Номер 32.17, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.17.

1) $x(x - 4) = 2 + (x - 1)^2;$

2) $(x + 2)(x - 3) - 3 = (x + 1)^2;$

3) $y(5 - y) = 1 - (y + 2)^2;$

4) $(y - 1)^2 - (y + 1)(y - 7) = 0.$

1) $x(x-4)=2+(x-1)^2$

Для решения уравнения раскроем скобки в обеих его частях. В левой части выполним умножение, а в правой применим формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$x \cdot x - x \cdot 4 = 2 + (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2)$

$x^2 - 4x = 2 + x^2 - 2x + 1$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения.

$x^2 - 4x = x^2 - 2x + 3$

Теперь перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а числовые слагаемые оставим в правой. Обратим внимание, что $x^2$ присутствует в обеих частях с одинаковым коэффициентом, поэтому при переносе они взаимно уничтожатся.

$x^2 - x^2 - 4x + 2x = 3$

$-2x = 3$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-2$.

$x = \frac{3}{-2}$

$x = -1,5$

Ответ: $-1,5$.

2) $(x+2)(x-3)-3=(x+1)^2$

Раскроем скобки в обеих частях. В левой части перемножим два многочлена, а в правой используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

$(x^2 - 3x + 2x - 6) - 3 = x^2 + 2x + 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части.

$x^2 - x - 9 = x^2 + 2x + 1$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую. Слагаемые $x^2$ взаимно уничтожаются.

$-x - 2x = 1 + 9$

$-3x = 10$

Разделим обе части на $-3$, чтобы найти $x$.

$x = -\frac{10}{3}$

Ответ: $-\frac{10}{3}$.

3) $y(5-y)=1-(y+2)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

$5y - y^2 = 1 - (y^2 + 4y + 4)$

Раскроем скобки в правой части, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные.

$5y - y^2 = 1 - y^2 - 4y - 4$

Приведем подобные слагаемые в правой части.

$5y - y^2 = -y^2 - 4y - 3$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть. Слагаемые $-y^2$ взаимно уничтожаются.

$5y + 4y = -3$

$9y = -3$

Найдем $y$, разделив обе части на 9.

$y = \frac{-3}{9}$

$y = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

4) $(y-1)^2-(y+1)(y-7)=0$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения и правило умножения многочленов.

$(y^2 - 2y + 1) - (y^2 - 7y + y - 7) = 0$

Приведем подобные слагаемые внутри вторых скобок.

$(y^2 - 2y + 1) - (y^2 - 6y - 7) = 0$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки всех слагаемых внутри них.

$y^2 - 2y + 1 - y^2 + 6y + 7 = 0$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $y^2$ и $-y^2$ взаимно уничтожаются.

$(-2y + 6y) + (1 + 7) = 0$

$4y + 8 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения.

$4y = -8$

Найдем $y$, разделив обе части на 4.

$y = \frac{-8}{4}$

$y = -2$

Ответ: $-2$.