Номер 31.24, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.24. Докажите тождество:

1) $(1 + a)(1 - a)(1 + a^2) - 5 + a^4 = -4;$

2) $5a^2 - 3(a + 1)(a - 1) + 8a^2 + 5 = 10a^2 + 8;$

3) $7(a^2 + 2) - 4(a + 3)(a - 3) + 3a^2 + 24 = 6a^2 + 74;$

4) $10(a^2 - 15) - 12(a - 4)(a + 4) + 8 - a^2 = 50 - 3a^2.$

1) $(1 + a)(1 - a)(1 + a^2) - 5 + a^4 = -4$

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Сначала применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ к первым двум множителям:

$(1 + a)(1 - a) = 1^2 - a^2 = 1 - a^2$

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть тождества:

$(1 - a^2)(1 + a^2) - 5 + a^4$

Снова применим формулу разности квадратов:

$(1 - a^2)(1 + a^2) = 1^2 - (a^2)^2 = 1 - a^4$

Подставим результат и упростим выражение:

$1 - a^4 - 5 + a^4 = (1 - 5) + (-a^4 + a^4) = -4 + 0 = -4$

В результате преобразований левая часть стала равна правой:

$-4 = -4$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) $5a^2 - 3(a + 1)(a - 1) + 8a^2 + 5 = 10a^2 + 8$

Преобразуем левую часть тождества. Применим формулу разности квадратов $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$ к выражению в скобках:

$(a + 1)(a - 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$

Подставим это в исходное выражение:

$5a^2 - 3(a^2 - 1) + 8a^2 + 5$

Раскроем скобки, умножив $(a^2 - 1)$ на $-3$:

$5a^2 - 3a^2 + 3 + 8a^2 + 5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(5a^2 - 3a^2 + 8a^2) + (3 + 5) = 10a^2 + 8$

Левая часть равна правой:

$10a^2 + 8 = 10a^2 + 8$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) $7(a^2 + 2) - 4(a + 3)(a - 3) + 3a^2 + 24 = 6a^2 + 74$

Преобразуем левую часть тождества. Сначала раскроем первые скобки и применим формулу разности квадратов ко второй группе множителей:

$(a + 3)(a - 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$

Подставим результат в выражение и раскроем первые скобки:

$7a^2 + 14 - 4(a^2 - 9) + 3a^2 + 24$

Теперь раскроем оставшиеся скобки:

$7a^2 + 14 - 4a^2 + 36 + 3a^2 + 24$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(7a^2 - 4a^2 + 3a^2) + (14 + 36 + 24) = (3a^2 + 3a^2) + (50 + 24) = 6a^2 + 74$

Левая часть равна правой:

$6a^2 + 74 = 6a^2 + 74$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) $10(a^2 - 15) - 12(a - 4)(a + 4) + 8 - a^2 = 50 - 3a^2$

Преобразуем левую часть тождества. Раскроем первые скобки и применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ ко второй группе множителей:

$(a - 4)(a + 4) = a^2 - 4^2 = a^2 - 16$

Подставим это в левую часть и раскроем первые скобки:

$10a^2 - 150 - 12(a^2 - 16) + 8 - a^2$

Раскроем оставшиеся скобки:

$10a^2 - 150 - 12a^2 + 192 + 8 - a^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(10a^2 - 12a^2 - a^2) + (-150 + 192 + 8) = -3a^2 + 50$

Переставим слагаемые для соответствия правой части:

$50 - 3a^2$

Левая часть равна правой:

$50 - 3a^2 = 50 - 3a^2$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.