Страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.13. 1) $(\frac{1}{3}a - \frac{1}{2}b)(\frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b)$;

2) $(1\frac{4}{7}x^5 - z^2)(1\frac{4}{5}x^5 + z^2)$;

3) $(\frac{2}{3}m + \frac{3}{4}n)(\frac{2}{3}m - \frac{3}{4}n)$;

4) $(m^6 - 2\frac{1}{3}n^5)(2\frac{1}{3}n^5 + m^6)$.

1) Исходное выражение: $(\frac{1}{3}a - \frac{1}{2}b)(\frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b)$.

Это выражение является произведением разности и суммы двух выражений. Для его упрощения используется формула разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

В данном случае, $x = \frac{1}{3}a$ и $y = \frac{1}{2}b$.

Применим формулу:

$(\frac{1}{3}a - \frac{1}{2}b)(\frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b) = (\frac{1}{3}a)^2 - (\frac{1}{2}b)^2$

Возведем каждый член в квадрат:

$(\frac{1}{3}a)^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot a^2 = \frac{1}{9}a^2$

$(\frac{1}{2}b)^2 = (\frac{1}{2})^2 \cdot b^2 = \frac{1}{4}b^2$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$\frac{1}{9}a^2 - \frac{1}{4}b^2$

Ответ: $\frac{1}{9}a^2 - \frac{1}{4}b^2$.

2) Исходное выражение: $(1\frac{4}{7}x^5 - z^2)(1\frac{4}{5}x^5 + z^2)$.

В этом выражении первые члены в скобках различны ($1\frac{4}{7}x^5$ и $1\frac{4}{5}x^5$), поэтому формула разности квадратов здесь не применима. Раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена.

Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$1\frac{4}{7} = \frac{7 \cdot 1 + 4}{7} = \frac{11}{7}$

$1\frac{4}{5} = \frac{5 \cdot 1 + 4}{5} = \frac{9}{5}$

Выражение принимает вид: $(\frac{11}{7}x^5 - z^2)(\frac{9}{5}x^5 + z^2)$.

Выполним умножение:

$(\frac{11}{7}x^5)(\frac{9}{5}x^5) + (\frac{11}{7}x^5)(z^2) - (z^2)(\frac{9}{5}x^5) - (z^2)(z^2)$

Вычислим каждое слагаемое:

$\frac{11 \cdot 9}{7 \cdot 5}x^{5+5} + \frac{11}{7}x^5z^2 - \frac{9}{5}x^5z^2 - z^{2+2} = \frac{99}{35}x^{10} + \frac{11}{7}x^5z^2 - \frac{9}{5}x^5z^2 - z^4$

Приведем подобные слагаемые с $x^5z^2$, найдя общий знаменатель для дробей $\frac{11}{7}$ и $\frac{9}{5}$, который равен 35:

$\frac{11}{7}x^5z^2 - \frac{9}{5}x^5z^2 = (\frac{11 \cdot 5}{35} - \frac{9 \cdot 7}{35})x^5z^2 = (\frac{55 - 63}{35})x^5z^2 = -\frac{8}{35}x^5z^2$

Объединим все члены:

$\frac{99}{35}x^{10} - \frac{8}{35}x^5z^2 - z^4$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{99}{35}$ в смешанную: $99 \div 35 = 2$ (остаток $29$), то есть $2\frac{29}{35}$.

Ответ: $2\frac{29}{35}x^{10} - \frac{8}{35}x^5z^2 - z^4$.

3) Исходное выражение: $(\frac{2}{3}m + \frac{3}{4}n)(\frac{2}{3}m - \frac{3}{4}n)$.

Это выражение является произведением суммы и разности двух выражений и вычисляется по формуле разности квадратов: $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.

Здесь $x = \frac{2}{3}m$ и $y = \frac{3}{4}n$.

Применим формулу:

$(\frac{2}{3}m + \frac{3}{4}n)(\frac{2}{3}m - \frac{3}{4}n) = (\frac{2}{3}m)^2 - (\frac{3}{4}n)^2$

Возведем в квадрат каждый член:

$(\frac{2}{3}m)^2 = \frac{4}{9}m^2$

$(\frac{3}{4}n)^2 = \frac{9}{16}n^2$

Таким образом, результат:

$\frac{4}{9}m^2 - \frac{9}{16}n^2$

Ответ: $\frac{4}{9}m^2 - \frac{9}{16}n^2$.

