Страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Представьте в виде квадрата двучлена трехчлены (32.11–32.12):

32.11. 1) $9y^2 - 12xy + 4y^2;$

2) $25t^2 + 30t + 9;$

3) $16k^2 - 40k + 25;$

4) $121a^2 - 44ac + 4c^2;$

5) $4n^2 + 52mn + 169m^2;$

6) $36t^2 - 84ts + 49s^2.$

1) Для того чтобы представить трехчлен $9y^2 - 12xy + 4x^2$ в виде квадрата двучлена, необходимо воспользоваться формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. (Примечание: в исходном выражении $9y^2 - 12xy + 4y^2$ предполагается опечатка, и для решения оно приведено к виду $9y^2 - 12xy + 4x^2$, который является полным квадратом).
Определим значения $a$ и $b$. Первый член $9y^2$ является квадратом выражения $3y$, следовательно, $a = 3y$. Третий член $4x^2$ является квадратом выражения $2x$, следовательно, $b = 2x$.
Теперь проверим, соответствует ли средний член $-12xy$ удвоенному произведению $-2ab$:
$-2ab = -2 \cdot (3y) \cdot (2x) = -12xy$.
Соответствие подтверждается. Таким образом, мы можем записать:
$9y^2 - 12xy + 4x^2 = (3y)^2 - 2(3y)(2x) + (2x)^2 = (3y-2x)^2$.
Ответ: $(3y - 2x)^2$.

2) Для трехчлена $25t^2 + 30t + 9$ используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$. Первый член $25t^2$ является квадратом от $5t$, значит $a = 5t$. Третий член $9$ является квадратом от $3$, значит $b = 3$.
Проверим средний член $30t$ на соответствие удвоенному произведению $2ab$:
$2ab = 2 \cdot (5t) \cdot 3 = 30t$.
Соответствие полное. Таким образом:
$25t^2 + 30t + 9 = (5t)^2 + 2(5t)(3) + 3^2 = (5t + 3)^2$.
Ответ: $(5t + 3)^2$.

3) Для трехчлена $16k^2 - 40k + 25$ используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$. Первый член $16k^2$ является квадратом от $4k$, значит $a = 4k$. Третий член $25$ является квадратом от $5$, значит $b = 5$.
Проверим средний член $-40k$ на соответствие $-2ab$:
$-2ab = -2 \cdot (4k) \cdot 5 = -40k$.
Соответствие полное. Таким образом:
$16k^2 - 40k + 25 = (4k)^2 - 2(4k)(5) + 5^2 = (4k - 5)^2$.
Ответ: $(4k - 5)^2$.

4) Для трехчлена $121a^2 - 44ac + 4c^2$ используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Определим $x$ и $y$. Первый член $121a^2$ является квадратом от $11a$, значит $x = 11a$. Третий член $4c^2$ является квадратом от $2c$, значит $y = 2c$.
Проверим средний член $-44ac$ на соответствие $-2xy$:
$-2xy = -2 \cdot (11a) \cdot (2c) = -44ac$.
Соответствие полное. Таким образом:
$121a^2 - 44ac + 4c^2 = (11a)^2 - 2(11a)(2c) + (2c)^2 = (11a - 2c)^2$.
Ответ: $(11a - 2c)^2$.

5) Для трехчлена $4n^2 + 52mn + 169m^2$ используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$. Первый член $4n^2$ является квадратом от $2n$, значит $a = 2n$. Третий член $169m^2$ является квадратом от $13m$, значит $b = 13m$.
Проверим средний член $52mn$ на соответствие $2ab$:
$2ab = 2 \cdot (2n) \cdot (13m) = 52mn$.
Соответствие полное. Таким образом:
$4n^2 + 52mn + 169m^2 = (2n)^2 + 2(2n)(13m) + (13m)^2 = (2n + 13m)^2$.
Ответ: $(2n + 13m)^2$.

