Страница 201 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.2.1)

1) $(a + \frac{1}{7})^2$;

2) $(\frac{1}{9} + b)^2$;

3) $(\frac{n}{4} + \frac{m}{3})^2$;

4) $(\frac{k}{2} - \frac{t}{5})^2$;

5) $(4 \frac{1}{3} - x)^2$;

6) $(y + 3 \frac{1}{4})^2$;

7) $(z - 5 \frac{1}{5})^2$;

8) $(4 \frac{1}{2} + t)^2$.

1) Для раскрытия скобок применим формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном случае $x = a$ и $y = \frac{1}{7}$.

$(a + \frac{1}{7})^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{7} + (\frac{1}{7})^2 = a^2 + \frac{2}{7}a + \frac{1}{49}$.

Ответ: $a^2 + \frac{2}{7}a + \frac{1}{49}$.

2) Используем ту же формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Здесь $x = \frac{1}{9}$ и $y = b$.

$(\frac{1}{9} + b)^2 = (\frac{1}{9})^2 + 2 \cdot \frac{1}{9} \cdot b + b^2 = \frac{1}{81} + \frac{2}{9}b + b^2$.

Ответ: $\frac{1}{81} + \frac{2}{9}b + b^2$.

3) Применяем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(\frac{n}{4} + \frac{m}{3})^2 = (\frac{n}{4})^2 + 2 \cdot \frac{n}{4} \cdot \frac{m}{3} + (\frac{m}{3})^2 = \frac{n^2}{16} + \frac{2nm}{12} + \frac{m^2}{9}$.

Сократим средний член: $\frac{2nm}{12} = \frac{nm}{6}$.

Окончательный результат: $\frac{n^2}{16} + \frac{nm}{6} + \frac{m^2}{9}$.

Ответ: $\frac{n^2}{16} + \frac{nm}{6} + \frac{m^2}{9}$.

4) В этом примере используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(\frac{k}{2} - \frac{t}{5})^2 = (\frac{k}{2})^2 - 2 \cdot \frac{k}{2} \cdot \frac{t}{5} + (\frac{t}{5})^2 = \frac{k^2}{4} - \frac{2kt}{10} + \frac{t^2}{25}$.

Сократим средний член: $\frac{2kt}{10} = \frac{kt}{5}$.

Получаем: $\frac{k^2}{4} - \frac{kt}{5} + \frac{t^2}{25}$.

Ответ: $\frac{k^2}{4} - \frac{kt}{5} + \frac{t^2}{25}$.

5) Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Предварительно представим смешанное число в виде неправильной дроби: $4\frac{1}{3} = \frac{13}{3}$.

$(4\frac{1}{3} - x)^2 = (\frac{13}{3} - x)^2 = (\frac{13}{3})^2 - 2 \cdot \frac{13}{3} \cdot x + x^2 = \frac{169}{9} - \frac{26}{3}x + x^2$.

Теперь преобразуем дроби в смешанные числа: $\frac{169}{9} = 18\frac{7}{9}$ и $\frac{26}{3} = 8\frac{2}{3}$.

Окончательный результат: $18\frac{7}{9} - 8\frac{2}{3}x + x^2$.

Ответ: $18\frac{7}{9} - 8\frac{2}{3}x + x^2$.

6) Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{1}{4} = \frac{13}{4}$.

$(y + 3\frac{1}{4})^2 = (y + \frac{13}{4})^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{13}{4} + (\frac{13}{4})^2 = y^2 + \frac{26}{4}y + \frac{169}{16}$.

Упростим средний член: $\frac{26}{4}y = \frac{13}{2}y$. Выражение принимает вид: $y^2 + \frac{13}{2}y + \frac{169}{16}$.

Преобразуем дроби в смешанные числа: $\frac{13}{2} = 6\frac{1}{2}$ и $\frac{169}{16} = 10\frac{9}{16}$.

Итоговый результат: $y^2 + 6\frac{1}{2}y + 10\frac{9}{16}$.

Ответ: $y^2 + 6\frac{1}{2}y + 10\frac{9}{16}$.

7) Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $5\frac{1}{5} = \frac{26}{5}$.

$(z - 5\frac{1}{5})^2 = (z - \frac{26}{5})^2 = z^2 - 2 \cdot z \cdot \frac{26}{5} + (\frac{26}{5})^2 = z^2 - \frac{52}{5}z + \frac{676}{25}$.

