Номер 33.6, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.6.

1) $a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3$;

2) $27m^3 + 27m^2n + 9mn^2 + n^3$;

3) $8p^3 + 27q^3 + 54pq^2 + 36p^2q$;

4) $x^3y^3 - 6x^2y^2 + 12xy - 8.

1) Данное выражение $a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3$ является многочленом, который нужно представить в виде степени. Заметим, что оно соответствует формуле куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

Определим, чему равны $x$ и $y$ в нашем случае. Первый член $a^3$ соответствует $x^3$, значит $x=a$. Последний член $-8b^3$ соответствует $-y^3$, значит $y^3 = 8b^3 = (2b)^3$, откуда $y=2b$.

Теперь проверим, соответствуют ли средние члены выражения этой формуле:

Второй член должен быть $-3x^2y$. Подставляем наши значения: $-3 \cdot a^2 \cdot (2b) = -6a^2b$. Это совпадает со вторым членом исходного выражения.

Третий член должен быть $+3xy^2$. Подставляем наши значения: $+3 \cdot a \cdot (2b)^2 = 3 \cdot a \cdot 4b^2 = 12ab^2$. Это совпадает с третьим членом исходного выражения.

Поскольку все члены соответствуют формуле куба разности, мы можем записать:

$a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot (2b) + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 - (2b)^3 = (a - 2b)^3$.

Ответ: $(a - 2b)^3$

2) Рассмотрим выражение $27m^3 + 27m^2n + 9mn^2 + n^3$. Все знаки положительные, что указывает на формулу куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Определим $x$ и $y$. Первый член $27m^3 = (3m)^3$, значит $x=3m$. Последний член $n^3$, значит $y=n$.

Проверим соответствие средних членов:

Второй член: $3x^2y = 3 \cdot (3m)^2 \cdot n = 3 \cdot 9m^2 \cdot n = 27m^2n$. Совпадает.

Третий член: $3xy^2 = 3 \cdot (3m) \cdot n^2 = 9mn^2$. Совпадает.

Следовательно, выражение является полным кубом суммы $(3m + n)$.

$27m^3 + 27m^2n + 9mn^2 + n^3 = (3m)^3 + 3 \cdot (3m)^2 \cdot n + 3 \cdot (3m) \cdot n^2 + n^3 = (3m + n)^3$.

Ответ: $(3m + n)^3$

3) Дано выражение $8p^3 + 27q^3 + 54pq^2 + 36p^2q$. Для удобства расположим члены в порядке убывания степени переменной $p$: $8p^3 + 36p^2q + 54pq^2 + 27q^3$.

Это выражение напоминает формулу куба суммы $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Определим $x$ и $y$. Первый член $8p^3 = (2p)^3$, значит $x=2p$. Последний член $27q^3 = (3q)^3$, значит $y=3q$.

Проверим средние члены:

Второй член: $3x^2y = 3 \cdot (2p)^2 \cdot (3q) = 3 \cdot 4p^2 \cdot 3q = 36p^2q$. Совпадает.

Третий член: $3xy^2 = 3 \cdot (2p) \cdot (3q)^2 = 3 \cdot 2p \cdot 9q^2 = 54pq^2$. Совпадает.

Все члены соответствуют разложению куба суммы $(2p + 3q)$.

$8p^3 + 36p^2q + 54pq^2 + 27q^3 = (2p)^3 + 3 \cdot (2p)^2 \cdot (3q) + 3 \cdot (2p) \cdot (3q)^2 + (3q)^3 = (2p + 3q)^3$.

Ответ: $(2p + 3q)^3$

4) Рассмотрим выражение $x^3y^3 - 6x^2y^2 + 12xy - 8$. Чередование знаков +, -, +, - указывает на формулу куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Определим $a$ и $b$. Первый член $x^3y^3 = (xy)^3$, значит $a=xy$. Последний член $-8 = -(2)^3$, значит $b=2$.

Проверим средние члены:

Второй член: $-3a^2b = -3 \cdot (xy)^2 \cdot 2 = -3 \cdot x^2y^2 \cdot 2 = -6x^2y^2$. Совпадает.

Третий член: $+3ab^2 = +3 \cdot (xy) \cdot 2^2 = 3 \cdot xy \cdot 4 = 12xy$. Совпадает.

Выражение является полным кубом разности $(xy - 2)$.

$x^3y^3 - 6x^2y^2 + 12xy - 8 = (xy)^3 - 3 \cdot (xy)^2 \cdot 2 + 3 \cdot xy \cdot 2^2 - 2^3 = (xy - 2)^3$.

Ответ: $(xy - 2)^3$