6) Для трехчлена $36t^2 - 84ts + 49s^2$ используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$. Первый член $36t^2$ является квадратом от $6t$, значит $a = 6t$. Третий член $49s^2$ является квадратом от $7s$, значит $b = 7s$.
Проверим средний член $-84ts$ на соответствие $-2ab$:
$-2ab = -2 \cdot (6t) \cdot (7s) = -84ts$.
Соответствие полное. Таким образом:
$36t^2 - 84ts + 49s^2 = (6t)^2 - 2(6t)(7s) + (7s)^2 = (6t - 7s)^2$.
Ответ: $(6t - 7s)^2$.

32.12.

1) $0,04x^2 - 1,2xy + 9y^2;$

2) $36c^2 + 6cd + 0,25d^2;$

3) $1,96k^2 - 14kt + 25t^2;$

4) $\frac{1}{49}a^2 + \frac{2}{21}ab + \frac{1}{9}b^2;$

5) $\frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{8}xy + \frac{9}{64}y^2;$

6) $81d^2 - \frac{27}{2}cd + \frac{9}{16}c^2.$

1) Для того чтобы разложить на множители выражение $0,04x^2 - 1,2xy + 9y^2$, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В данном выражении:
Первый член $a^2 = 0,04x^2 = (0,2x)^2$, значит $a=0,2x$.
Третий член $b^2 = 9y^2 = (3y)^2$, значит $b=3y$.
Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению $a$ и $b$: $2ab = 2 \cdot 0,2x \cdot 3y = 1,2xy$.
Так как в исходном выражении средний член имеет знак минус ($-1,2xy$), мы имеем дело с квадратом разности.
Таким образом: $0,04x^2 - 1,2xy + 9y^2 = (0,2x - 3y)^2$.
Ответ: $(0,2x - 3y)^2$.

2) Для разложения выражения $36c^2 + 6cd + 0,25d^2$ на множители применим формулу квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
В данном выражении:
$a^2 = 36c^2 = (6c)^2$, значит $a=6c$.
$b^2 = 0,25d^2 = (0,5d)^2$, значит $b=0,5d$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 6c \cdot 0,5d = 6cd$.
Средний член совпадает с тем, что в исходном выражении, следовательно, это полный квадрат суммы.
Таким образом: $36c^2 + 6cd + 0,25d^2 = (6c + 0,5d)^2$.
Ответ: $(6c + 0,5d)^2$.

3) Для разложения выражения $1,96k^2 - 14kt + 25t^2$ на множители воспользуемся формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В данном выражении:
$a^2 = 1,96k^2 = (1,4k)^2$, значит $a=1,4k$.
$b^2 = 25t^2 = (5t)^2$, значит $b=5t$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 1,4k \cdot 5t = 14kt$.
Так как в исходном выражении средний член имеет знак минус ($-14kt$), это квадрат разности.
Таким образом: $1,96k^2 - 14kt + 25t^2 = (1,4k - 5t)^2$.
Ответ: $(1,4k - 5t)^2$.

4) Для разложения выражения $\frac{1}{49}a^2 + \frac{2}{21}ab + \frac{1}{9}b^2$ на множители применим формулу квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
В данном выражении:
$a^2 = \frac{1}{49}a^2 = (\frac{1}{7}a)^2$, значит $a=\frac{1}{7}a$.
$b^2 = \frac{1}{9}b^2 = (\frac{1}{3}b)^2$, значит $b=\frac{1}{3}b$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot \frac{1}{7}a \cdot \frac{1}{3}b = \frac{2}{21}ab$.
Средний член совпадает, значит, это полный квадрат суммы.
Таким образом: $\frac{1}{49}a^2 + \frac{2}{21}ab + \frac{1}{9}b^2 = (\frac{1}{7}a + \frac{1}{3}b)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{7}a + \frac{1}{3}b)^2$.

5) Для разложения выражения $\frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{8}xy + \frac{9}{64}y^2$ на множители воспользуемся формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В данном выражении:
$a^2 = \frac{1}{4}x^2 = (\frac{1}{2}x)^2$, значит $a=\frac{1}{2}x$.
$b^2 = \frac{9}{64}y^2 = (\frac{3}{8}y)^2$, значит $b=\frac{3}{8}y$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot \frac{1}{2}x \cdot \frac{3}{8}y = \frac{3}{8}xy$.
Так как в исходном выражении средний член имеет знак минус ($-\frac{3}{8}xy$), это квадрат разности.
Таким образом: $\frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{8}xy + \frac{9}{64}y^2 = (\frac{1}{2}x - \frac{3}{8}y)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{2}x - \frac{3}{8}y)^2$.