Преобразуем дроби в смешанные числа: $\frac{52}{5} = 10\frac{2}{5}$ и $\frac{676}{25} = 27\frac{1}{25}$.

Конечный вид выражения: $z^2 - 10\frac{2}{5}z + 27\frac{1}{25}$.

Ответ: $z^2 - 10\frac{2}{5}z + 27\frac{1}{25}$.

8) Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$.

$(4\frac{1}{2} + t)^2 = (\frac{9}{2} + t)^2 = (\frac{9}{2})^2 + 2 \cdot \frac{9}{2} \cdot t + t^2 = \frac{81}{4} + 9t + t^2$.

Преобразуем дробь в смешанное число: $\frac{81}{4} = 20\frac{1}{4}$.

Итоговое выражение: $20\frac{1}{4} + 9t + t^2$.

Ответ: $20\frac{1}{4} + 9t + t^2$.

32.3. Вычислите, представив в виде суммы или разности основание степени:

1) $101^2$;

2) $102^2$;

3) $103^2$;

4) $104^2$;

5) $99^2$;

6) $98^2$;

7) $97^2$;

8) $96^2$.

1) Для вычисления $101^2$ представим основание степени 101 в виде суммы $100 + 1$ и воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$101^2 = (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$.
Ответ: 10201.

2) Для вычисления $102^2$ представим основание степени 102 в виде суммы $100 + 2$ и воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$102^2 = (100 + 2)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$.
Ответ: 10404.

3) Для вычисления $103^2$ представим основание степени 103 в виде суммы $100 + 3$ и воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$103^2 = (100 + 3)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 3 + 3^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609$.
Ответ: 10609.

4) Для вычисления $104^2$ представим основание степени 104 в виде суммы $100 + 4$ и воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$104^2 = (100 + 4)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 4 + 4^2 = 10000 + 800 + 16 = 10816$.
Ответ: 10816.

5) Для вычисления $99^2$ представим основание степени 99 в виде разности $100 - 1$ и воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$99^2 = (100 - 1)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$.
Ответ: 9801.

6) Для вычисления $98^2$ представим основание степени 98 в виде разности $100 - 2$ и воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$98^2 = (100 - 2)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604$.
Ответ: 9604.

7) Для вычисления $97^2$ представим основание степени 97 в виде разности $100 - 3$ и воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$97^2 = (100 - 3)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 3 + 3^2 = 10000 - 600 + 9 = 9409$.
Ответ: 9409.

8) Для вычисления $96^2$ представим основание степени 96 в виде разности $100 - 4$ и воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$96^2 = (100 - 4)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 4 + 4^2 = 10000 - 800 + 16 = 9216$.
Ответ: 9216.

Представьте в виде квадрата двучлена трехчлены (32.4–32.7):

32.4.1) $a^2 + 2a + 1;$

2) $b^2 - 8b + 16;$

3) $c^2 + 10c + 25;$

4) $n^2 + 14n + 49;$

5) $100 - 20z + z^2;$

6) $81 + 18b + b^2.$

1) Для представления трехчлена $a^2 + 2a + 1$ в виде квадрата двучлена используется формула квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В данном выражении $x^2 = a^2$, следовательно, $x=a$.
$y^2 = 1$, следовательно, $y=1$.
Проверим, соответствует ли средний член формуле: $2xy = 2 \cdot a \cdot 1 = 2a$.
Все условия выполняются, значит, выражение можно записать в виде квадрата суммы.
$a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$.
Ответ: $(a+1)^2$.

2) Для представления трехчлена $b^2 - 8b + 16$ в виде квадрата двучлена используется формула квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном выражении $x^2 = b^2$, следовательно, $x=b$.
$y^2 = 16$, следовательно, $y=4$.
Проверим, соответствует ли средний член формуле (без учета знака): $2xy = 2 \cdot b \cdot 4 = 8b$.
Так как средний член в исходном выражении отрицательный ($-8b$), мы используем формулу квадрата разности.
$b^2 - 8b + 16 = (b-4)^2$.
Ответ: $(b-4)^2$.

3) Для представления трехчлена $c^2 + 10c + 25$ в виде квадрата двучлена используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = c^2$, откуда $x=c$.
$y^2 = 25$, откуда $y=5$.
Проверяем средний член: $2xy = 2 \cdot c \cdot 5 = 10c$.
Выражение полностью соответствует формуле квадрата суммы.
$c^2 + 10c + 25 = (c+5)^2$.
Ответ: $(c+5)^2$.

