Номер 31.21, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.21. 1) $(a-y)(a+y)(a^2+y^2);$

2) $(7x+1)(7x-1)(49x^2+1);$

3) $(x-6y^3)^2 \cdot (x+6y^3)^2;$

4) $(8+x^3)(8-x^3) \cdot (64+x^6);$

5) $(25x^2+y^2)(5x+y)(5x-y);$

6) $(81a^4+16b^4)(9b^2+4a^2)(4a^2-9b^2).$

1) В выражении $(a-y)(a+y)(a^2+y^2)$ сначала применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ к первым двум множителям.
$(a-y)(a+y) = a^2 - y^2$
Теперь выражение принимает вид: $(a^2-y^2)(a^2+y^2)$.
Снова применим формулу разности квадратов, где в качестве $x$ выступает $a^2$, а в качестве $y$ выступает $y^2$:
$(a^2-y^2)(a^2+y^2) = (a^2)^2 - (y^2)^2 = a^4 - y^4$.
Ответ: $a^4 - y^4$

2) В выражении $(7x+1)(7x-1)(49x^2+1)$ применим формулу разности квадратов к первым двум множителям.
$(7x+1)(7x-1) = (7x)^2 - 1^2 = 49x^2 - 1$.
Теперь выражение выглядит так: $(49x^2-1)(49x^2+1)$.
Это снова разность квадратов, где $a=49x^2$ и $b=1$:
$(49x^2-1)(49x^2+1) = (49x^2)^2 - 1^2 = 49^2x^4 - 1 = 2401x^4 - 1$.
Ответ: $2401x^4 - 1$

3) Для выражения $(x-6y^3)^2 \cdot (x+6y^3)^2$ воспользуемся свойством степеней $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$((x-6y^3)(x+6y^3))^2$
Выражение в скобках является разностью квадратов:
$(x-6y^3)(x+6y^3) = x^2 - (6y^3)^2 = x^2 - 36y^6$.
Теперь нужно возвести результат в квадрат: $(x^2 - 36y^6)^2$.
Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$(x^2)^2 - 2(x^2)(36y^6) + (36y^6)^2 = x^4 - 72x^2y^6 + 1296y^{12}$.
Ответ: $x^4 - 72x^2y^6 + 1296y^{12}$

4) В выражении $(8+x^3)(8-x^3)(64+x^6)$ применим формулу разности квадратов к первым двум множителям.
$(8+x^3)(8-x^3) = 8^2 - (x^3)^2 = 64 - x^6$.
Теперь выражение принимает вид: $(64-x^6)(64+x^6)$.
Снова применяем формулу разности квадратов:
$(64-x^6)(64+x^6) = 64^2 - (x^6)^2 = 4096 - x^{12}$.
Ответ: $4096 - x^{12}$

5) В выражении $(25x^2+y^2)(5x+y)(5x-y)$ изменим порядок множителей для удобства: $(5x+y)(5x-y)(25x^2+y^2)$.
Применим формулу разности квадратов к первым двум множителям:
$(5x+y)(5x-y) = (5x)^2 - y^2 = 25x^2 - y^2$.
Выражение принимает вид: $(25x^2-y^2)(25x^2+y^2)$.
Это снова разность квадратов:
$(25x^2-y^2)(25x^2+y^2) = (25x^2)^2 - (y^2)^2 = 625x^4 - y^4$.
Ответ: $625x^4 - y^4$

6) В выражении $(81a^4+16b^4)(9b^2+4a^2)(4a^2-9b^2)$ переставим множители и сгруппируем последние два. Заметим, что $(9b^2+4a^2)$ можно записать как $(4a^2+9b^2)$.
Выражение: $(81a^4+16b^4) \cdot [(4a^2+9b^2)(4a^2-9b^2)]$.
Применим формулу разности квадратов к выражению в квадратных скобках:
$(4a^2+9b^2)(4a^2-9b^2) = (4a^2)^2 - (9b^2)^2 = 16a^4 - 81b^4$.
Теперь исходное выражение равно: $(81a^4+16b^4)(16a^4-81b^4)$.
Так как дальнейшее упрощение с помощью формул сокращенного умножения невозможно, раскроем скобки, перемножив многочлены:
$(81a^4)(16a^4) + (81a^4)(-81b^4) + (16b^4)(16a^4) + (16b^4)(-81b^4)$
$= 1296a^8 - 6561a^4b^4 + 256a^4b^4 - 1296b^8$
Приведем подобные слагаемые:
$= 1296a^8 + (-6561+256)a^4b^4 - 1296b^8 = 1296a^8 - 6305a^4b^4 - 1296b^8$.
Ответ: $1296a^8 - 6305a^4b^4 - 1296b^8$