6) Для разложения выражения $81d^2 - \frac{27}{2}cd + \frac{9}{16}c^2$ на множители воспользуемся формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В данном выражении:
$a^2 = 81d^2 = (9d)^2$, значит $a=9d$.
$b^2 = \frac{9}{16}c^2 = (\frac{3}{4}c)^2$, значит $b=\frac{3}{4}c$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 9d \cdot \frac{3}{4}c = \frac{54}{4}cd = \frac{27}{2}cd$.
Так как в исходном выражении средний член имеет знак минус ($-\frac{27}{2}cd$), это квадрат разности.
Таким образом: $81d^2 - \frac{27}{2}cd + \frac{9}{16}c^2 = (9d - \frac{3}{4}c)^2$.
Ответ: $(9d - \frac{3}{4}c)^2$.

Разложите на множители трехчлены (32.13–32.14):

32.13. 1) $5x^2 + 20x + 20;$

2) $2x^2 - 12x + 18;$

3) $-3x^2 + 18x - 27;$

4) $-2y^2 - 16y - 32;$

5) $6x^2 + 12x + 6;$

6) $-10a^2 + 20a - 10.$

1) $5x^2 + 20x + 20$
Для разложения трехчлена на множители сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для коэффициентов 5, 20 и 20 является число 5.
$5x^2 + 20x + 20 = 5(x^2 + 4x + 4)$
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $x^2 + 4x + 4$. Это выражение является полным квадратом, который можно свернуть по формуле квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
В нашем случае $a=x$ и $b=2$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$. Оно совпадает со средним членом трехчлена.
Следовательно, $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.
Подставив это в наше выражение, получаем окончательный результат.
$5(x^2 + 4x + 4) = 5(x+2)^2$
Ответ: $5(x+2)^2$

2) $2x^2 - 12x + 18$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2x^2 - 12x + 18 = 2(x^2 - 6x + 9)$
Выражение в скобках $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом. Применим формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Здесь $a=x$ и $b=3$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot x \cdot 3 = 6x$.
Таким образом, $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.
Окончательное разложение на множители:
$2(x^2 - 6x + 9) = 2(x-3)^2$
Ответ: $2(x-3)^2$

3) $-3x^2 + 18x - 27$
Вынесем общий множитель -3 за скобки, чтобы сделать коэффициент при $x^2$ положительным:
$-3x^2 + 18x - 27 = -3(x^2 - 6x + 9)$
Выражение в скобках $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом, как и в предыдущем задании. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$
В результате получаем:
$-3(x^2 - 6x + 9) = -3(x-3)^2$
Ответ: $-3(x-3)^2$

4) $-2y^2 - 16y - 32$
Вынесем общий множитель -2 за скобки:
$-2y^2 - 16y - 32 = -2(y^2 + 8y + 16)$
Выражение в скобках $y^2 + 8y + 16$ является полным квадратом. Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a=y$ и $b=4$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot y \cdot 4 = 8y$.
Следовательно, $y^2 + 8y + 16 = (y+4)^2$.
Итоговое разложение:
$-2(y^2 + 8y + 16) = -2(y+4)^2$
Ответ: $-2(y+4)^2$

5) $6x^2 + 12x + 6$
Вынесем общий множитель 6 за скобки:
$6x^2 + 12x + 6 = 6(x^2 + 2x + 1)$
Выражение в скобках $x^2 + 2x + 1$ является полным квадратом. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$ и $b=1$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 1 = 2x$.
Таким образом, $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
Окончательный результат:
$6(x^2 + 2x + 1) = 6(x+1)^2$
Ответ: $6(x+1)^2$

6) $-10a^2 + 20a - 10$
Вынесем общий множитель -10 за скобки:
$-10a^2 + 20a - 10 = -10(a^2 - 2a + 1)$
Выражение в скобках $a^2 - 2a + 1$ является полным квадратом. Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x=a$ и $y=1$. Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot a \cdot 1 = 2a$.
Следовательно, $a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.
Итоговое разложение на множители:
$-10(a^2 - 2a + 1) = -10(a-1)^2$
Ответ: $-10(a-1)^2$