4) Для представления трехчлена $n^2 + 14n + 49$ в виде квадрата двучлена используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = n^2$, значит $x=n$.
$y^2 = 49$, значит $y=7$.
Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot n \cdot 7 = 14n$.
Все слагаемые соответствуют формуле.
$n^2 + 14n + 49 = (n+7)^2$.
Ответ: $(n+7)^2$.

5) Для представления трехчлена $100 - 20z + z^2$ в виде квадрата двучлена используется формула квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном выражении $x^2 = 100$, следовательно, $x=10$.
$y^2 = z^2$, следовательно, $y=z$.
Проверим, соответствует ли средний член формуле (без учета знака): $2xy = 2 \cdot 10 \cdot z = 20z$.
Так как средний член в исходном выражении отрицательный ($-20z$), мы используем формулу квадрата разности.
$100 - 20z + z^2 = (10-z)^2$.
Ответ: $(10-z)^2$.

6) Для представления трехчлена $81 + 18b + b^2$ в виде квадрата двучлена используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = 81$, значит $x=9$.
$y^2 = b^2$, значит $y=b$.
Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot 9 \cdot b = 18b$.
Все слагаемые соответствуют формуле квадрата суммы.
$81 + 18b + b^2 = (9+b)^2$.
Ответ: $(9+b)^2$.

32.5.1) $0,16 - 0,8t + t^2;$

2) $z^2 + 1,4z + 0,49;$

3) $0,36 - 1,2b + b^2;$

4) $2,25 - 3x + x^2;$

5) $y^2 - 3,2y + 2,56;$

6) $3,61 + 3,8d + d^2.$

1) Данное выражение $0,16 - 0,8t + t^2$ представляет собой трехчлен. Чтобы представить его в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Определим значения $a$ и $b$.
Первый член $a^2 = 0,16$, следовательно $a = \sqrt{0,16} = 0,4$.
Третий член $b^2 = t^2$, следовательно $b = t$.
Проверим, соответствует ли средний член $-0,8t$ удвоенному произведению $-2ab$.
$-2ab = -2 \cdot 0,4 \cdot t = -0,8t$.
Все условия формулы выполняются, значит:
$0,16 - 0,8t + t^2 = (0,4)^2 - 2 \cdot 0,4 \cdot t + t^2 = (0,4 - t)^2$.
Ответ: $(0,4 - t)^2$.

2) Данное выражение $z^2 + 1,4z + 0,49$ представляет собой трехчлен. Чтобы представить его в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Определим значения $a$ и $b$.
Первый член $a^2 = z^2$, следовательно $a = z$.
Третий член $b^2 = 0,49$, следовательно $b = \sqrt{0,49} = 0,7$.
Проверим, соответствует ли средний член $1,4z$ удвоенному произведению $2ab$.
$2ab = 2 \cdot z \cdot 0,7 = 1,4z$.
Все условия формулы выполняются, значит:
$z^2 + 1,4z + 0,49 = z^2 + 2 \cdot z \cdot 0,7 + (0,7)^2 = (z + 0,7)^2$.
Ответ: $(z + 0,7)^2$.

3) Данное выражение $0,36 - 1,2b + b^2$ представляет собой трехчлен. Чтобы представить его в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Определим значения $a$ и $b$.
Первый член $a^2 = 0,36$, следовательно $a = \sqrt{0,36} = 0,6$.
Третий член $b^2 = b^2$, следовательно $b = b$.
Проверим, соответствует ли средний член $-1,2b$ удвоенному произведению $-2ab$.
$-2ab = -2 \cdot 0,6 \cdot b = -1,2b$.
Все условия формулы выполняются, значит:
$0,36 - 1,2b + b^2 = (0,6)^2 - 2 \cdot 0,6 \cdot b + b^2 = (0,6 - b)^2$.
Ответ: $(0,6 - b)^2$.

4) Данное выражение $2,25 - 3x + x^2$ представляет собой трехчлен. Чтобы представить его в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Определим значения $a$ и $b$.
Первый член $a^2 = 2,25$, следовательно $a = \sqrt{2,25} = 1,5$.
Третий член $b^2 = x^2$, следовательно $b = x$.
Проверим, соответствует ли средний член $-3x$ удвоенному произведению $-2ab$.
$-2ab = -2 \cdot 1,5 \cdot x = -3x$.
Все условия формулы выполняются, значит:
$2,25 - 3x + x^2 = (1,5)^2 - 2 \cdot 1,5 \cdot x + x^2 = (1,5 - x)^2$.
Ответ: $(1,5 - x)^2$.

