Номер 32.6, страница 201 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.6.1) $\frac{4}{9} + \frac{4}{3} a + a^2;$

2) $\frac{9}{25} + \frac{6}{5} b + b^2;$

3) $\frac{16}{49} + \frac{8}{7} c + c^2;$

4) $\frac{100}{121} k^2 - \frac{20}{11} tk + t^2;$

5) $m^2 - \frac{22}{13} mn + \frac{121}{169} n^2;$

6) $\frac{400}{441} t^2 + \frac{40}{21} nt + n^2.$

1) Данный трехчлен $\frac{4}{9} + \frac{4}{3}a + a^2$ нужно представить в виде квадрата двучлена. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем выражении мы можем определить $x$ и $y$. Пусть $y^2 = a^2$, тогда $y=a$. Пусть $x^2 = \frac{4}{9}$, тогда $x=\frac{2}{3}$.

Теперь проверим, соответствует ли средний член выражения удвоенному произведению $2xy$.

$2xy = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot a = \frac{4}{3}a$.

Это значение совпадает со средним членом исходного выражения. Следовательно, выражение является полным квадратом суммы.

$\frac{4}{9} + \frac{4}{3}a + a^2 = (\frac{2}{3})^2 + 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot a + a^2 = (\frac{2}{3} + a)^2$.

Ответ: $(\frac{2}{3} + a)^2$

2) Рассмотрим выражение $\frac{9}{25} + \frac{6}{5}b + b^2$. Снова применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Определим $x$ и $y$. Пусть $x^2 = \frac{9}{25}$, тогда $x = \frac{3}{5}$. Пусть $y^2 = b^2$, тогда $y=b$.

Проверим средний член, который должен быть равен удвоенному произведению $2xy$.

$2xy = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot b = \frac{6}{5}b$.

Средний член совпадает, значит, выражение можно свернуть в квадрат суммы.

$\frac{9}{25} + \frac{6}{5}b + b^2 = (\frac{3}{5})^2 + 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot b + b^2 = (\frac{3}{5} + b)^2$.

Ответ: $(\frac{3}{5} + b)^2$

3) Для выражения $\frac{16}{49} + \frac{8}{7}c + c^2$ используем ту же формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Здесь $x^2 = \frac{16}{49}$, что дает $x = \frac{4}{7}$. И $y^2 = c^2$, что дает $y=c$.

Проверим удвоенное произведение $2xy$:

$2xy = 2 \cdot \frac{4}{7} \cdot c = \frac{8}{7}c$.

Это соответствует второму члену выражения, поэтому выражение является полным квадратом.

$\frac{16}{49} + \frac{8}{7}c + c^2 = (\frac{4}{7})^2 + 2 \cdot \frac{4}{7} \cdot c + c^2 = (\frac{4}{7} + c)^2$.

Ответ: $(\frac{4}{7} + c)^2$

4) Рассмотрим выражение $\frac{100}{121}k^2 - \frac{20}{11}tk + t^2$. Из-за знака "минус" перед средним членом, будем использовать формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Определим $x$ и $y$. Пусть $x^2 = \frac{100}{121}k^2$, тогда $x = \frac{10}{11}k$. Пусть $y^2 = t^2$, тогда $y = t$.

Проверим удвоенное произведение со знаком минус, $-2xy$:

$-2xy = -2 \cdot \frac{10}{11}k \cdot t = -\frac{20}{11}tk$.

Это совпадает со вторым членом выражения. Значит, выражение можно свернуть в квадрат разности.

$\frac{100}{121}k^2 - \frac{20}{11}tk + t^2 = (\frac{10}{11}k)^2 - 2 \cdot \frac{10}{11}k \cdot t + t^2 = (\frac{10}{11}k - t)^2$.

Ответ: $(\frac{10}{11}k - t)^2$

5) Дано выражение $m^2 - \frac{22}{13}mn + \frac{121}{169}n^2$. Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x^2 = m^2$, значит $x = m$. Третий член $y^2 = \frac{121}{169}n^2$, значит $y = \frac{11}{13}n$.

Проверим средний член $-2xy$:

$-2xy = -2 \cdot m \cdot \frac{11}{13}n = -\frac{22}{13}mn$.

Он совпадает со средним членом в исходном выражении. Следовательно, выражение является полным квадратом разности.

$m^2 - \frac{22}{13}mn + \frac{121}{169}n^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot \frac{11}{13}n + (\frac{11}{13}n)^2 = (m - \frac{11}{13}n)^2$.

Ответ: $(m - \frac{11}{13}n)^2$

6) Рассмотрим выражение $\frac{400}{441}t^2 + \frac{40}{21}nt + n^2$. Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Первый член $x^2 = \frac{400}{441}t^2$. Так как $\sqrt{400}=20$ и $\sqrt{441}=21$, то $x = \frac{20}{21}t$.

Третий член $y^2 = n^2$, откуда $y = n$.

Проверим удвоенное произведение $2xy$:

$2xy = 2 \cdot \frac{20}{21}t \cdot n = \frac{40}{21}nt$.

Это совпадает со вторым членом выражения. Таким образом, мы можем представить выражение в виде квадрата суммы.

$\frac{400}{441}t^2 + \frac{40}{21}nt + n^2 = (\frac{20}{21}t)^2 + 2 \cdot \frac{20}{21}t \cdot n + n^2 = (\frac{20}{21}t + n)^2$.

Ответ: $(\frac{20}{21}t + n)^2$