32.14. 1) $a^3 + 2a^2 + a;$

2) $x^2y - 6xy + 9y;$

3) $c^4 - 4c^3 + 4c^2;$

4) $2ay^2 - 4ay + 2a;$

5) $\frac{1}{9}a - \frac{8}{9}ab + \frac{16}{9}ab^2;$

6) $0.5cd - acd + 0.5a^2cd.$

1) $a^3 + 2a^2 + a$

Сначала вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(a^2 + 2a + 1)$

Выражение в скобках $a^2 + 2a + 1$ является полным квадратом, так как соответствует формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае $x=a$ и $y=1$. Проверим:

$a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = (a+1)^2$

Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители как:

$a(a+1)^2$

Ответ: $a(a+1)^2$

2) $x^2y - 6xy + 9y$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(x^2 - 6x + 9)$

Выражение в скобках $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом и соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a=x$ и $b=3$. Проверим:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$

Следовательно, окончательный вид разложения:

$y(x-3)^2$

Ответ: $y(x-3)^2$

3) $c^4 - 4c^3 + 4c^2$

Вынесем общий множитель $c^2$ за скобки:

$c^2(c^2 - 4c + 4)$

Выражение в скобках $c^2 - 4c + 4$ является полным квадратом по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a=c$ и $b=2$. Проверим:

$c^2 - 2 \cdot c \cdot 2 + 2^2 = (c-2)^2$

Значит, исходное выражение равно:

$c^2(c-2)^2$

Ответ: $c^2(c-2)^2$

4) $2ay^2 - 4ay + 2a$

Вынесем общий множитель $2a$ за скобки:

$2a(y^2 - 2y + 1)$

Выражение в скобках $y^2 - 2y + 1$ является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a=y$ и $b=1$. Проверим:

$y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 = (y-1)^2$

В результате получаем:

$2a(y-1)^2$

Ответ: $2a(y-1)^2$

5) $\frac{1}{9}a - \frac{8}{9}ab + \frac{16}{9}ab^2$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{9}a$ за скобки:

$\frac{1}{9}a(1 - 8b + 16b^2)$

Выражение в скобках $1 - 8b + 16b^2$ является полным квадратом разности. Используем формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Представим выражение в виде $1^2 - 2 \cdot 1 \cdot (4b) + (4b)^2$. Здесь $x=1$ и $y=4b$.

Таким образом, $1 - 8b + 16b^2 = (1-4b)^2$.

Окончательное разложение:

$\frac{1}{9}a(1-4b)^2$

Ответ: $\frac{1}{9}a(1-4b)^2$

6) $0,5cd - acd + 0,5a^2cd$

Вынесем общий множитель $0,5cd$ за скобки. Обратим внимание, что $acd = 2 \cdot 0,5 \cdot acd$.

$0,5cd(1 - 2a + a^2)$

Выражение в скобках $1 - 2a + a^2$ является полным квадратом разности. Используем формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Представим выражение в виде $1^2 - 2 \cdot 1 \cdot a + a^2$. Здесь $x=1$ и $y=a$.

Таким образом, $1 - 2a + a^2 = (1-a)^2$.

Окончательное разложение:

$0,5cd(1-a)^2$

Ответ: $0,5cd(1-a)^2$

Решите уравнения (32.15–32.17):

32.15. 1) $(x+11)^2 - x^2 = 11;$

2) $69 - (13 - y)^2 = -y^2;$

3) $44 + z^2 = (12 + z)^2;$

4) $31 - t^2 = -(t - 9)^2.$

1) $(x + 11)^2 - x^2 = 11$

Для решения этого уравнения раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 11 + 11^2) - x^2 = 11$

$x^2 + 22x + 121 - x^2 = 11$

Сократим $x^2$ и $-x^2$:

$22x + 121 = 11$

Теперь перенесем 121 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$22x = 11 - 121$

$22x = -110$

Разделим обе части уравнения на 22, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-110}{22}$

$x = -5$

Ответ: $-5$

2) $69 - (13 - y)^2 = -y^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$69 - (13^2 - 2 \cdot 13 \cdot y + y^2) = -y^2$

