Номер 32.13, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Разложите на множители трехчлены (32.13–32.14):

32.13. 1) $5x^2 + 20x + 20;$

2) $2x^2 - 12x + 18;$

3) $-3x^2 + 18x - 27;$

4) $-2y^2 - 16y - 32;$

5) $6x^2 + 12x + 6;$

6) $-10a^2 + 20a - 10.$

1) $5x^2 + 20x + 20$
Для разложения трехчлена на множители сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для коэффициентов 5, 20 и 20 является число 5.
$5x^2 + 20x + 20 = 5(x^2 + 4x + 4)$
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $x^2 + 4x + 4$. Это выражение является полным квадратом, который можно свернуть по формуле квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
В нашем случае $a=x$ и $b=2$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$. Оно совпадает со средним членом трехчлена.
Следовательно, $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.
Подставив это в наше выражение, получаем окончательный результат.
$5(x^2 + 4x + 4) = 5(x+2)^2$
Ответ: $5(x+2)^2$

2) $2x^2 - 12x + 18$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2x^2 - 12x + 18 = 2(x^2 - 6x + 9)$
Выражение в скобках $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом. Применим формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Здесь $a=x$ и $b=3$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot x \cdot 3 = 6x$.
Таким образом, $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.
Окончательное разложение на множители:
$2(x^2 - 6x + 9) = 2(x-3)^2$
Ответ: $2(x-3)^2$

3) $-3x^2 + 18x - 27$
Вынесем общий множитель -3 за скобки, чтобы сделать коэффициент при $x^2$ положительным:
$-3x^2 + 18x - 27 = -3(x^2 - 6x + 9)$
Выражение в скобках $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом, как и в предыдущем задании. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$
В результате получаем:
$-3(x^2 - 6x + 9) = -3(x-3)^2$
Ответ: $-3(x-3)^2$

4) $-2y^2 - 16y - 32$
Вынесем общий множитель -2 за скобки:
$-2y^2 - 16y - 32 = -2(y^2 + 8y + 16)$
Выражение в скобках $y^2 + 8y + 16$ является полным квадратом. Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a=y$ и $b=4$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot y \cdot 4 = 8y$.
Следовательно, $y^2 + 8y + 16 = (y+4)^2$.
Итоговое разложение:
$-2(y^2 + 8y + 16) = -2(y+4)^2$
Ответ: $-2(y+4)^2$

5) $6x^2 + 12x + 6$
Вынесем общий множитель 6 за скобки:
$6x^2 + 12x + 6 = 6(x^2 + 2x + 1)$
Выражение в скобках $x^2 + 2x + 1$ является полным квадратом. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$ и $b=1$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 1 = 2x$.
Таким образом, $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
Окончательный результат:
$6(x^2 + 2x + 1) = 6(x+1)^2$
Ответ: $6(x+1)^2$

6) $-10a^2 + 20a - 10$
Вынесем общий множитель -10 за скобки:
$-10a^2 + 20a - 10 = -10(a^2 - 2a + 1)$
Выражение в скобках $a^2 - 2a + 1$ является полным квадратом. Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x=a$ и $y=1$. Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot a \cdot 1 = 2a$.
Следовательно, $a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.
Итоговое разложение на множители:
$-10(a^2 - 2a + 1) = -10(a-1)^2$
Ответ: $-10(a-1)^2$