5) Данное выражение $y^2 - 3,2y + 2,56$ представляет собой трехчлен. Чтобы представить его в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Определим значения $a$ и $b$.
Первый член $a^2 = y^2$, следовательно $a = y$.
Третий член $b^2 = 2,56$, следовательно $b = \sqrt{2,56} = 1,6$.
Проверим, соответствует ли средний член $-3,2y$ удвоенному произведению $-2ab$.
$-2ab = -2 \cdot y \cdot 1,6 = -3,2y$.
Все условия формулы выполняются, значит:
$y^2 - 3,2y + 2,56 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 1,6 + (1,6)^2 = (y - 1,6)^2$.
Ответ: $(y - 1,6)^2$.

6) Данное выражение $3,61 + 3,8d + d^2$ представляет собой трехчлен. Чтобы представить его в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Определим значения $a$ и $b$.
Первый член $a^2 = 3,61$, следовательно $a = \sqrt{3,61} = 1,9$.
Третий член $b^2 = d^2$, следовательно $b = d$.
Проверим, соответствует ли средний член $3,8d$ удвоенному произведению $2ab$.
$2ab = 2 \cdot 1,9 \cdot d = 3,8d$.
Все условия формулы выполняются, значит:
$3,61 + 3,8d + d^2 = (1,9)^2 + 2 \cdot 1,9 \cdot d + d^2 = (1,9 + d)^2$.
Ответ: $(1,9 + d)^2$.

32.6.1) $\frac{4}{9} + \frac{4}{3} a + a^2;$

2) $\frac{9}{25} + \frac{6}{5} b + b^2;$

3) $\frac{16}{49} + \frac{8}{7} c + c^2;$

4) $\frac{100}{121} k^2 - \frac{20}{11} tk + t^2;$

5) $m^2 - \frac{22}{13} mn + \frac{121}{169} n^2;$

6) $\frac{400}{441} t^2 + \frac{40}{21} nt + n^2.$

1) Данный трехчлен $\frac{4}{9} + \frac{4}{3}a + a^2$ нужно представить в виде квадрата двучлена. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем выражении мы можем определить $x$ и $y$. Пусть $y^2 = a^2$, тогда $y=a$. Пусть $x^2 = \frac{4}{9}$, тогда $x=\frac{2}{3}$.

Теперь проверим, соответствует ли средний член выражения удвоенному произведению $2xy$.

$2xy = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot a = \frac{4}{3}a$.

Это значение совпадает со средним членом исходного выражения. Следовательно, выражение является полным квадратом суммы.

$\frac{4}{9} + \frac{4}{3}a + a^2 = (\frac{2}{3})^2 + 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot a + a^2 = (\frac{2}{3} + a)^2$.

Ответ: $(\frac{2}{3} + a)^2$

2) Рассмотрим выражение $\frac{9}{25} + \frac{6}{5}b + b^2$. Снова применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Определим $x$ и $y$. Пусть $x^2 = \frac{9}{25}$, тогда $x = \frac{3}{5}$. Пусть $y^2 = b^2$, тогда $y=b$.

Проверим средний член, который должен быть равен удвоенному произведению $2xy$.

$2xy = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot b = \frac{6}{5}b$.

Средний член совпадает, значит, выражение можно свернуть в квадрат суммы.

$\frac{9}{25} + \frac{6}{5}b + b^2 = (\frac{3}{5})^2 + 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot b + b^2 = (\frac{3}{5} + b)^2$.

Ответ: $(\frac{3}{5} + b)^2$

3) Для выражения $\frac{16}{49} + \frac{8}{7}c + c^2$ используем ту же формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Здесь $x^2 = \frac{16}{49}$, что дает $x = \frac{4}{7}$. И $y^2 = c^2$, что дает $y=c$.

Проверим удвоенное произведение $2xy$:

$2xy = 2 \cdot \frac{4}{7} \cdot c = \frac{8}{7}c$.

Это соответствует второму члену выражения, поэтому выражение является полным квадратом.

