Номер 31.23, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.23. Решите неравенство:

1) $(10 - x)(x + 10) + x^2 \leq x + 90;$

2) $y^2 - (y - 8)(8 + y) - 4 > 32 - y;$

3) $x(x + 0,3) - (x - 0,3)(x + 0,3) \geq 0,1;$

4) $27 - (1,2 - y)(-y - 1,2) < 1,44 - y^2 - y.$

1) $(10 - x)(x + 10) + x^2 \le x + 90$
В левой части неравенства применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ к произведению $(10-x)(10+x)$.
$10^2 - x^2 + x^2 \le x + 90$
$100 - x^2 + x^2 \le x + 90$
Приведем подобные слагаемые в левой части.
$100 \le x + 90$
Перенесем 90 в левую часть неравенства, изменив знак.
$100 - 90 \le x$
$10 \le x$
Это неравенство можно записать в виде $x \ge 10$.
Ответ: $x \in [10; +\infty)$.

2) $y^2 - (y - 8)(8 + y) - 4 > 32 - y$
Преобразуем выражение $(y-8)(8+y)$ в $(y-8)(y+8)$ и применим формулу разности квадратов.
$y^2 - (y^2 - 8^2) - 4 > 32 - y$
$y^2 - (y^2 - 64) - 4 > 32 - y$
Раскроем скобки.
$y^2 - y^2 + 64 - 4 > 32 - y$
Приведем подобные слагаемые.
$60 > 32 - y$
Перенесем $-y$ в левую часть, а 60 - в правую, изменив их знаки.
$y > 32 - 60$
$y > -28$
Ответ: $y \in (-28; +\infty)$.

3) $x(x + 0,3) - (x - 0,3)(x + 0,3) \ge 0,1$
Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем распределительный закон, для второго - формулу разности квадратов.
$x^2 + 0,3x - (x^2 - (0,3)^2) \ge 0,1$
$x^2 + 0,3x - (x^2 - 0,09) \ge 0,1$
Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус.
$x^2 + 0,3x - x^2 + 0,09 \ge 0,1$
Приведем подобные слагаемые.
$0,3x + 0,09 \ge 0,1$
Перенесем 0,09 в правую часть.
$0,3x \ge 0,1 - 0,09$
$0,3x \ge 0,01$
Разделим обе части на 0,3.
$x \ge \frac{0,01}{0,3}$
$x \ge \frac{1}{30}$
Ответ: $x \in [\frac{1}{30}; +\infty)$.

4) $27 - (1,2 - y)(-y - 1,2) < 1,44 - y^2 - y$
Преобразуем произведение в скобках. Вынесем -1 из второй скобки: $(-y - 1,2) = -(y + 1,2)$.
$27 - (1,2 - y)(-(y + 1,2)) < 1,44 - y^2 - y$
$27 + (1,2 - y)(y + 1,2) < 1,44 - y^2 - y$
Применим формулу разности квадратов к выражению $(1,2-y)(1,2+y)$.
$27 + ((1,2)^2 - y^2) < 1,44 - y^2 - y$
$27 + 1,44 - y^2 < 1,44 - y^2 - y$
Прибавим $y^2$ к обеим частям и вычтем 1,44 из обеих частей неравенства.
$27 < -y$
Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный.
$-27 > y$, что эквивалентно $y < -27$.
Ответ: $y \in (-\infty; -27)$.