4) Исходное выражение: $(m^6 - 2\frac{1}{3}n^5)(2\frac{1}{3}n^5 + m^6)$.

Воспользуемся переместительным свойством сложения во второй скобке, чтобы привести выражение к стандартному виду для формулы разности квадратов: $(2\frac{1}{3}n^5 + m^6) = (m^6 + 2\frac{1}{3}n^5)$.

Теперь выражение имеет вид: $(m^6 - 2\frac{1}{3}n^5)(m^6 + 2\frac{1}{3}n^5)$.

Это формула разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, где $x = m^6$ и $y = 2\frac{1}{3}n^5$.

Применим формулу:

$(m^6)^2 - (2\frac{1}{3}n^5)^2$

Возведем в квадрат первый член:

$(m^6)^2 = m^{6 \cdot 2} = m^{12}$

Для второго члена сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную:

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Теперь возведем второй член в квадрат:

$( \frac{7}{3}n^5 )^2 = (\frac{7}{3})^2 \cdot (n^5)^2 = \frac{49}{9}n^{5 \cdot 2} = \frac{49}{9}n^{10}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{49}{9}$ обратно в смешанную: $49 \div 9 = 5$ (остаток $4$), то есть $5\frac{4}{9}$.

Запишем конечный результат:

$m^{12} - 5\frac{4}{9}n^{10}$

Ответ: $m^{12} - 5\frac{4}{9}n^{10}$.

31.14. 1) $ (0.2a - 1.3b)(0.2a + 1.3b) $;

2) $ (0.1x^3 + 2.5z)(0.1x^3 - 2.5z) $;

3) $ (a^5 - b^2)(a^5 + b^2) $;

4) $ (x^4 + y^3)(x^4 - y^3) $;

5) $ (7t^2 - 3y)(7t^2 + 3y) $;

6) $ (4a^2 + 9c^4)(4a^2 - 9c^4) $.

1) Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно формулой разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. В нашем случае $x = 0,2a$ и $y = 1,3b$. Подставим эти значения в формулу:
$(0,2a - 1,3b)(0,2a + 1,3b) = (0,2a)^2 - (1,3b)^2 = 0,2^2 \cdot a^2 - 1,3^2 \cdot b^2 = 0,04a^2 - 1,69b^2$.
Ответ: $0,04a^2 - 1,69b^2$.

2) Применим формулу разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. В данном выражении $x = 0,1x^3$ и $y = 2,5z$.
$(0,1x^3 + 2,5z)(0,1x^3 - 2,5z) = (0,1x^3)^2 - (2,5z)^2 = 0,1^2 \cdot (x^3)^2 - 2,5^2 \cdot z^2 = 0,01x^{3 \cdot 2} - 6,25z^2 = 0,01x^6 - 6,25z^2$.
Ответ: $0,01x^6 - 6,25z^2$.

3) Используем формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Здесь $x = a^5$ и $y = b^2$.
$(a^5 - b^2)(a^5 + b^2) = (a^5)^2 - (b^2)^2 = a^{5 \cdot 2} - b^{2 \cdot 2} = a^{10} - b^4$.
Ответ: $a^{10} - b^4$.

4) Воспользуемся формулой разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. В этом примере $x = x^4$ и $y = y^3$.
$(x^4 + y^3)(x^4 - y^3) = (x^4)^2 - (y^3)^2 = x^{4 \cdot 2} - y^{3 \cdot 2} = x^8 - y^6$.
Ответ: $x^8 - y^6$.

5) Применяем формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Здесь $x = 7t^2$ и $y = 3y$.
$(7t^2 - 3y)(7t^2 + 3y) = (7t^2)^2 - (3y)^2 = 7^2 \cdot (t^2)^2 - 3^2 \cdot y^2 = 49t^{2 \cdot 2} - 9y^2 = 49t^4 - 9y^2$.
Ответ: $49t^4 - 9y^2$.