$\frac{16}{49} + \frac{8}{7}c + c^2 = (\frac{4}{7})^2 + 2 \cdot \frac{4}{7} \cdot c + c^2 = (\frac{4}{7} + c)^2$.

Ответ: $(\frac{4}{7} + c)^2$

4) Рассмотрим выражение $\frac{100}{121}k^2 - \frac{20}{11}tk + t^2$. Из-за знака "минус" перед средним членом, будем использовать формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Определим $x$ и $y$. Пусть $x^2 = \frac{100}{121}k^2$, тогда $x = \frac{10}{11}k$. Пусть $y^2 = t^2$, тогда $y = t$.

Проверим удвоенное произведение со знаком минус, $-2xy$:

$-2xy = -2 \cdot \frac{10}{11}k \cdot t = -\frac{20}{11}tk$.

Это совпадает со вторым членом выражения. Значит, выражение можно свернуть в квадрат разности.

$\frac{100}{121}k^2 - \frac{20}{11}tk + t^2 = (\frac{10}{11}k)^2 - 2 \cdot \frac{10}{11}k \cdot t + t^2 = (\frac{10}{11}k - t)^2$.

Ответ: $(\frac{10}{11}k - t)^2$

5) Дано выражение $m^2 - \frac{22}{13}mn + \frac{121}{169}n^2$. Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x^2 = m^2$, значит $x = m$. Третий член $y^2 = \frac{121}{169}n^2$, значит $y = \frac{11}{13}n$.

Проверим средний член $-2xy$:

$-2xy = -2 \cdot m \cdot \frac{11}{13}n = -\frac{22}{13}mn$.

Он совпадает со средним членом в исходном выражении. Следовательно, выражение является полным квадратом разности.

$m^2 - \frac{22}{13}mn + \frac{121}{169}n^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot \frac{11}{13}n + (\frac{11}{13}n)^2 = (m - \frac{11}{13}n)^2$.

Ответ: $(m - \frac{11}{13}n)^2$

6) Рассмотрим выражение $\frac{400}{441}t^2 + \frac{40}{21}nt + n^2$. Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Первый член $x^2 = \frac{400}{441}t^2$. Так как $\sqrt{400}=20$ и $\sqrt{441}=21$, то $x = \frac{20}{21}t$.

Третий член $y^2 = n^2$, откуда $y = n$.

Проверим удвоенное произведение $2xy$:

$2xy = 2 \cdot \frac{20}{21}t \cdot n = \frac{40}{21}nt$.

Это совпадает со вторым членом выражения. Таким образом, мы можем представить выражение в виде квадрата суммы.

$\frac{400}{441}t^2 + \frac{40}{21}nt + n^2 = (\frac{20}{21}t)^2 + 2 \cdot \frac{20}{21}t \cdot n + n^2 = (\frac{20}{21}t + n)^2$.

Ответ: $(\frac{20}{21}t + n)^2$

32.7.1) $\frac{25}{4} + 5x + x^2;$

2) $\frac{9}{16} - \frac{3}{2}y + y^2;$

3) $\frac{49}{36} - \frac{7}{3}z + z^2;$

4) $n^2 - \frac{9}{4}cn + \frac{81}{64}c^2;$

5) $m^2 + \frac{11}{6}m + \frac{121}{144};$

6) $t^2 - \frac{17}{5}dt + \frac{289}{100}d^2.$

1) Данный трехчлен $\frac{25}{4} + 5x + x^2$ можно представить в виде квадрата двучлена, используя формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Чтобы применить формулу, определим $a$ и $b$. В данном выражении первый член $(\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$, значит $a = \frac{5}{2}$. Третий член $x^2$, значит $b = x$. Теперь проверим, соответствует ли второй член удвоенному произведению $2ab$. $2 \cdot \frac{5}{2} \cdot x = 5x$. Это совпадает со вторым членом исходного выражения. Следовательно, выражение является полным квадратом суммы.$\frac{25}{4} + 5x + x^2 = (\frac{5}{2})^2 + 2 \cdot \frac{5}{2} \cdot x + x^2 = (\frac{5}{2} + x)^2$.
Ответ: $(\frac{5}{2} + x)^2$.

