Вопросы, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Как можно записать формулы куба суммы и куба разности одним равенством?

2. Какие правила были использованы при выводе формулы куба суммы и куба разности?

1. Формулы куба суммы и куба разности можно объединить в одно равенство, используя знак "плюс-минус" ($ \pm $).
Вспомним обе формулы по отдельности:
Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Куб разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
Как видно, знаки различаются у второго и четвертого слагаемых в правой части. У куба суммы все знаки — плюсы. У куба разности знаки чередуются: плюс, минус, плюс, минус.
Это позволяет записать их в виде одного общего равенства:
$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$
Это равенство следует читать так: если в левой части стоит знак "плюс", то и в правой части на местах знака $ \pm $ нужно брать верхний знак ("плюс"). Если в левой части стоит "минус", то в правой части нужно брать нижний знак ("минус").
Ответ: Формулы куба суммы и куба разности можно записать одним равенством с помощью знака "плюс-минус": $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$.

2. При выводе формул куба суммы и куба разности используются несколько основных алгебраических правил и определений. Рассмотрим вывод на примере куба суммы $(a+b)^3$:
1. Определение степени с натуральным показателем. Куб числа — это число, умноженное само на себя три раза. Это позволяет нам записать:
$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b)$
Или, что удобнее для вывода, как:
$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2$
2. Формула квадрата суммы (формула сокращенного умножения). Мы уже знаем формулу для $(a+b)^2$:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Подставляем это выражение в нашу запись:
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 + 2ab + b^2)$
3. Правило умножения многочлена на многочлен (распределительный закон). Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.
$(a+b)(a^2 + 2ab + b^2) = a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2)$
$= a \cdot a^2 + a \cdot 2ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot 2ab + b \cdot b^2$
$= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$
4. Приведение подобных слагаемых. На последнем шаге мы группируем и складываем слагаемые с одинаковой буквенной частью:
$a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Аналогичные правила применяются и для вывода формулы куба разности $(a-b)^3$.
Ответ: При выводе формул были использованы: определение степени, формула квадрата суммы/разности, правило умножения многочлена на многочлен (распределительный закон) и правило приведения подобных слагаемых.