Номер 31.15, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Разложите на множители (31.15–31.16):

31.15. 1) $x^3 - 100x$; 2) $2y^3 - 32y$; 3) $0,16y^6 - y^4$;

4) $\frac{2}{3}x^5 - \frac{8}{27}x^3$; 5) $\frac{9}{16}x^4 - \frac{16}{9}x^2$; 6) $3y^5 - \frac{3}{25}y^7$.

1) $x^3 - 100x$

Чтобы разложить на множители данное выражение, сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^3 - 100x = x(x^2 - 100)$

Выражение в скобках, $x^2 - 100$, представляет собой разность квадратов, так как $100$ можно представить как $10^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 10$, поэтому:

$x^2 - 100 = x^2 - 10^2 = (x - 10)(x + 10)$

Подставляем полученное разложение обратно в исходное выражение:

$x(x - 10)(x + 10)$

Ответ: $x(x - 10)(x + 10)$.

2) $2y^3 - 32y$

Сначала вынесем за скобки общий множитель $2y$:

$2y^3 - 32y = 2y(y^2 - 16)$

Выражение в скобках, $y^2 - 16$, является разностью квадратов, поскольку $16 = 4^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = y$ и $b = 4$.

$y^2 - 16 = y^2 - 4^2 = (y - 4)(y + 4)$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$2y(y - 4)(y + 4)$

Ответ: $2y(y - 4)(y + 4)$.

3) $0,16y^6 - y^4$

Вынесем за скобки общий множитель $y^4$ (переменная в наименьшей степени):

$0,16y^6 - y^4 = y^4(0,16y^2 - 1)$

Выражение в скобках, $0,16y^2 - 1$, является разностью квадратов. Представим $0,16y^2$ как $(0,4y)^2$ и $1$ как $1^2$.

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 0,4y$ и $b = 1$.

$0,16y^2 - 1 = (0,4y)^2 - 1^2 = (0,4y - 1)(0,4y + 1)$

Итоговое разложение:

$y^4(0,4y - 1)(0,4y + 1)$

Ответ: $y^4(0,4y - 1)(0,4y + 1)$.

4) $\frac{2}{3}x^5 - \frac{8}{27}x^3$

Найдем общий множитель. Для коэффициентов $\frac{2}{3}$ и $\frac{8}{27}$ общий множитель равен $\frac{2}{3}$. Для переменных $x^5$ и $x^3$ — $x^3$. Вынесем $\frac{2}{3}x^3$ за скобки:

$\frac{2}{3}x^5 - \frac{8}{27}x^3 = \frac{2}{3}x^3(x^2 - \frac{4}{9})$

Выражение в скобках, $x^2 - \frac{4}{9}$, является разностью квадратов, так как $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$.

По формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x$ и $b = \frac{2}{3}$, получаем:

$x^2 - (\frac{2}{3})^2 = (x - \frac{2}{3})(x + \frac{2}{3})$

Полное разложение на множители:

$\frac{2}{3}x^3(x - \frac{2}{3})(x + \frac{2}{3})$

Ответ: $\frac{2}{3}x^3(x - \frac{2}{3})(x + \frac{2}{3})$.

5) $\frac{9}{16}x^4 - \frac{16}{9}x^2$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$\frac{9}{16}x^4 - \frac{16}{9}x^2 = x^2(\frac{9}{16}x^2 - \frac{16}{9})$

Выражение в скобках является разностью квадратов, так как $\frac{9}{16}x^2 = (\frac{3}{4}x)^2$ и $\frac{16}{9} = (\frac{4}{3})^2$.

Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = \frac{3}{4}x$ и $b = \frac{4}{3}$.

$(\frac{3}{4}x)^2 - (\frac{4}{3})^2 = (\frac{3}{4}x - \frac{4}{3})(\frac{3}{4}x + \frac{4}{3})$

Таким образом, итоговое разложение:

$x^2(\frac{3}{4}x - \frac{4}{3})(\frac{3}{4}x + \frac{4}{3})$

Ответ: $x^2(\frac{3}{4}x - \frac{4}{3})(\frac{3}{4}x + \frac{4}{3})$.

6) $3y^5 - \frac{3}{25}y^7$

Вынесем за скобки общий множитель $3y^5$:

$3y^5 - \frac{3}{25}y^7 = 3y^5(1 - \frac{1}{25}y^2)$

Выражение в скобках, $1 - \frac{1}{25}y^2$, является разностью квадратов, так как $1 = 1^2$ и $\frac{1}{25}y^2 = (\frac{1}{5}y)^2$.

Используем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 1$ и $b = \frac{1}{5}y$.

$1^2 - (\frac{1}{5}y)^2 = (1 - \frac{1}{5}y)(1 + \frac{1}{5}y)$

Итоговое разложение на множители:

$3y^5(1 - \frac{1}{5}y)(1 + \frac{1}{5}y)$

Ответ: $3y^5(1 - \frac{1}{5}y)(1 + \frac{1}{5}y)$.