2) Трехчлен $\frac{9}{16} - \frac{3}{

Упростите выражения (32.8–32.10):

32.8.1) $(x+5) \cdot 6 + (x-3)^2$

2) $(y-4)^2 - (y+2) \cdot 8$

3) $26 - a^2 - (5-a)^2$

4) $(k+7)^2 - 14k - 50$

5) $0,3 + b^2 - (b-0,5)^2$

6) $15 + (0,4+c)^2 - 0,8c^2$

1) Для упрощения выражения $(x+5) \cdot 6 + (x-3)^2$ сначала раскроем скобки. Первое слагаемое: $6(x+5) = 6x + 30$. Второе слагаемое является квадратом разности, который раскрывается по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$. Теперь сложим полученные выражения: $(6x + 30) + (x^2 - 6x + 9)$. Приведем подобные члены: $x^2 + (6x - 6x) + (30 + 9) = x^2 + 39$.
Ответ: $x^2 + 39$.

2) Упростим выражение $(y-4)^2 - (y+2) \cdot 8$. Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(y-4)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 = y^2 - 8y + 16$. Раскроем вторые скобки: $-(y+2) \cdot 8 = -8y - 16$. Объединим полученные части: $(y^2 - 8y + 16) - 8y - 16$. Приведем подобные члены: $y^2 + (-8y - 8y) + (16 - 16) = y^2 - 16y$.
Ответ: $y^2 - 16y$.

3) Упростим выражение $26 - a^2 - (5-a)^2$. Раскроем квадрат разности $(5-a)^2$ по формуле: $(5-a)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot a + a^2 = 25 - 10a + a^2$. Подставим это в исходное выражение: $26 - a^2 - (25 - 10a + a^2)$. Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные: $26 - a^2 - 25 + 10a - a^2$. Приведем подобные члены: $(-a^2 - a^2) + 10a + (26 - 25) = -2a^2 + 10a + 1$.
Ответ: $-2a^2 + 10a + 1$.

4) Упростим выражение $(k+7)^2 - 14k - 50$. Раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $(k+7)^2 = k^2 + 2 \cdot k \cdot 7 + 7^2 = k^2 + 14k + 49$. Подставим это в исходное выражение: $(k^2 + 14k + 49) - 14k - 50$. Приведем подобные члены: $k^2 + (14k - 14k) + (49 - 50) = k^2 - 1$.
Ответ: $k^2 - 1$.

5) Упростим выражение $0,3 + b^2 - (b-0,5)^2$. Сначала раскроем квадрат разности: $(b-0,5)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 0,5 + (0,5)^2 = b^2 - b + 0,25$. Подставим результат в исходное выражение: $0,3 + b^2 - (b^2 - b + 0,25)$. Раскроем скобки, меняя знаки: $0,3 + b^2 - b^2 + b - 0,25$. Приведем подобные члены: $(b^2 - b^2) + b + (0,3 - 0,25) = b + 0,05$.
Ответ: $b + 0,05$.

6) Упростим выражение $15 + (0,4+c)^2 - 0,8c^2$. Раскроем квадрат суммы: $(0,4+c)^2 = (0,4)^2 + 2 \cdot 0,4 \cdot c + c^2 = 0,16 + 0,8c + c^2$. Подставим это в исходное выражение: $15 + (0,16 + 0,8c + c^2) - 0,8c^2$. Уберем скобки: $15 + 0,16 + 0,8c + c^2 - 0,8c^2$. Приведем подобные члены: $(c^2 - 0,8c^2) + 0,8c + (15 + 0,16) = 0,2c^2 + 0,8c + 15,16$.
Ответ: $0,2c^2 + 0,8c + 15,16$.

32.9.1) $(a - 4b)^2 - 8ab - 17b;$

2) $-9c^2 + (3c + d)^2 - d^2;$

3) $(5a - 6)^2 - (5a - 6)(5a + 6);$

4) $(7b - t)(t + 7b) + (7b + t)^2;$

5) $(9 - 8b)(2b + 3) + (4b - 1)^2;$

6) $(11c + 3)^2 - 2c(5,5c + 33).$

1) Упростим выражение $(a - 4b)^2 - 8ab - 17b$.
Сначала раскроем квадрат разности по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(a - 4b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4b + (4b)^2 = a^2 - 8ab + 16b^2$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$(a^2 - 8ab + 16b^2) - 8ab - 17b$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 - 8ab + 16b^2 - 8ab - 17b = a^2 + (-8ab - 8ab) + 16b^2 - 17b = a^2 - 16ab + 16b^2 - 17b$.

Ответ: $a^2 - 16ab + 16b^2 - 17b$.