6) Используем формулу разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. В данном случае $x = 4a^2$ и $y = 9c^4$.
$(4a^2 + 9c^4)(4a^2 - 9c^4) = (4a^2)^2 - (9c^4)^2 = 4^2 \cdot (a^2)^2 - 9^2 \cdot (c^4)^2 = 16a^{2 \cdot 2} - 81c^{4 \cdot 2} = 16a^4 - 81c^8$.
Ответ: $16a^4 - 81c^8$.

Разложите на множители (31.15–31.16):

31.15. 1) $x^3 - 100x$; 2) $2y^3 - 32y$; 3) $0,16y^6 - y^4$;

4) $\frac{2}{3}x^5 - \frac{8}{27}x^3$; 5) $\frac{9}{16}x^4 - \frac{16}{9}x^2$; 6) $3y^5 - \frac{3}{25}y^7$.

1) $x^3 - 100x$

Чтобы разложить на множители данное выражение, сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^3 - 100x = x(x^2 - 100)$

Выражение в скобках, $x^2 - 100$, представляет собой разность квадратов, так как $100$ можно представить как $10^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 10$, поэтому:

$x^2 - 100 = x^2 - 10^2 = (x - 10)(x + 10)$

Подставляем полученное разложение обратно в исходное выражение:

$x(x - 10)(x + 10)$

Ответ: $x(x - 10)(x + 10)$.

2) $2y^3 - 32y$

Сначала вынесем за скобки общий множитель $2y$:

$2y^3 - 32y = 2y(y^2 - 16)$

Выражение в скобках, $y^2 - 16$, является разностью квадратов, поскольку $16 = 4^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = y$ и $b = 4$.

$y^2 - 16 = y^2 - 4^2 = (y - 4)(y + 4)$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$2y(y - 4)(y + 4)$

Ответ: $2y(y - 4)(y + 4)$.

3) $0,16y^6 - y^4$

Вынесем за скобки общий множитель $y^4$ (переменная в наименьшей степени):

$0,16y^6 - y^4 = y^4(0,16y^2 - 1)$

Выражение в скобках, $0,16y^2 - 1$, является разностью квадратов. Представим $0,16y^2$ как $(0,4y)^2$ и $1$ как $1^2$.

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 0,4y$ и $b = 1$.

$0,16y^2 - 1 = (0,4y)^2 - 1^2 = (0,4y - 1)(0,4y + 1)$

Итоговое разложение:

$y^4(0,4y - 1)(0,4y + 1)$

Ответ: $y^4(0,4y - 1)(0,4y + 1)$.

4) $\frac{2}{3}x^5 - \frac{8}{27}x^3$

Найдем общий множитель. Для коэффициентов $\frac{2}{3}$ и $\frac{8}{27}$ общий множитель равен $\frac{2}{3}$. Для переменных $x^5$ и $x^3$ — $x^3$. Вынесем $\frac{2}{3}x^3$ за скобки:

$\frac{2}{3}x^5 - \frac{8}{27}x^3 = \frac{2}{3}x^3(x^2 - \frac{4}{9})$

Выражение в скобках, $x^2 - \frac{4}{9}$, является разностью квадратов, так как $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$.

По формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x$ и $b = \frac{2}{3}$, получаем:

$x^2 - (\frac{2}{3})^2 = (x - \frac{2}{3})(x + \frac{2}{3})$

Полное разложение на множители:

$\frac{2}{3}x^3(x - \frac{2}{3})(x + \frac{2}{3})$

Ответ: $\frac{2}{3}x^3(x - \frac{2}{3})(x + \frac{2}{3})$.

5) $\frac{9}{16}x^4 - \frac{16}{9}x^2$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$\frac{9}{16}x^4 - \frac{16}{9}x^2 = x^2(\frac{9}{16}x^2 - \frac{16}{9})$

Выражение в скобках является разностью квадратов, так как $\frac{9}{16}x^2 = (\frac{3}{4}x)^2$ и $\frac{16}{9} = (\frac{4}{3})^2$.

Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = \frac{3}{4}x$ и $b = \frac{4}{3}$.

$(\frac{3}{4}x)^2 - (\frac{4}{3})^2 = (\frac{3}{4}x - \frac{4}{3})(\frac{3}{4}x + \frac{4}{3})$

Таким образом, итоговое разложение:

$x^2(\frac{3}{4}x - \frac{4}{3})(\frac{3}{4}x + \frac{4}{3})$

Ответ: $x^2(\frac{3}{4}x - \frac{4}{3})(\frac{3}{4}x + \frac{4}{3})$.

