3(0,3x^5)(0,5y^2)^2 - (0,5y^2)^3$
Вычисляем коэффициенты и степени:
$0,027x^{15} - 3(0,09x^{10})(0,5y^2) + 3(0,3x^5)(0,25y^4) - 0,125y^6 = 0,027x^{15} - 0,135x^{10}y^2 + 0,225x^5y^4 - 0,125y^6$.
Ответ: $0,027x^{15} - 0,135x^{10}y^2 + 0,225x^5y^4 - 0,125y^6$.

8) Для выражения $(0,6x^4 - \frac{1}{2}y^3)^3$ используем формулу куба разности $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$. Заметим, что $\frac{1}{2} = 0,5$.
Здесь $x = 0,6x^4$ и $y = 0,5y^3$.
Подставляем:
$(0,6x^4)^3 - 3(0,6x^4)^2(0,5y^3) + 3(0,6x^4)(0,5y^3)^2 - (0,5y^3)^3$
Упрощаем:
$0,216x^{12} - 3(0,36x^8)(0,5y^3) + 3(0,6x^4)(0,25y^6) - 0,125y^9 = 0,216x^{12} - 0,54x^8y^3 + 0,45x^4y^6 - 0,125y^9$.
Ответ: $0,216x^{12} - 0,54x^8y^3 + 0,45x^4y^6 - 0,125y^9$.

9) Для выражения $(\frac{1}{5}a^2 + 0,3b^4)^3$ используем формулу куба суммы $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$. Представим $\frac{1}{5}$ как $0,2$.
Здесь $x = 0,2a^2$ и $y = 0,3b^4$.
Подставляем:
$(0,2a^2)^3 + 3(0,2a^2)^2(0,3b^4) + 3(0,2a^2)(0,3b^4)^2 + (0,3b^4)^3$
Выполняем вычисления:
$0,008a^6 + 3(0,04a^4)(0,3b^4) + 3(0,2a^2)(0,09b^8) + 0,027b^{12} = 0,008a^6 + 0,036a^4b^4 + 0,054a^2b^8 + 0,027b^{12}$.
Ответ: $0,008a^6 + 0,036a^4b^4 + 0,054a^2b^8 + 0,027b^{12}$.