Номер 32.27, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.27.

1) $(7 - 8x)(2x + 1) + (4x - 1)^2 = 0;$

2) $(2x - 5)^2 - (2x - 3)(2x + 3) = 15;$

3) $(3x + 5)(3x - 5) - (3x - 1)^2 = -4;$

4) $(9x + 2)(1 - 4x) + (5 - 6x)^2 = -32.$

1) $(7 - 8x)(2x + 1) + (4x - 1)^2 = 0$
Для решения уравнения раскроем скобки. Первое слагаемое является произведением двух двучленов. Перемножим их:
$(7 - 8x)(2x + 1) = 7 \cdot 2x + 7 \cdot 1 - 8x \cdot 2x - 8x \cdot 1 = 14x + 7 - 16x^2 - 8x$.
Приведем подобные члены: $14x - 8x - 16x^2 + 7 = 6x - 16x^2 + 7$.
Второе слагаемое — это квадрат разности. Используем формулу сокращенного умножения $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(4x - 1)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = 16x^2 - 8x + 1$.
Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:
$(6x - 16x^2 + 7) + (16x^2 - 8x + 1) = 0$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$6x - 16x^2 + 7 + 16x^2 - 8x + 1 = 0$
$(-16x^2 + 16x^2) + (6x - 8x) + (7 + 1) = 0$
$-2x + 8 = 0$.
Решим получившееся линейное уравнение:
$-2x = -8$
$x = \frac{-8}{-2}$
$x = 4$.
Ответ: $4$.

2) $(2x - 5)^2 - (2x - 3)(2x + 3) = 15$
Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения.
Для первого слагаемого, квадрата разности, используем формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25$.
Второе выражение является разностью квадратов. Используем формулу $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:
$(2x - 3)(2x + 3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$.
Подставим раскрытые выражения в уравнение:
$(4x^2 - 20x + 25) - (4x^2 - 9) = 15$.
Раскроем вторые скобки, обращая внимание на знак минус перед ними:
$4x^2 - 20x + 25 - 4x^2 + 9 = 15$.
Приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 4x^2) - 20x + (25 + 9) = 15$
$-20x + 34 = 15$.
Решим линейное уравнение:
$-20x = 15 - 34$
$-20x = -19$
$x = \frac{-19}{-20} = \frac{19}{20}$.
Ответ: $\frac{19}{20}$.

3) $(3x + 5)(3x - 5) - (3x - 1)^2 = -4$
Раскроем скобки. Первое произведение — это разность квадратов: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$:
$(3x + 5)(3x - 5) = (3x)^2 - 5^2 = 9x^2 - 25$.
Второе выражение — квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(3x - 1)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1$.
Подставим в исходное уравнение:
$(9x^2 - 25) - (9x^2 - 6x + 1) = -4$.
Раскроем скобки:
$9x^2 - 25 - 9x^2 + 6x - 1 = -4$.
Приведем подобные слагаемые:
$(9x^2 - 9x^2) + 6x + (-25 - 1) = -4$
$6x - 26 = -4$.
Решим полученное уравнение:
$6x = -4 + 26$
$6x = 22$
$x = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}$.
Ответ: $\frac{11}{3}$.

4) $(9x + 2)(1 - 4x) + (5 - 6x)^2 = -32$
Раскроем скобки в каждом слагаемом.
Произведение двучленов:
$(9x + 2)(1 - 4x) = 9x \cdot 1 + 9x \cdot (-4x) + 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-4x) = 9x - 36x^2 + 2 - 8x = -36x^2 + x + 2$.
Квадрат разности:
$(5 - 6x)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6x + (6x)^2 = 25 - 60x + 36x^2$.
Подставим в уравнение:
$(-36x^2 + x + 2) + (25 - 60x + 36x^2) = -32$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$-36x^2 + x + 2 + 25 - 60x + 36x^2 = -32$
$(-36x^2 + 36x^2) + (x - 60x) + (2 + 25) = -32$
$-59x + 27 = -32$.
Решим уравнение:
$-59x = -32 - 27$
$-59x = -59$
$x = \frac{-59}{-59} = 1$.
Ответ: $1$.