Номер 32.33, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.33. Длина стороны куба равна $a$ см. Выразите формулой объем куба, если:

1) длина стороны куба увеличена на 2 см;

2) длина стороны куба уменьшена на 3 см.

Объем куба, обозначим его $V$, вычисляется по формуле $V = s^3$, где $s$ — это длина его стороны. В данной задаче начальная длина стороны куба равна $a$ см.

1) длина стороны куба увеличена на 2 см;

Если начальную длину стороны $a$ увеличить на 2 см, то новая длина стороны станет $(a + 2)$ см. Чтобы найти объем нового куба, нужно возвести в куб длину его новой стороны.

Формула для объема $V$ будет выглядеть так:

$V = (a + 2)^3$

Используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$, можно раскрыть скобки:

$V = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 + 2^3 = a^3 + 6a^2 + 12a + 8$

Таким образом, объем куба выражается формулой $V = (a + 2)^3$ см³.

Ответ: $V = (a + 2)^3$ см³.

2) длина стороны куба уменьшена на 3 см.

Если начальную длину стороны $a$ уменьшить на 3 см, то новая длина стороны станет $(a - 3)$ см. Важно отметить, что длина стороны физического объекта не может быть отрицательной или равной нулю, поэтому данное условие выполняется только при $a > 3$. Объем нового куба вычисляется как куб его новой стороны.

Формула для объема $V$ будет выглядеть так:

$V = (a - 3)^3$

Используя формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$, можно раскрыть скобки:

$V = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 - 3^3 = a^3 - 9a^2 + 27a - 27$

Таким образом, объем куба выражается формулой $V = (a - 3)^3$ см³.

Ответ: $V = (a - 3)^3$ см³.