2) Упростим выражение $-9c^2 + (3c + d)^2 - d^2$.
Раскроем квадрат суммы по формуле $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(3c + d)^2 = (3c)^2 + 2 \cdot 3c \cdot d + d^2 = 9c^2 + 6cd + d^2$.
Подставим в исходное выражение:
$-9c^2 + (9c^2 + 6cd + d^2) - d^2$.
Уберем скобки и приведем подобные слагаемые:
$-9c^2 + 9c^2 + 6cd + d^2 - d^2 = (-9c^2 + 9c^2) + 6cd + (d^2 - d^2) = 0 + 6cd + 0 = 6cd$.

Ответ: $6cd$.

3) Упростим выражение $(5a - 6)^2 - (5a - 6)(5a + 6)$.
Раскроем квадрат разности:
$(5a - 6)^2 = (5a)^2 - 2 \cdot 5a \cdot 6 + 6^2 = 25a^2 - 60a + 36$.
Раскроем произведение по формуле разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:
$(5a - 6)(5a + 6) = (5a)^2 - 6^2 = 25a^2 - 36$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$(25a^2 - 60a + 36) - (25a^2 - 36) = 25a^2 - 60a + 36 - 25a^2 + 36$.
Приведем подобные слагаемые:
$(25a^2 - 25a^2) - 60a + (36 + 36) = -60a + 72$.

Ответ: $-60a + 72$.

4) Упростим выражение $(7b - t)(t + 7b) + (7b + t)^2$.
Заметим, что $(t + 7b)$ можно записать как $(7b + t)$. Тогда выражение примет вид:
$(7b - t)(7b + t) + (7b + t)^2$.
Первое слагаемое является разностью квадратов: $(7b - t)(7b + t) = (7b)^2 - t^2 = 49b^2 - t^2$.
Второе слагаемое — квадрат суммы: $(7b + t)^2 = (7b)^2 + 2 \cdot 7b \cdot t + t^2 = 49b^2 + 14bt + t^2$.
Сложим полученные выражения:
$(49b^2 - t^2) + (49b^2 + 14bt + t^2) = 49b^2 - t^2 + 49b^2 + 14bt + t^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(49b^2 + 49b^2) + 14bt + (-t^2 + t^2) = 98b^2 + 14bt$.

Ответ: $98b^2 + 14bt$.

5) Упростим выражение $(9 - 8b)(2b + 3) + (4b - 1)^2$.
Раскроем скобки в первом произведении:
$(9 - 8b)(2b + 3) = 9 \cdot 2b + 9 \cdot 3 - 8b \cdot 2b - 8b \cdot 3 = 18b + 27 - 16b^2 - 24b = -16b^2 - 6b + 27$.
Раскроем квадрат разности:
$(4b - 1)^2 = (4b)^2 - 2 \cdot 4b \cdot 1 + 1^2 = 16b^2 - 8b + 1$.
Сложим полученные многочлены:
$(-16b^2 - 6b + 27) + (16b^2 - 8b + 1) = -16b^2 - 6b + 27 + 16b^2 - 8b + 1$.
Приведем подобные слагаемые:
$(-16b^2 + 16b^2) + (-6b - 8b) + (27 + 1) = -14b + 28$.

Ответ: $-14b + 28$.

6) Упростим выражение $(11c + 3)^2 - 2c(5,5c + 33)$.
Раскроем квадрат суммы:
$(11c + 3)^2 = (11c)^2 + 2 \cdot 11c \cdot 3 + 3^2 = 121c^2 + 66c + 9$.
Раскроем скобки во втором слагаемом, умножив $-2c$ на каждый член в скобках (запятая в $5,5c$ означает десятичную дробь):
$-2c(5.5c + 33) = -2c \cdot 5.5c - 2c \cdot 33 = -11c^2 - 66c$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$(121c^2 + 66c + 9) + (-11c^2 - 66c) = 121c^2 + 66c + 9 - 11c^2 - 66c$.
Приведем подобные слагаемые:
$(121c^2 - 11c^2) + (66c - 66c) + 9 = 110c^2 + 9$.

Ответ: $110c^2 + 9$.

