Номер 32.28, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите неравенства (32.28–32.30):

32.28. 1) $(3,5 - x)(4x + 1) + (2x + 3)^2 < 0;$

2) $8(y - 3)^2 + (5 - y)(3 + 8y) > 2;$

3) $(3z + \frac{1}{3})^2 - (1,5z + 1)(6z - 1) < 0;$

4) $(7z - \frac{1}{7})^2 - (24,5z + 11)(2z - 1) > 0.$

1) $(3,5 - x)(4x + 1) + (2x + 3)^2 < 0$

Сначала раскроем скобки. Первую пару скобок перемножаем, а вторую возводим в квадрат по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(3,5 \cdot 4x + 3,5 \cdot 1 - x \cdot 4x - x \cdot 1) + ((2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2) < 0$

$(14x + 3,5 - 4x^2 - x) + (4x^2 + 12x + 9) < 0$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части неравенства.

$(-4x^2 + 4x^2) + (14x - x + 12x) + (3,5 + 9) < 0$

$25x + 12,5 < 0$

Мы получили простое линейное неравенство. Перенесем свободный член в правую часть и разделим на коэффициент при $x$.

$25x < -12,5$

$x < -\frac{12,5}{25}$

$x < -0,5$

Запишем решение в виде интервала.

Ответ: $(-\infty; -0,5)$.

2) $8(y - 3)^2 + (5 - y)(3 + 8y) > 2$

Раскроем скобки. Выражение в первых скобках возводим в квадрат по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и умножаем на 8. Вторую пару скобок перемножаем.

$8(y^2 - 6y + 9) + (5 \cdot 3 + 5 \cdot 8y - y \cdot 3 - y \cdot 8y) > 2$

$8y^2 - 48y + 72 + (15 + 40y - 3y - 8y^2) > 2$

$8y^2 - 48y + 72 + 15 + 37y - 8y^2 > 2$

Приведем подобные слагаемые.

$(8y^2 - 8y^2) + (-48y + 37y) + (72 + 15) > 2$

$-11y + 87 > 2$

Решим полученное линейное неравенство.

$-11y > 2 - 87$

$-11y > -85$

Разделим обе части на -11. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$y < \frac{-85}{-11}$

$y < \frac{85}{11}$

Ответ: $(-\infty; \frac{85}{11})$.

3) $(3z + \frac{1}{3})^2 - (1,5z + 1)(6z - 1) < 0$

Раскроем скобки. Используем формулу квадрата суммы для первого выражения и правило умножения многочленов для второго. Для удобства представим $1,5$ в виде дроби $\frac{3}{2}$.

$((3z)^2 + 2 \cdot 3z \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2) - (1,5z \cdot 6z - 1,5z \cdot 1 + 1 \cdot 6z - 1 \cdot 1) < 0$

$(9z^2 + 2z + \frac{1}{9}) - (9z^2 - 1,5z + 6z - 1) < 0$

$(9z^2 + 2z + \frac{1}{9}) - (9z^2 + 4,5z - 1) < 0$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные, и приведем подобные слагаемые. Заменим $4,5$ на $\frac{9}{2}$.

$9z^2 + 2z + \frac{1}{9} - 9z^2 - \frac{9}{2}z + 1 < 0$

$(9z^2 - 9z^2) + (2z - \frac{9}{2}z) + (\frac{1}{9} + 1) < 0$

$(\frac{4}{2}z - \frac{9}{2}z) + (\frac{1}{9} + \frac{9}{9}) < 0$

$-\frac{5}{2}z + \frac{10}{9} < 0$

Решим линейное неравенство.

$-\frac{5}{2}z < -\frac{10}{9}$

Умножим обе части на $-\frac{2}{5}$, не забывая изменить знак неравенства.

$z > (-\frac{10}{9}) \cdot (-\frac{2}{5})$

$z > \frac{10 \cdot 2}{9 \cdot 5}$

$z > \frac{4}{9}$

Ответ: $(\frac{4}{9}; +\infty)$.

4) $(7z - \frac{1}{7})^2 - (24,5z + 11)(2z - 1) > 0$

Раскроем скобки. Для первого выражения используем формулу квадрата разности, для второго — правило умножения многочленов. Представим десятичную дробь $24,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{49}{2}$.

$((7z)^2 - 2 \cdot 7z \cdot \frac{1}{7} + (\frac{1}{7})^2) - (\frac{49}{2}z \cdot 2z - \frac{49}{2}z \cdot 1 + 11 \cdot 2z - 11 \cdot 1) > 0$

$(49z^2 - 2z + \frac{1}{49}) - (49z^2 - \frac{49}{2}z + 22z - 11) > 0$

Сначала упростим выражение во вторых скобках.

$49z^2 - \frac{49}{2}z + \frac{44}{2}z - 11 = 49z^2 - \frac{5}{2}z - 11$

Подставим обратно в неравенство и раскроем скобки, меняя знаки.

$49z^2 - 2z + \frac{1}{49} - (49z^2 - \frac{5}{2}z - 11) > 0$

$49z^2 - 2z + \frac{1}{49} - 49z^2 + \frac{5}{2}z + 11 > 0$

Приведем подобные слагаемые.

$(49z^2 - 49z^2) + (-2z + \frac{5}{2}z) + (\frac{1}{49} + 11) > 0$

$(-\frac{4}{2}z + \frac{5}{2}z) + (\frac{1}{49} + \frac{539}{49}) > 0$

$\frac{1}{2}z + \frac{540}{49} > 0$

Решим полученное линейное неравенство.

$\frac{1}{2}z > -\frac{540}{49}$

Умножим обе части на 2.

$z > -\frac{540 \cdot 2}{49}$

$z > -\frac{1080}{49}$

Ответ: $(-\frac{1080}{49}; +\infty)$.