Номер 32.24, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.24. Представьте в виде квадрата двучлена трехчлен:

1) $x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$;

2) $\frac{x^2}{y^2} - 2 + \frac{y^2}{x^2}$;

3) $\frac{a^2}{b^2} - 2a + b^2$;

4) $\frac{a^2}{4b^2} + 2 + \frac{4b^2}{a^2}$;

5) $\frac{1}{4x^2} + 1 + x^2$;

6) $\frac{9x^2}{4y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{9x^2}$.

Для представления трехчлена в виде квадрата двучлена используются формулы сокращенного умножения:

Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

В каждом случае необходимо определить слагаемые, которые являются квадратами некоторых выражений ($a^2$ и $b^2$), а затем проверить, соответствует ли оставшееся слагаемое удвоенному произведению этих выражений ($2ab$ или $-2ab$).

1) $x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Этот трехчлен соответствует формуле квадрата суммы.Первый член - это квадрат $x$: $x^2 = (x)^2$.Третий член - это квадрат $\frac{1}{x}$: $\frac{1}{x^2} = (\frac{1}{x})^2$.Средний член - это удвоенное произведение $x$ и $\frac{1}{x}$: $2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2$.Следовательно, $x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = (x + \frac{1}{x})^2$.

Ответ: $(x + \frac{1}{x})^2$

2) $\frac{x^2}{y^2} - 2 + \frac{y^2}{x^2}$

Этот трехчлен соответствует формуле квадрата разности.Первый член - это квадрат $\frac{x}{y}$: $\frac{x^2}{y^2} = (\frac{x}{y})^2$.Третий член - это квадрат $\frac{y}{x}$: $\frac{y^2}{x^2} = (\frac{y}{x})^2$.Средний член - это минус удвоенное произведение $\frac{x}{y}$ и $\frac{y}{x}$: $-2 \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x} = -2$.Следовательно, $\frac{x^2}{y^2} - 2 + \frac{y^2}{x^2} = (\frac{x}{y})^2 - 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^2 = (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})^2$.

Ответ: $(\frac{x}{y} - \frac{y}{x})^2$

3) $\frac{a^2}{b^2} - 2a + b^2$

Этот трехчлен соответствует формуле квадрата разности.Первый член - это квадрат $\frac{a}{b}$: $\frac{a^2}{b^2} = (\frac{a}{b})^2$.Третий член - это квадрат $b$: $b^2 = (b)^2$.Средний член - это минус удвоенное произведение $\frac{a}{b}$ и $b$: $-2 \cdot \frac{a}{b} \cdot b = -2a$.Следовательно, $\frac{a^2}{b^2} - 2a + b^2 = (\frac{a}{b})^2 - 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot b + (b)^2 = (\frac{a}{b} - b)^2$.

Ответ: $(\frac{a}{b} - b)^2$

4) $\frac{a^2}{4b^2} + 2 + \frac{4b^2}{a^2}$

Этот трехчлен соответствует формуле квадрата суммы.Первый член - это квадрат $\frac{a}{2b}$: $\frac{a^2}{4b^2} = (\frac{a}{2b})^2$.Третий член - это квадрат $\frac{2b}{a}$: $\frac{4b^2}{a^2} = (\frac{2b}{a})^2$.Средний член - это удвоенное произведение $\frac{a}{2b}$ и $\frac{2b}{a}$: $2 \cdot \frac{a}{2b} \cdot \frac{2b}{a} = 2$.Следовательно, $\frac{a^2}{4b^2} + 2 + \frac{4b^2}{a^2} = (\frac{a}{2b})^2 + 2 \cdot \frac{a}{2b} \cdot \frac{2b}{a} + (\frac{2b}{a})^2 = (\frac{a}{2b} + \frac{2b}{a})^2$.

Ответ: $(\frac{a}{2b} + \frac{2b}{a})^2$

5) $\frac{1}{4x^2} + 1 + x^2$

Переставим слагаемые для удобства: $x^2 + 1 + \frac{1}{4x^2}$. Этот трехчлен соответствует формуле квадрата суммы.Первый член - это квадрат $x$: $x^2 = (x)^2$.Третий член - это квадрат $\frac{1}{2x}$: $\frac{1}{4x^2} = (\frac{1}{2x})^2$.Средний член - это удвоенное произведение $x$ и $\frac{1}{2x}$: $2 \cdot x \cdot \frac{1}{2x} = 1$.Следовательно, $x^2 + 1 + \frac{1}{4x^2} = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2x} + (\frac{1}{2x})^2 = (x + \frac{1}{2x})^2$.

Ответ: $(x + \frac{1}{2x})^2$

6) $\frac{9x^2}{4y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{9x^2}$

Этот трехчлен соответствует формуле квадрата разности.Первый член - это квадрат $\frac{3x}{2y}$: $\frac{9x^2}{4y^2} = (\frac{3x}{2y})^2$.Третий член - это квадрат $\frac{1}{3x}$: $\frac{1}{9x^2} = (\frac{1}{3x})^2$.Средний член - это минус удвоенное произведение $\frac{3x}{2y}$ и $\frac{1}{3x}$: $-2 \cdot \frac{3x}{2y} \cdot \frac{1}{3x} = -\frac{6x}{6xy} = -\frac{1}{y}$.Следовательно, $\frac{9x^2}{4y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{9x^2} = (\frac{3x}{2y})^2 - 2 \cdot \frac{3x}{2y} \cdot \frac{1}{3x} + (\frac{1}{3x})^2 = (\frac{3x}{2y} - \frac{1}{3x})^2$.

Ответ: $(\frac{3x}{2y} - \frac{1}{3x})^2$