6) $3y^5 - \frac{3}{25}y^7$

Вынесем за скобки общий множитель $3y^5$:

$3y^5 - \frac{3}{25}y^7 = 3y^5(1 - \frac{1}{25}y^2)$

Выражение в скобках, $1 - \frac{1}{25}y^2$, является разностью квадратов, так как $1 = 1^2$ и $\frac{1}{25}y^2 = (\frac{1}{5}y)^2$.

Используем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 1$ и $b = \frac{1}{5}y$.

$1^2 - (\frac{1}{5}y)^2 = (1 - \frac{1}{5}y)(1 + \frac{1}{5}y)$

Итоговое разложение на множители:

$3y^5(1 - \frac{1}{5}y)(1 + \frac{1}{5}y)$

Ответ: $3y^5(1 - \frac{1}{5}y)(1 + \frac{1}{5}y)$.

31.16.

1) $x^4 - 0.49y^2;$

2) $-0.64z^4 + t^6;$

3) $0.81a^8 - b^2;$

4) $\frac{361}{400}m^2 - n^{10};$

5) $c^6 - \frac{289}{324}d^4;$

6) $5.76x^{12} - \frac{4}{81}y^8.$

1) Чтобы разложить на множители выражение $x^4 - 0,49y^2$, воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Представим каждый член выражения в виде квадрата: $x^4 = (x^2)^2$ $0,49y^2 = (0,7y)^2$ Таким образом, получаем: $x^4 - 0,49y^2 = (x^2)^2 - (0,7y)^2 = (x^2 - 0,7y)(x^2 + 0,7y)$.
Ответ: $(x^2 - 0,7y)(x^2 + 0,7y)$

2) Рассмотрим выражение $-0,64z^4 + t^6$. Для удобства поменяем члены местами: $t^6 - 0,64z^4$. Применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Представим каждый член выражения в виде квадрата: $t^6 = (t^3)^2$ $0,64z^4 = (0,8z^2)^2$ Следовательно: $t^6 - 0,64z^4 = (t^3)^2 - (0,8z^2)^2 = (t^3 - 0,8z^2)(t^3 + 0,8z^2)$.
Ответ: $(t^3 - 0,8z^2)(t^3 + 0,8z^2)$

3) Для разложения выражения $0,81a^8 - b^2$ на множители используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Представим каждый член выражения в виде квадрата: $0,81a^8 = (0,9a^4)^2$ $b^2 = (b)^2$ Таким образом, получаем: $0,81a^8 - b^2 = (0,9a^4)^2 - (b)^2 = (0,9a^4 - b)(0,9a^4 + b)$.
Ответ: $(0,9a^4 - b)(0,9a^4 + b)$

4) Чтобы разложить на множители выражение $\frac{361}{400}m^2 - n^{10}$, воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Представим каждый член выражения в виде квадрата, зная, что $\sqrt{361}=19$ и $\sqrt{400}=20$: $\frac{361}{400}m^2 = (\frac{19}{20}m)^2$ $n^{10} = (n^5)^2$ Следовательно: $\frac{361}{400}m^2 - n^{10} = (\frac{19}{20}m)^2 - (n^5)^2 = (\frac{19}{20}m - n^5)(\frac{19}{20}m + n^5)$.
Ответ: $(\frac{19}{20}m - n^5)(\frac{19}{20}m + n^5)$

5) Для разложения выражения $c^6 - \frac{289}{324}d^4$ на множители используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Представим каждый член выражения в виде квадрата, зная, что $\sqrt{289}=17$ и $\sqrt{324}=18$: $c^6 = (c^3)^2$ $\frac{289}{324}d^4 = (\frac{17}{18}d^2)^2$ Таким образом, получаем: $c^6 - \frac{289}{324}d^4 = (c^3)^2 - (\frac{17}{18}d^2)^2 = (c^3 - \frac{17}{18}d^2)(c^3 + \frac{17}{18}d^2)$.
Ответ: $(c^3 - \frac{17}{18}d^2)(c^3 + \frac{17}{18}d^2)$

