Номер 32.11, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Представьте в виде квадрата двучлена трехчлены (32.11–32.12):

32.11. 1) $9y^2 - 12xy + 4y^2;$

2) $25t^2 + 30t + 9;$

3) $16k^2 - 40k + 25;$

4) $121a^2 - 44ac + 4c^2;$

5) $4n^2 + 52mn + 169m^2;$

6) $36t^2 - 84ts + 49s^2.$

1) Для того чтобы представить трехчлен $9y^2 - 12xy + 4x^2$ в виде квадрата двучлена, необходимо воспользоваться формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. (Примечание: в исходном выражении $9y^2 - 12xy + 4y^2$ предполагается опечатка, и для решения оно приведено к виду $9y^2 - 12xy + 4x^2$, который является полным квадратом).
Определим значения $a$ и $b$. Первый член $9y^2$ является квадратом выражения $3y$, следовательно, $a = 3y$. Третий член $4x^2$ является квадратом выражения $2x$, следовательно, $b = 2x$.
Теперь проверим, соответствует ли средний член $-12xy$ удвоенному произведению $-2ab$:
$-2ab = -2 \cdot (3y) \cdot (2x) = -12xy$.
Соответствие подтверждается. Таким образом, мы можем записать:
$9y^2 - 12xy + 4x^2 = (3y)^2 - 2(3y)(2x) + (2x)^2 = (3y-2x)^2$.
Ответ: $(3y - 2x)^2$.

2) Для трехчлена $25t^2 + 30t + 9$ используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$. Первый член $25t^2$ является квадратом от $5t$, значит $a = 5t$. Третий член $9$ является квадратом от $3$, значит $b = 3$.
Проверим средний член $30t$ на соответствие удвоенному произведению $2ab$:
$2ab = 2 \cdot (5t) \cdot 3 = 30t$.
Соответствие полное. Таким образом:
$25t^2 + 30t + 9 = (5t)^2 + 2(5t)(3) + 3^2 = (5t + 3)^2$.
Ответ: $(5t + 3)^2$.

3) Для трехчлена $16k^2 - 40k + 25$ используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$. Первый член $16k^2$ является квадратом от $4k$, значит $a = 4k$. Третий член $25$ является квадратом от $5$, значит $b = 5$.
Проверим средний член $-40k$ на соответствие $-2ab$:
$-2ab = -2 \cdot (4k) \cdot 5 = -40k$.
Соответствие полное. Таким образом:
$16k^2 - 40k + 25 = (4k)^2 - 2(4k)(5) + 5^2 = (4k - 5)^2$.
Ответ: $(4k - 5)^2$.

4) Для трехчлена $121a^2 - 44ac + 4c^2$ используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Определим $x$ и $y$. Первый член $121a^2$ является квадратом от $11a$, значит $x = 11a$. Третий член $4c^2$ является квадратом от $2c$, значит $y = 2c$.
Проверим средний член $-44ac$ на соответствие $-2xy$:
$-2xy = -2 \cdot (11a) \cdot (2c) = -44ac$.
Соответствие полное. Таким образом:
$121a^2 - 44ac + 4c^2 = (11a)^2 - 2(11a)(2c) + (2c)^2 = (11a - 2c)^2$.
Ответ: $(11a - 2c)^2$.

5) Для трехчлена $4n^2 + 52mn + 169m^2$ используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$. Первый член $4n^2$ является квадратом от $2n$, значит $a = 2n$. Третий член $169m^2$ является квадратом от $13m$, значит $b = 13m$.
Проверим средний член $52mn$ на соответствие $2ab$:
$2ab = 2 \cdot (2n) \cdot (13m) = 52mn$.
Соответствие полное. Таким образом:
$4n^2 + 52mn + 169m^2 = (2n)^2 + 2(2n)(13m) + (13m)^2 = (2n + 13m)^2$.
Ответ: $(2n + 13m)^2$.

6) Для трехчлена $36t^2 - 84ts + 49s^2$ используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$. Первый член $36t^2$ является квадратом от $6t$, значит $a = 6t$. Третий член $49s^2$ является квадратом от $7s$, значит $b = 7s$.
Проверим средний член $-84ts$ на соответствие $-2ab$:
$-2ab = -2 \cdot (6t) \cdot (7s) = -84ts$.
Соответствие полное. Таким образом:
$36t^2 - 84ts + 49s^2 = (6t)^2 - 2(6t)(7s) + (7s)^2 = (6t - 7s)^2$.
Ответ: $(6t - 7s)^2$.