$69 - (169 - 26y + y^2) = -y^2$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:

$69 - 169 + 26y - y^2 = -y^2$

Прибавим $y^2$ к обеим частям уравнения:

$69 - 169 + 26y - y^2 + y^2 = -y^2 + y^2$

$-100 + 26y = 0$

Перенесем -100 в правую часть уравнения:

$26y = 100$

Найдем $y$:

$y = \frac{100}{26}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$y = \frac{50}{13}$

Ответ: $\frac{50}{13}$

3) $44 + z^2 = (12 + z)^2$

Раскроем скобки в правой части, используя формулу квадрата суммы:

$44 + z^2 = 12^2 + 2 \cdot 12 \cdot z + z^2$

$44 + z^2 = 144 + 24z + z^2$

Вычтем $z^2$ из обеих частей уравнения:

$44 = 144 + 24z$

Перенесем 144 в левую часть уравнения:

$44 - 144 = 24z$

$-100 = 24z$

Найдем $z$:

$z = \frac{-100}{24}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$z = -\frac{25}{6}$

Ответ: $-\frac{25}{6}$

4) $31 - t^2 = -(t - 9)^2$

Раскроем скобки в правой части, используя формулу квадрата разности:

$31 - t^2 = -(t^2 - 2 \cdot t \cdot 9 + 9^2)$

$31 - t^2 = -(t^2 - 18t + 81)$

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные:

$31 - t^2 = -t^2 + 18t - 81$

Прибавим $t^2$ к обеим частям уравнения:

$31 = 18t - 81$

Перенесем -81 в левую часть уравнения:

$31 + 81 = 18t$

$112 = 18t$

Найдем $t$:

$t = \frac{112}{18}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$t = \frac{56}{9}$

Ответ: $\frac{56}{9}$

32.16.

1) $(a - 3)^2 - (a + 8)(a - 8) = 0;$

2) $(9 - b)(b + 9) + (4 - b)^2 = 0;$

3) $(c - 6)^2 - (7 + c)^2 = 0;$

4) $(d - 10)^2 + (4 - d)(d + 4) = 0.$

1) $(a-3)^2-(a+8)(a-8)=0$

Для решения этого уравнения раскроем скобки. Первое слагаемое — это квадрат разности, а второе — произведение разности и суммы, которое равно разности квадратов. Используем формулы сокращенного умножения: $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ и $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$.

$(a-3)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9$

$(a+8)(a-8) = a^2 - 8^2 = a^2 - 64$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(a^2-6a+9)-(a^2-64)=0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2-6a+9-a^2+64=0$

$(a^2-a^2)-6a+(9+64)=0$

$-6a+73=0$

Перенесем 73 в правую часть уравнения:

$-6a=-73$

$6a=73$

$a = \frac{73}{6}$

$a = 12\frac{1}{6}$

Ответ: $12\frac{1}{6}$.

2) $(9-b)(b+9)+(4-b)^2=0$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения. Первое слагаемое — это произведение разности и суммы, второе — квадрат разности.

$(9-b)(b+9) = (9-b)(9+b) = 9^2 - b^2 = 81 - b^2$

$(4-b)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot b + b^2 = 16 - 8b + b^2$

Подставим в уравнение:

$(81-b^2)+(16-8b+b^2)=0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$81-b^2+16-8b+b^2=0$

$(-b^2+b^2)-8b+(81+16)=0$

$-8b+97=0$

Решим линейное уравнение:

$-8b=-97$

$8b=97$

$b = \frac{97}{8}$

$b = 12\frac{1}{8}$

Ответ: $12\frac{1}{8}$.

3) $(c-6)^2-(7+c)^2=0$

Это уравнение представляет собой разность квадратов $x^2 - y^2 = 0$, где $x=c-6$ и $y=7+c$. Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

$((c-6)-(7+c))((c-6)+(7+c))=0$

Раскроем внутренние скобки и упростим каждый множитель:

Первый множитель: $(c-6-7-c) = (c-c)+(-6-7) = -13$

Второй множитель: $(c-6+7+c) = (c+c)+(-6+7) = 2c+1$

Получаем уравнение:

$-13(2c+1)=0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как $-13 \neq 0$, то второй множитель должен быть равен нулю:

$2c+1=0$

$2c=-1$

$c = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-0.5$.