6) Чтобы разложить на множители выражение $5,76x^{12} - \frac{4}{81}y^8$, воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Представим каждый член выражения в виде квадрата, зная, что $\sqrt{5,76}=2,4$: $5,76x^{12} = (2,4x^6)^2$ $\frac{4}{81}y^8 = (\frac{2}{9}y^4)^2$ Следовательно: $5,76x^{12} - \frac{4}{81}y^8 = (2,4x^6)^2 - (\frac{2}{9}y^4)^2 = (2,4x^6 - \frac{2}{9}y^4)(2,4x^6 + \frac{2}{9}y^4)$.
Ответ: $(2,4x^6 - \frac{2}{9}y^4)(2,4x^6 + \frac{2}{9}y^4)$

31.17. Представьте в виде произведения:

1) $m^2 - n^2 - m + n;$

2) $9x^2 - 4y^2 - 3x + 2y;$

3) $x^3 + 3x^2 - 4x - 12;$

4) $81 - (3 - 8y)^2;$

5) $(x + 5)^2 - 16;$

6) $36 - (y + 1)^2;$

7) $(3x - 7)^2 - 25;$

8) $(4 - 5x)^2 - 64.$

1) Для разложения на множители выражения $m^2 - n^2 - m + n$ применим метод группировки. Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым слагаемыми. Первую группу разложим по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, а из второй вынесем общий множитель.

$m^2 - n^2 - m + n = (m^2 - n^2) - (m - n) = (m - n)(m + n) - 1 \cdot (m - n)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(m - n)$:

$(m - n)(m + n - 1)$

Ответ: $(m - n)(m + n - 1)$

2) Для разложения на множители выражения $9x^2 - 4y^2 - 3x + 2y$ применим метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два. Первую группу разложим по формуле разности квадратов.

$9x^2 - 4y^2 - 3x + 2y = (9x^2 - 4y^2) - (3x - 2y) = ((3x)^2 - (2y)^2) - (3x - 2y) = (3x - 2y)(3x + 2y) - 1 \cdot (3x - 2y)$

Вынесем за скобки общий множитель $(3x - 2y)$:

$(3x - 2y)(3x + 2y - 1)$

Ответ: $(3x - 2y)(3x + 2y - 1)$

3) Для разложения на множители выражения $x^3 + 3x^2 - 4x - 12$ применим метод группировки. Сгруппируем попарно слагаемые и вынесем общие множители из каждой группы.

$x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = (x^3 + 3x^2) - (4x + 12) = x^2(x + 3) - 4(x + 3)$

Вынесем за скобки общий множитель $(x + 3)$:

$(x + 3)(x^2 - 4)$

Второй множитель $(x^2 - 4)$ является разностью квадратов, разложим его на множители:

$(x + 3)(x - 2)(x + 2)$

Ответ: $(x + 3)(x - 2)(x + 2)$

4) Выражение $81 - (3 - 8y)^2$ представляет собой разность квадратов $a^2 - b^2$, где $a=9$ и $b=3-8y$. Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$81 - (3 - 8y)^2 = 9^2 - (3 - 8y)^2 = (9 - (3 - 8y))(9 + (3 - 8y))$

Раскроем скобки внутри каждого множителя и упростим:

$(9 - 3 + 8y)(9 + 3 - 8y) = (6 + 8y)(12 - 8y)$

Вынесем общие множители из каждой скобки: $2$ из первой и $4$ из второй.

$2(3 + 4y) \cdot 4(3 - 2y) = 8(3 + 4y)(3 - 2y)$

Ответ: $8(3 + 4y)(3 - 2y)$

5) Выражение $(x + 5)^2 - 16$ является разностью квадратов, так как $16=4^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=x+5$ и $b=4$.

$(x + 5)^2 - 4^2 = ((x + 5) - 4)((x + 5) + 4)$

Упростим выражения в скобках:

$(x + 5 - 4)(x + 5 + 4) = (x + 1)(x + 9)$

Ответ: $(x + 1)(x + 9)$

6) Выражение $36 - (y + 1)^2$ является разностью квадратов, так как $36=6^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=6$ и $b=y+1$.