32.10.1) $a(a - 2b) - (3b + a)^2;$

2) $(m + 8)^2 - (m - 2n)(m + 2n);$

3) $3(b - 10)^2 + 8b - 5b^2;$

4) $(n + 15)^2 - n(n - 19);$

5) $4c (9c - 3) - (6c + 1)^2;$

6) $(6 - 5m)(5m + 6) + (5m - 4)^2.$

1) $a(a - 2b) - (3b + a)^2$

Для упрощения данного выражения необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
Сначала раскроем первую скобку, умножив $a$ на каждый член в скобках: $a(a - 2b) = a^2 - 2ab$.
Затем раскроем вторую скобку, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:
$(3b + a)^2 = (3b)^2 + 2 \cdot (3b) \cdot a + a^2 = 9b^2 + 6ab + a^2$.
Теперь подставим полученные выражения в исходное:
$a^2 - 2ab - (9b^2 + 6ab + a^2)$.
Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные, так как перед скобкой стоит минус:
$a^2 - 2ab - 9b^2 - 6ab - a^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (-2ab - 6ab) - 9b^2 = 0 - 8ab - 9b^2 = -8ab - 9b^2$.
Ответ: $-9b^2 - 8ab$.

2) $(m + 8)^2 - (m - 2n)(m + 2n)$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения.
Первый член, $(m + 8)^2$, раскроем по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(m + 8)^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 8 + 8^2 = m^2 + 16m + 64$.
Второй член, $(m - 2n)(m + 2n)$, раскроем по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:
$(m - 2n)(m + 2n) = m^2 - (2n)^2 = m^2 - 4n^2$.
Подставим результаты в исходное выражение:
$(m^2 + 16m + 64) - (m^2 - 4n^2)$.
Раскроем скобки, поменяв знаки у второго выражения:
$m^2 + 16m + 64 - m^2 + 4n^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(m^2 - m^2) + 16m + 4n^2 + 64 = 4n^2 + 16m + 64$.
Ответ: $4n^2 + 16m + 64$.

3) $3(b - 10)^2 + 8b - 5b^2$

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(b - 10)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 10 + 10^2 = b^2 - 20b + 100$.
Теперь подставим это в выражение и умножим на 3:
$3(b^2 - 20b + 100) + 8b - 5b^2 = 3b^2 - 60b + 300 + 8b - 5b^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(3b^2 - 5b^2) + (-60b + 8b) + 300 = -2b^2 - 52b + 300$.
Ответ: $-2b^2 - 52b + 300$.

4) $(n + 15)^2 - n(n - 19)$

Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(n + 15)^2 = n^2 + 2 \cdot n \cdot 15 + 15^2 = n^2 + 30n + 225$.
Раскроем вторую скобку, умножив $-n$ на каждый член в скобках:
$-n(n - 19) = -n^2 + 19n$.
Сложим полученные выражения:
$(n^2 + 30n + 225) + (-n^2 + 19n) = n^2 + 30n + 225 - n^2 + 19n$.
Приведем подобные слагаемые:
$(n^2 - n^2) + (30n + 19n) + 225 = 0 + 49n + 225 = 49n + 225$.
Ответ: $49n + 225$.

5) $4c(9c - 3) - (6c + 1)^2$

Раскроем первую скобку, умножив $4c$ на каждый член в скобках:
$4c(9c - 3) = 36c^2 - 12c$.
Раскроем вторую скобку по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(6c + 1)^2 = (6c)^2 + 2 \cdot 6c \cdot 1 + 1^2 = 36c^2 + 12c + 1$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$(36c^2 - 12c) - (36c^2 + 12c + 1)$.
Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:
$36c^2 - 12c - 36c^2 - 12c - 1$.
Приведем подобные слагаемые:
$(36c^2 - 36c^2) + (-12c - 12c) - 1 = 0 - 24c - 1 = -24c - 1$.
Ответ: $-24c - 1$.

6) $(6 - 5m)(5m + 6) + (5m - 4)^2$

Для первого произведения $(6 - 5m)(5m + 6)$ поменяем слагаемые во второй скобке местами, чтобы применить формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:
$(6 - 5m)(6 + 5m) = 6^2 - (5m)^2 = 36 - 25m^2$.
Второй член $(5m - 4)^2$ раскроем по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(5m - 4)^2 = (5m)^2 - 2 \cdot 5m \cdot 4 + 4^2 = 25m^2 - 40m + 16$.
Теперь сложим полученные выражения:
$(36 - 25m^2) + (25m^2 - 40m + 16)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$36 - 25m^2 + 25m^2 - 40m + 16 = (-25m^2 + 25m^2) - 40m + (36 + 16) = -40m + 52$.
Ответ: $52 - 40m$.