4) $(d-10)^2+(4-d)(d+4)=0$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности и формулу разности квадратов.

$(d-10)^2 = d^2 - 2 \cdot d \cdot 10 + 10^2 = d^2 - 20d + 100$

$(4-d)(d+4) = (4-d)(4+d) = 4^2 - d^2 = 16 - d^2$

Подставим полученные выражения в уравнение:

$(d^2 - 20d + 100) + (16 - d^2) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$d^2 - 20d + 100 + 16 - d^2 = 0$

$(d^2 - d^2) - 20d + (100 + 16) = 0$

$-20d + 116 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$-20d = -116$

$20d = 116$

$d = \frac{116}{20} = \frac{29 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{29}{5} = 5.8$

Ответ: $5.8$.

32.17.

1) $x(x - 4) = 2 + (x - 1)^2;$

2) $(x + 2)(x - 3) - 3 = (x + 1)^2;$

3) $y(5 - y) = 1 - (y + 2)^2;$

4) $(y - 1)^2 - (y + 1)(y - 7) = 0.$

1) $x(x-4)=2+(x-1)^2$

Для решения уравнения раскроем скобки в обеих его частях. В левой части выполним умножение, а в правой применим формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$x \cdot x - x \cdot 4 = 2 + (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2)$

$x^2 - 4x = 2 + x^2 - 2x + 1$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения.

$x^2 - 4x = x^2 - 2x + 3$

Теперь перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а числовые слагаемые оставим в правой. Обратим внимание, что $x^2$ присутствует в обеих частях с одинаковым коэффициентом, поэтому при переносе они взаимно уничтожатся.

$x^2 - x^2 - 4x + 2x = 3$

$-2x = 3$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-2$.

$x = \frac{3}{-2}$

$x = -1,5$

Ответ: $-1,5$.

2) $(x+2)(x-3)-3=(x+1)^2$

Раскроем скобки в обеих частях. В левой части перемножим два многочлена, а в правой используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

$(x^2 - 3x + 2x - 6) - 3 = x^2 + 2x + 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части.

$x^2 - x - 9 = x^2 + 2x + 1$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую. Слагаемые $x^2$ взаимно уничтожаются.

$-x - 2x = 1 + 9$

$-3x = 10$

Разделим обе части на $-3$, чтобы найти $x$.

$x = -\frac{10}{3}$

Ответ: $-\frac{10}{3}$.

3) $y(5-y)=1-(y+2)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

$5y - y^2 = 1 - (y^2 + 4y + 4)$

Раскроем скобки в правой части, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные.

$5y - y^2 = 1 - y^2 - 4y - 4$

Приведем подобные слагаемые в правой части.

$5y - y^2 = -y^2 - 4y - 3$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть. Слагаемые $-y^2$ взаимно уничтожаются.

$5y + 4y = -3$

$9y = -3$

Найдем $y$, разделив обе части на 9.

$y = \frac{-3}{9}$

$y = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

4) $(y-1)^2-(y+1)(y-7)=0$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения и правило умножения многочленов.

$(y^2 - 2y + 1) - (y^2 - 7y + y - 7) = 0$

Приведем подобные слагаемые внутри вторых скобок.

$(y^2 - 2y + 1) - (y^2 - 6y - 7) = 0$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки всех слагаемых внутри них.

$y^2 - 2y + 1 - y^2 + 6y + 7 = 0$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $y^2$ и $-y^2$ взаимно уничтожаются.

$(-2y + 6y) + (1 + 7) = 0$

$4y + 8 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения.

$4y = -8$

Найдем $y$, разделив обе части на 4.

$y = \frac{-8}{4}$

$y = -2$

Ответ: $-2$.

