Номер 32.31, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.31. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения равно отрицательному числу:

1) $5(3-5a)^2 - 5(3a-7)(3a+7) - 80a^2 + 150a - 300;$

2) $3(a-1)^2 + 5(a+1)(a-1) - 8a^2 + 6a;$

3) $(m-1)^2 - 4(m+1)^2 + 3m^2 + 10m;$

4) $5(1-y)^2 - (3+y)^2 - 4y^2 + 16y.$

1) Упростим выражение $5(3 - 5a)^2 - 5(3a - 7)(3a + 7) - 80a^2 + 150a - 300$.

Для этого раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и разность квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

$5(3 - 5a)^2 = 5(3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5a + (5a)^2) = 5(9 - 30a + 25a^2) = 45 - 150a + 125a^2$.

$-5(3a - 7)(3a + 7) = -5((3a)^2 - 7^2) = -5(9a^2 - 49) = -45a^2 + 245$.

Теперь подставим полученные раскрытые скобки в исходное выражение:

$45 - 150a + 125a^2 - 45a^2 + 245 - 80a^2 + 150a - 300$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(125a^2 - 45a^2 - 80a^2) + (-150a + 150a) + (45 + 245 - 300) = 0 \cdot a^2 + 0 \cdot a - 10 = -10$.

Значение выражения равно $-10$ при любом значении переменной $a$. Число $-10$ является отрицательным. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: $-10$.

2) Упростим выражение $3(a - 1)^2 + 5(a + 1)(a - 1) - 8a^2 + 6a$.

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и разности квадратов.

$3(a - 1)^2 = 3(a^2 - 2a + 1) = 3a^2 - 6a + 3$.

$5(a + 1)(a - 1) = 5(a^2 - 1^2) = 5(a^2 - 1) = 5a^2 - 5$.

Подставим в исходное выражение:

$3a^2 - 6a + 3 + 5a^2 - 5 - 8a^2 + 6a$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3a^2 + 5a^2 - 8a^2) + (-6a + 6a) + (3 - 5) = 0 \cdot a^2 + 0 \cdot a - 2 = -2$.

Значение выражения равно $-2$ при любом значении переменной $a$. Число $-2$ является отрицательным. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: $-2$.

3) Упростим выражение $(m - 1)^2 - 4(m + 1)^2 + 3m^2 + 10m$.

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(m - 1)^2 = m^2 - 2m + 1$.

$-4(m + 1)^2 = -4(m^2 + 2m + 1) = -4m^2 - 8m - 4$.

Подставим в исходное выражение:

$m^2 - 2m + 1 - 4m^2 - 8m - 4 + 3m^2 + 10m$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(m^2 - 4m^2 + 3m^2) + (-2m - 8m + 10m) + (1 - 4) = 0 \cdot m^2 + 0 \cdot m - 3 = -3$.

Значение выражения равно $-3$ при любом значении переменной $m$. Число $-3$ является отрицательным. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: $-3$.

4) Упростим выражение $5(1 - y)^2 - (3 + y)^2 - 4y^2 + 16y$.

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы.

$5(1 - y)^2 = 5(1 - 2y + y^2) = 5 - 10y + 5y^2$.

$-(3 + y)^2 = -(9 + 6y + y^2) = -9 - 6y - y^2$.

Подставим в исходное выражение:

$5 - 10y + 5y^2 - 9 - 6y - y^2 - 4y^2 + 16y$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(5y^2 - y^2 - 4y^2) + (-10y - 6y + 16y) + (5 - 9) = 0 \cdot y^2 + 0 \cdot y - 4 = -4$.

Значение выражения равно $-4$ при любом значении переменной $y$. Число $-4$ является отрицательным. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: $-4$.