Номер 32.32, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.32. Докажите тождество:

1) $ \left(\frac{3}{5}a^{3n+1}b^2 + \frac{2}{3}a^{n-1}b^3\right)^2 - \frac{4}{45}a^{2n-2}b^5(9a^{2n+2} + 5b) + \frac{16}{25}a^{6n+2}b^4 = a^{6n+2}b^4;$

2) $ \left(\frac{5}{6}x^{2n-1}y^n - \frac{3}{5}x^{n+1}y^2\right)^2 - \frac{1}{36}x^{3n}y^{n+2}(25x^{n-2}y^{n-2} - 36) = \frac{9}{25}x^{2n+2}y^4 $

1) Докажем тождество, преобразовав его левую часть.

$(\frac{3}{5}a^{3n+1}b^2 + \frac{2}{3}a^{n-1}b^3)^2 - \frac{4}{45}a^{2n-2}b^5(9a^{2n+2} + 5b) + \frac{16}{25}a^{6n+2}b^4$

Сначала раскроем скобки. Первое слагаемое — это квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(\frac{3}{5}a^{3n+1}b^2)^2 + 2 \cdot (\frac{3}{5}a^{3n+1}b^2) \cdot (\frac{2}{3}a^{n-1}b^3) + (\frac{2}{3}a^{n-1}b^3)^2 = $

$= \frac{9}{25}a^{2(3n+1)}b^{2 \cdot 2} + \frac{12}{15}a^{(3n+1)+(n-1)}b^{2+3} + \frac{4}{9}a^{2(n-1)}b^{2 \cdot 3} = $

$= \frac{9}{25}a^{6n+2}b^4 + \frac{4}{5}a^{4n}b^5 + \frac{4}{9}a^{2n-2}b^6$.

Теперь раскроем скобки во втором слагаемом исходного выражения:

$- \frac{4}{45}a^{2n-2}b^5(9a^{2n+2} + 5b) = - (\frac{4}{45}a^{2n-2}b^5 \cdot 9a^{2n+2}) - (\frac{4}{45}a^{2n-2}b^5 \cdot 5b) = $

$= - \frac{36}{45}a^{(2n-2)+(2n+2)}b^5 - \frac{20}{45}a^{2n-2}b^{5+1} = - \frac{4}{5}a^{4n}b^5 - \frac{4}{9}a^{2n-2}b^6$.

Подставим полученные выражения в левую часть тождества:

$(\frac{9}{25}a^{6n+2}b^4 + \frac{4}{5}a^{4n}b^5 + \frac{4}{9}a^{2n-2}b^6) - \frac{4}{5}a^{4n}b^5 - \frac{4}{9}a^{2n-2}b^6 + \frac{16}{25}a^{6n+2}b^4 =$

$= \frac{9}{25}a^{6n+2}b^4 + (\frac{4}{5}a^{4n}b^5 - \frac{4}{5}a^{4n}b^5) + (\frac{4}{9}a^{2n-2}b^6 - \frac{4}{9}a^{2n-2}b^6) + \frac{16}{25}a^{6n+2}b^4 =$

$= \frac{9}{25}a^{6n+2}b^4 + 0 + 0 + \frac{16}{25}a^{6n+2}b^4 = (\frac{9}{25} + \frac{16}{25})a^{6n+2}b^4 = \frac{25}{25}a^{6n+2}b^4 = a^{6n+2}b^4$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество, преобразовав его левую часть.

$(\frac{5}{6}x^{2n-1}y^n - \frac{3}{5}x^{n+1}y^2)^2 - \frac{1}{36}x^{3n}y^{n+2}(25x^{n-2}y^{n-2} - 36)$

Раскроем скобки. Первое слагаемое — это квадрат разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(\frac{5}{6}x^{2n-1}y^n)^2 - 2 \cdot (\frac{5}{6}x^{2n-1}y^n) \cdot (\frac{3}{5}x^{n+1}y^2) + (\frac{3}{5}x^{n+1}y^2)^2 = $

$= \frac{25}{36}x^{2(2n-1)}y^{2n} - \frac{30}{30}x^{(2n-1)+(n+1)}y^{n+2} + \frac{9}{25}x^{2(n+1)}y^{2 \cdot 2} = $

$= \frac{25}{36}x^{4n-2}y^{2n} - x^{3n}y^{n+2} + \frac{9}{25}x^{2n+2}y^4$.

Теперь раскроем скобки во втором слагаемом исходного выражения:

$- \frac{1}{36}x^{3n}y^{n+2}(25x^{n-2}y^{n-2} - 36) = - (\frac{1}{36}x^{3n}y^{n+2} \cdot 25x^{n-2}y^{n-2}) - (\frac{1}{36}x^{3n}y^{n+2} \cdot (-36)) = $

$= - \frac{25}{36}x^{3n+(n-2)}y^{(n+2)+(n-2)} + \frac{36}{36}x^{3n}y^{n+2} = - \frac{25}{36}x^{4n-2}y^{2n} + x^{3n}y^{n+2}$.

Подставим полученные выражения в левую часть тождества:

$(\frac{25}{36}x^{4n-2}y^{2n} - x^{3n}y^{n+2} + \frac{9}{25}x^{2n+2}y^4) - \frac{25}{36}x^{4n-2}y^{2n} + x^{3n}y^{n+2} =$

$= (\frac{25}{36}x^{4n-2}y^{2n} - \frac{25}{36}x^{4n-2}y^{2n}) + (-x^{3n}y^{n+2} + x^{3n}y^{n+2}) + \frac{9}{25}x^{2n+2}y^4 =$

$= 0 + 0 + \frac{9}{25}x^{2n+2}y^4 = \frac{9}{25}x^{2n+2}y^4$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.