Решите неравенства (32.18–32.20):

32.18. 1) $n^2-(n+1)^2 > 2;$ 2) $(1-t)^2-t^2 > 3;$

3) $(m-2)^2-41 < m^2;$ 4) $m^2+9 < (1-m)^2.$

1) Решим неравенство $n^2 - (n + 1)^2 > 2$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$n^2 - (n^2 + 2n + 1) > 2$
Уберем скобки, изменив знаки слагаемых внутри них на противоположные:
$n^2 - n^2 - 2n - 1 > 2$
Приведем подобные слагаемые:
$-2n - 1 > 2$
Перенесем -1 в правую часть неравенства с противоположным знаком:
$-2n > 2 + 1$
$-2n > 3$
Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$n < -\frac{3}{2}$
$n < -1,5$
Ответ: $(-\infty; -1,5)$.

2) Решим неравенство $(1 - t)^2 - t^2 > 3$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(1 - 2t + t^2) - t^2 > 3$
Приведем подобные слагаемые:
$1 - 2t > 3$
Перенесем 1 в правую часть неравенства с противоположным знаком:
$-2t > 3 - 1$
$-2t > 2$
Разделим обе части неравенства на -2, изменив знак неравенства на противоположный:
$t < \frac{2}{-2}$
$t < -1$
Ответ: $(-\infty; -1)$.

3) Решим неравенство $(m - 2)^2 - 41 < m^2$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(m^2 - 4m + 4) - 41 < m^2$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$m^2 - 4m - 37 < m^2$
Перенесем слагаемое $m^2$ из правой части в левую:
$m^2 - m^2 - 4m - 37 < 0$
$-4m - 37 < 0$
Перенесем -37 в правую часть с противоположным знаком:
$-4m < 37$
Разделим обе части неравенства на -4, изменив знак неравенства на противоположный:
$m > -\frac{37}{4}$
$m > -9,25$
Ответ: $(-9,25; +\infty)$.

4) Решим неравенство $m^2 + 9 < (1 - m)^2$.
Раскроем скобки в правой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$m^2 + 9 < 1 - 2m + m^2$
Перенесем все слагаемые с переменной $m$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую:
$m^2 - m^2 + 2m < 1 - 9$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:
$2m < -8$
Разделим обе части неравенства на 2. Знак неравенства при этом не меняется:
$m < \frac{-8}{2}$
$m < -4$
Ответ: $(-\infty; -4)$.

32.19.

1) $x(x - 5) - (x - 3)^2 < 0;$

2) $(4 + y)^2 - y(6 + y) > 0;$

3) $(17 - y)^2 > y(y - 13) - 5;$

4) $z(z - 10) > (3 - z)^2.$

1) Преобразуем левую часть неравенства $x(x-5) - (x-3)^2 < 0$. Для этого раскроем скобки, используя правило умножения одночлена на многочлен и формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
$x^2 - 5x - (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) < 0$
$x^2 - 5x - (x^2 - 6x + 9) < 0$
Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус:
$x^2 - 5x - x^2 + 6x - 9 < 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-5x + 6x) - 9 < 0$
$x - 9 < 0$
Перенесем свободный член в правую часть неравенства:
$x < 9$
Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 9)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 9)$.

2) Решим неравенство $(4+y)^2 - y(6+y) > 0$. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и правило умножения одночлена на многочлен.
$(4^2 + 2 \cdot 4 \cdot y + y^2) - (6y + y^2) > 0$
$(16 + 8y + y^2) - 6y - y^2 > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(y^2 - y^2) + (8y - 6y) + 16 > 0$
$2y + 16 > 0$
Перенесем свободный член в правую часть неравенства:
$2y > -16$
Разделим обе части неравенства на 2:
$y > -8$
Решением неравенства является числовой промежуток $(-8; +\infty)$.
Ответ: $y \in (-8; +\infty)$.

3) Решим неравенство $(17-y)^2 > y(y-13) - 5$. Раскроем скобки в обеих частях неравенства.
$(17^2 - 2 \cdot 17 \cdot y + y^2) > y^2 - 13y - 5$
$289 - 34y + y^2 > y^2 - 13y - 5$
Перенесем члены, содержащие переменную, в левую часть, а постоянные члены — в правую, меняя их знаки на противоположные:
$y^2 - y^2 - 34y + 13y > -5 - 289$
Приведем подобные слагаемые:
$-21y > -294$
Разделим обе части неравенства на -21. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
$y < \frac{-294}{-21}$
$y < 14$
Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 14)$.
Ответ: $y \in (-\infty; 14)$.