$6^2 - (y + 1)^2 = (6 - (y + 1))(6 + (y + 1))$

Упростим выражения в скобках:

$(6 - y - 1)(6 + y + 1) = (5 - y)(y + 7)$

Ответ: $(5 - y)(y + 7)$

7) Выражение $(3x - 7)^2 - 25$ является разностью квадратов, так как $25=5^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=3x-7$ и $b=5$.

$(3x - 7)^2 - 5^2 = ((3x - 7) - 5)((3x - 7) + 5)$

Упростим выражения в скобках:

$(3x - 7 - 5)(3x - 7 + 5) = (3x - 12)(3x - 2)$

Из первого множителя можно вынести общий множитель $3$:

$3(x - 4)(3x - 2)$

Ответ: $3(x - 4)(3x - 2)$

8) Выражение $(4 - 5x)^2 - 64$ является разностью квадратов, так как $64=8^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=4-5x$ и $b=8$.

$(4 - 5x)^2 - 8^2 = ((4 - 5x) - 8)((4 - 5x) + 8)$

Упростим выражения в скобках:

$(4 - 5x - 8)(4 - 5x + 8) = (-5x - 4)(12 - 5x)$

Вынесем знак минус из каждой скобки:

$(-1)(5x + 4) \cdot (-1)(5x - 12) = (5x + 4)(5x - 12)$

Ответ: $(5x + 4)(5x - 12)$

Вычислите (31.18–31.19):

31.18. 1) $\frac{20^2 - 13^2}{31^2 - 24^2}$;

2) $\frac{17^2 - 22^2}{49^2 - 10^2}$;

3) $\frac{37^2 - 47^2}{72^2 - 12^2}$;

4) $\frac{100^2 - 60^2}{70^2 - 90^2}$.

1) Для решения данного примера воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применим эту формулу к числителю и знаменателю дроби:

$\frac{20^2 - 13^2}{31^2 - 24^2} = \frac{(20 - 13)(20 + 13)}{(31 - 24)(31 + 24)}$

Выполним вычисления в скобках:

$\frac{7 \cdot 33}{7 \cdot 55}$

Сократим дробь на 7:

$\frac{33}{55}$

Теперь сократим дробь на 11:

$\frac{33 : 11}{55 : 11} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$

2) Используем ту же формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$\frac{17^2 - 22^2}{49^2 - 10^2} = \frac{(17 - 22)(17 + 22)}{(49 - 10)(49 + 10)}$

Выполним вычисления в скобках:

$\frac{(-5) \cdot 39}{39 \cdot 59}$

Сократим дробь на 39:

$\frac{-5}{59} = -\frac{5}{59}$

Ответ: $-\frac{5}{59}$

3) Снова применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$\frac{37^2 - 47^2}{72^2 - 12^2} = \frac{(37 - 47)(37 + 47)}{(72 - 12)(72 + 12)}$

Выполним вычисления в скобках:

$\frac{(-10) \cdot 84}{60 \cdot 84}$

Сократим дробь на 84:

$\frac{-10}{60}$

Сократим дробь на 10:

$-\frac{1}{6}$

Ответ: $-\frac{1}{6}$

4) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$\frac{100^2 - 60^2}{70^2 - 90^2} = \frac{(100 - 60)(100 + 60)}{(70 - 90)(70 + 90)}$

Выполним вычисления в скобках:

$\frac{40 \cdot 160}{(-20) \cdot 160}$

Сократим дробь на 160:

$\frac{40}{-20}$

Выполним деление:

$-2$

Ответ: $-2$

31.19.

1) $\frac{38^2 - 28^2}{47^2 - 19^2}$;$

2) $\frac{53^2 - 25^2}{79^2 - 51^2}$;$

3) $\frac{181^2 - 61^2}{319^2 - 77^2}$;$

4) $\frac{200^2 - 380^2}{420^2 - 160^2}$.$

1) Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Получим: $\frac{38^2 - 28^2}{47^2 - 19^2} = \frac{(38-28)(38+28)}{(47-19)(47+19)} = \frac{10 \cdot 66}{28 \cdot 66}$. Сократим дробь на общий множитель 66, получим $\frac{10}{28}$. Далее сократим на 2. Ответ: $\frac{5}{14}$.

2) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю и знаменателю: $\frac{53^2 - 25^2}{79^2 - 51^2} = \frac{(53-25)(53+25)}{(79-51)(79+51)} = \frac{28 \cdot 78}{28 \cdot 130}$. Сократим дробь на 28, получим $\frac{78}{130}$. Сократим полученную дробь на 26, так как $78 = 3 \cdot 26$ и $130 = 5 \cdot 26$. Ответ: $\frac{3}{5}$.

3) Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $\frac{181^2 - 61^2}{319^2 - 77^2} = \frac{(181-61)(181+61)}{(319-77)(319+77)} = \frac{120 \cdot 242}{242 \cdot 396}$. Сокращаем на 242, получаем $\frac{120}{396}$. Теперь сократим дробь $\frac{120}{396}$. Наибольший общий делитель для 120 и 396 равен 12. Разделим числитель и знаменатель на 12: $120 \div 12 = 10$, $396 \div 12 = 33$. Ответ: $\frac{10}{33}$.

4) Аналогично предыдущим примерам, применяем формулу разности квадратов: $\frac{200^2 - 380^2}{420^2 - 160^2} = \frac{(200-380)(200+380)}{(420-160)(420+160)} = \frac{(-180) \cdot 580}{260 \cdot 580}$. Сокращаем дробь на 580, получаем $\frac{-180}{260}$. Сокращаем на 10, получаем $\frac{-18}{26}$. Сокращаем на 2. Ответ: $-\frac{9}{13}$.

Представьте в виде многочленов произведения (31.20–31.21):

31.20. 1) $(5 - a)(5 + a) \cdot (25 + a^2);$

2) $(3x + 2)(3x - 2)(9x^2 + 4);$

3) $(\frac{1}{3} + 2b) \cdot (\frac{1}{3} - 2b) \cdot (\frac{1}{9} + 4b^2);$

4) $(6c^2 - \frac{2}{7}) \cdot (6c^2 + \frac{2}{7}) \cdot (36c^4 + \frac{4}{49}).$

1) Для решения данного примера последовательно применим формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Сначала перемножим первые две скобки: $(5 - a)(5 + a) = 5^2 - a^2 = 25 - a^2$.
Теперь исходное выражение принимает вид: $(25 - a^2)(25 + a^2)$.
Снова применяем формулу разности квадратов: $(25 - a^2)(25 + a^2) = (25)^2 - (a^2)^2 = 625 - a^4$.
Ответ: $625 - a^4$.

2) Этот пример решается аналогично предыдущему. Сначала воспользуемся формулой разности квадратов для первых двух множителей.
$(3x + 2)(3x - 2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4$.
Подставим полученный результат в исходное выражение: $(9x^2 - 4)(9x^2 + 4)$.
Еще раз применим формулу разности квадратов: $(9x^2 - 4)(9x^2 + 4) = (9x^2)^2 - 4^2 = 81x^4 - 16$.
Ответ: $81x^4 - 16$.

3) Снова используем формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Перемножим первые две скобки: $(\frac{1}{3} + 2b)(\frac{1}{3} - 2b) = (\frac{1}{3})^2 - (2b)^2 = \frac{1}{9} - 4b^2$.
Теперь исходное выражение выглядит так: $(\frac{1}{9} - 4b^2)(\frac{1}{9} + 4b^2)$.
И снова применяем ту же формулу: $(\frac{1}{9} - 4b^2)(\frac{1}{9} + 4b^2) = (\frac{1}{9})^2 - (4b^2)^2 = \frac{1}{81} - 16b^4$.
Ответ: $\frac{1}{81} - 16b^4$.

4) Решение аналогично предыдущим пунктам. Последовательно применяем формулу разности квадратов.
Произведение первых двух множителей: $(6c^2 - \frac{2}{7})(6c^2 + \frac{2}{7}) = (6c^2)^2 - (\frac{2}{7})^2 = 36c^4 - \frac{4}{49}$.
Подставляем полученное выражение: $(36c^4 - \frac{4}{49})(36c^4 + \frac{4}{49})$.
И снова используем формулу разности квадратов: $(36c^4 - \frac{4}{49})(36c^4 + \frac{4}{49}) = (36c^4)^2 - (\frac{4}{49})^2 = 1296c^8 - \frac{16}{2401}$.
Ответ: $1296c^8 - \frac{16}{2401}$.