4) Решим неравенство $z(z-10) > (3-z)^2$. Раскроем скобки в обеих частях неравенства.
$z^2 - 10z > 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot z + z^2$
$z^2 - 10z > 9 - 6z + z^2$
Перенесем все члены из правой части в левую, меняя знаки на противоположные:
$z^2 - 10z - 9 + 6z - z^2 > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(z^2 - z^2) + (-10z + 6z) - 9 > 0$
$-4z - 9 > 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$-4z > 9$
Разделим обе части неравенства на -4, меняя знак неравенства на противоположный:
$z < -\frac{9}{4}$
$z < -2,25$
Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; -2,25)$.
Ответ: $z \in (-\infty; -2,25)$.

32.20.

1) $(x + 9)(x - 2) - (x - 2)^2 > 0;$

2) $(10 - x)^2 + (x + 10)(10 - x) < 0;$

3) $(5 - x)(x + 5) + (x - 5)^2 > 0;$

4) $(4 + x)(2 - x) + (1 - x)^2 > 0.$

1) Решим неравенство $(x + 9)(x - 2) - (x - 2)^2 > 0$.
Для решения вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:
$(x - 2)((x + 9) - (x - 2)) > 0$
Раскроем внутренние скобки во втором множителе:
$(x - 2)(x + 9 - x + 2) > 0$
Приведем подобные слагаемые во втором множителе:
$(x - 2)(11) > 0$
$11(x - 2) > 0$
Разделим обе части неравенства на положительное число 11, знак неравенства при этом не изменится:
$x - 2 > 0$
$x > 2$
Решением неравенства является числовой промежуток $(2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2) Решим неравенство $(10 - x)^2 + (x + 10)(10 - x) < 0$.
Вынесем общий множитель $(10 - x)$ за скобки:
$(10 - x)((10 - x) + (x + 10)) < 0$
Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:
$(10 - x)(10 - x + x + 10) < 0$
$(10 - x)(20) < 0$
$20(10 - x) < 0$
Разделим обе части неравенства на 20, знак неравенства не изменится:
$10 - x < 0$
Перенесем $x$ в правую часть:
$10 < x$
Решением неравенства является числовой промежуток $(10; +\infty)$.
Ответ: $x \in (10; +\infty)$.

3) Решим неравенство $(5 - x)(x + 5) + (x - 5)^2 > 0$.
Заметим, что $(5 - x) = -(x - 5)$. Подставим это в неравенство:
$-(x - 5)(x + 5) + (x - 5)^2 > 0$
Теперь вынесем общий множитель $(x - 5)$ за скобки:
$(x - 5)(-(x + 5) + (x - 5)) > 0$
Раскроем внутренние скобки:
$(x - 5)(-x - 5 + x - 5) > 0$
Приведем подобные слагаемые во втором множителе:
$(x - 5)(-10) > 0$
$-10(x - 5) > 0$
Разделим обе части неравенства на -10. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x - 5 < 0$
$x < 5$
Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 5)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 5)$.

4) Решим неравенство $(4 + x)(2 - x) + (1 - x)^2 > 0$.
В этом неравенстве нет общего множителя, поэтому раскроем скобки и упростим выражение.
Произведение $(4 + x)(2 - x) = 8 - 4x + 2x - x^2 = -x^2 - 2x + 8$.
Квадрат разности $(1 - x)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot x + x^2 = 1 - 2x + x^2$.
Подставим раскрытые выражения в неравенство:
$(-x^2 - 2x + 8) + (1 - 2x + x^2) > 0$
Уберем скобки и приведем подобные слагаемые:
$-x^2 - 2x + 8 + 1 - 2x + x^2 > 0$
$(-x^2 + x^2) + (-2x - 2x) + (8 + 1) > 0$
$-4x + 9 > 0$
Это линейное неравенство. Перенесем 9 в правую часть с противоположным знаком:
$-4x > -9$
Разделим обе части неравенства на -4, изменив знак неравенства на противоположный:
$x < \frac{-9}{-4}$
$x < \frac{9}{4}$
Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; \frac{9}{4})$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{9}{4})$.